高等數(shù)學-高等學校課程思政課堂教學設計表

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數(shù)學》大一工科類專業(yè)學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內(nèi)

《數(shù)列的極限》學時2

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業(yè)教育課程；C實踐類課程

型

1理解數(shù)列極限的概念，掌握數(shù)列極限的運算法則；

教學目

2培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；

標3引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；

4培養(yǎng)學生的文化自信，對中國的學術(shù)自信.

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思融入知識點數(shù)列極限

政設計融入方式引例

序資源名稱附件

融入資源作者來源描述（描述資源的詳細內(nèi)容，100-300字內(nèi)）

號《人物或事件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內(nèi)容簿單源名稱相間/填寫奧源網(wǎng)絡連按，資源細息現(xiàn)頰謂寫

描述）清視順所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著httpsvrrw.net/wx/46984.html

下篇》網(wǎng)絡

融入案例數(shù)列

教學實施

引例戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梅，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數(shù)的增加，木棍的長度會越來越短，當天數(shù)無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現(xiàn)了一種數(shù)列極限思想，今天我們來學習數(shù)列極限。引例用數(shù)學語言可表述為，

入

已知數(shù)列2482"，簡稱仁人

I.組織教學：復習舊知：初等函數(shù)

D、新課教學

一、數(shù)列極限的定義

定義對于數(shù)列當"f8時就稱A為“->8時數(shù)列的極限，記作：叫《二A

1現(xiàn)疑「夕IJ雙劃刖貨化限為，^LtilEIIJirjtKPRn..1.2.3.4.5.->0D

,,

1.1111-?o..

(1)一.?一.t-A一.?

(1)a?=-(2)??=3--yh2345

nn

3-g->3

教學展(2)a,=3--J-P3--.3--.3--.3--

(3)為=§)"<4)q=714916

開11JL1->0..

⑶a,..、一

2481632

7.7.7.7.7，??.-?7.,

⑴lima一=lim-=0(4)a.?7，

1f⑴lim二=0(a>0)

(2)lima=lim(3—r)=3"一""

可以看出，它們的極限分別是：……/一般地，有下述結(jié)論：(2)1imq”=0(|司<1)

⑶則…嗎『=0(3)limC=C(。為常數(shù))

(4)lima=Iim7=7

例2求lim"+(T『解原式=|心仁+色==1+0=1

2*nzoc〃fi

例3求12當解lim衿=lim一號=：

is3〃+4=3〃+4283+，3

〃

課堂練習：

觀察下列數(shù)列｛4｝在〃TR時4的變化趨勢，寫出他們的極限：

(1)a,=—<2)”“=(4)”——(3)?n=5(4)a?=~—―-

"3""n+2"3M+5

四.作業(yè)1.2..5.6

教學總

本節(jié)重點介紹了數(shù)列極限的概念，重點在讓學生學會利用數(shù)列極限的計算：在解決例題討論過程中培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)

結(jié)新思維能力；同時通過案例的引入讓學生產(chǎn)生文化自信

目標達1.通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況；2.凝練價值元素，實現(xiàn)價值引領；

成檢測3,通過課外作業(yè)，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現(xiàn)數(shù)學文化的價值引領功能，培養(yǎng)探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數(shù)學》大一工科類專業(yè)學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內(nèi)

《函數(shù)極限和函數(shù)的連續(xù)性》學時4

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業(yè)教育課程；C實踐類課程

型

1理解函數(shù)極限的概念,了解極限存在準則；掌握函數(shù)極限的運算法則

2理解兩個重要極限的運算法則

教學目

3理解函數(shù)連續(xù)性的定義，了解間斷點的定義及類別；掌握函數(shù)在定義區(qū)間上的連續(xù)性的判斷

標4培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；

5引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；

6培養(yǎng)學生的文化自信，對中國的學術(shù)自信。

課程思政元

課程思中國自信、愛國情懷。

索

政

融入知識點極限

設計

融入方式引例

資源名稱附件

序

（人物或，件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

作者來源描述（描述資源的詳細內(nèi)容，100-300字內(nèi)）

號名稱?內(nèi)容簡單源名稱相同/填寫資源網(wǎng)絡連接，費源如是視頻調(diào)寫

融入資源

描述）清視族所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著https://www.vrrw.net/wx/46984.html

下篇》網(wǎng)絡

融入案例極限

教學實施

引例戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天酸去它的半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天效的增加，木棍的長度會越來越短，當天數(shù)無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現(xiàn)了一種數(shù)列極限思想，今天我們來學習數(shù)列極限。引例用數(shù)學語言可表述為，

入

已知數(shù)列2482"，簡稱12J.

2函數(shù)極限定義一一KT8（自變量趨向于無窮大）

當時，函數(shù)/（X）T/4（確定的常數(shù)），則稱其為函數(shù)/⑸當XT8時的極限，記作蚓〃K）=A.

例3反正切函數(shù)，'=arctanx.

limarctanx=--,limarctanx=—,故Hmarctanx極限不存在.

LY2X-**?2

例4反比例函數(shù).y=,lim-=0,lim-=0,故linJ=O.

Xx-Xx-xx->oc-x

極限的運算法則

(I)lim[/(A)±/?(x)]=4±5=lini/(x)±lim.i?(A)；

則⑵

定理在白變量的同一變化趨勢下，若lim/(x)=Alimg(x)=兄

當/心(時.|加綱=4=嗎義.

(3)

g(.r)Blimg(x)

特別地，有吧為常數(shù))：lim[/(x)y=A"=lim/(x)

例5求!i?(x?+2x-3).解lim(.v*+2x-3)=limA2+Iim2x-lim3=4+4-3=5

E2X->2XT2

2

8尸一x+9lim(8A--JV+9)g

例6求lim解hn:-------------

■trO5x+2I5x+2lim(5x+2)—-2

x-^0

解先化簡再計算，物(士一七)=lim"+3-6=J=1

例7求lim|jm

、fO(:+3)(x-3)*w(x+3)6

例8lini(x2+3A)解liin(x2+3x)=limxz+liin3x=2:+3x2=4-6=10

二第一重要極限

定義1lim—=1(等價形式=

Dxsinx

4.2sin.v32sin.vsinx___x.-2.-4.-10TOO.-1000“—>-o.

例1求hm-----.解hm-----=2hm----=2x1=2

x-f0xk.r-*0刀

2.71842

（周4.3185.286797.273200271%64

mi-4-sinx5sinx1..sinx1,1

例2求hm---解hm----=-.im----=-xl=-X.2.4.10100igo10000-->4?(1

I。2xe2xx22(HJ

2.252.4412S94.2.705?2117.2.71S

第二重要極限

我們再來研究當.1->+00戶->—時，函數(shù)(l+gj的變化趨勢，如卜表：

可以看到，當x->口時，函數(shù)("■!■)一6即=e.

定義2liin(l+—)x=e(等價形式lim(l+x)'=e)

2Xi

2i

例6求lim(l+丁),解|im(l+—),=lim(l+—)2^=liin(1+—)2;=［14?1(1+—)2r'=/

2x-B2x2x-L2xJ2x.

例7求產(chǎn)解山】1(1」產(chǎn)=出』(1」尸］=，z

X廿Xx-RX?—|_XJ

三函數(shù)連續(xù)的定義

定義1若函數(shù)〃力在點人滿足下列三個條件：

(1)在"=%處有定義，即/(X.)是一個確定的數(shù)：

(2)極限!噎J(x)存在；

(3)極限值等于函數(shù)值，即變/3=/(仆).則稱函數(shù))，=/(犬)在點x=。處連續(xù).

定義2如果笈J(x)=fW,則稱y=/(x)在/處右連續(xù).如果㈣/口卜八七)，則稱y=/(x)在與處左連續(xù).

定義3如果函數(shù)y=〃x)在開區(qū)間(a5)內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間(4〃)內(nèi)連續(xù)：如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間力)內(nèi)每一點都

連續(xù)，且在左端點右連續(xù)，在右端點左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上是連續(xù)的.

例1通過畫圖判斷函數(shù)/(x)=x是連續(xù)的.解由畫圖可知函數(shù)/(*)="是連續(xù)的。

函數(shù)的間斷性定義4如果函數(shù)/(“)在點不有下列三種情形之一：

2在"=.%處無定義：b在x=*o有定義，但日”（X）不存在；c在X=/有定義，變f（x）存在，但巴”

則稱函數(shù)/（X）在點處間斷或不連續(xù)，點.%稱為/（X）的間斷點或不連續(xù)點.

間斷點：當XT%時，“X）的左、右極限都存在的間斷點與,稱為第一類間斷點.

左、右極限至少有一個不存在的點稱為第二類間斷點.

例2判斷反比例函數(shù)y=q在x=0的連續(xù)性。

解因為y=1在X=（）處沒有定義，所以x=0為函數(shù).y=1的間斷點.'、一

XX---------------------------?

（-1r<0

例3判斷函數(shù)/（人）=J1在4-0的連續(xù)性。

解16/。）=叫-1=-1,liip/（x）=liipl=l咖/（x）工勤/（X）,所以X=O為該函數(shù)的間斷點，且為第一類間斷點.

VxW0

例4討論函數(shù)>=/（"=]c在x=0處的連續(xù)性.

—x>0

x

解J可/（工）=岬*2=0,lini/（A）=limi=+oo（不存在）

所以x=0是/（x）的間斷點，且實第二類間斷點.

-XA<0

例5討論函數(shù)/("=41X=O在x=0處的連續(xù)性.

x2x>0

limf(.r)=lim(-A)=OJim/(.v)=limx2=0

解因為iol)"-?0"->0"-?0，

呵(X)施=。處間斷，0足第類間斷點

四.作業(yè)1.2..

教學總

本節(jié)重點介紹了/函數(shù)極限的概念，函數(shù)連續(xù)的概念，重點在讓函數(shù)極限的運算法則；在解決例題討論過程中培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證

結(jié)思維和創(chuàng)新思維能力：同時通過案例的引入讓學生產(chǎn)生文化自信

目標達L通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況：2.凝練價值元素，實現(xiàn)價值引領：

成檢測3.通過課外作業(yè)，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現(xiàn)數(shù)學文化的價值引領功能，培養(yǎng)探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數(shù)學》大一工科類專業(yè)學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內(nèi)

《導數(shù)概念和求導法則》學時4

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業(yè)教育課程；C實踐類課程

型

1了解導數(shù)的定義與求導數(shù)的方法；

教學目2掌握求導的基本公式，掌握四則運算求導法則

3培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；

標

4引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；

5培養(yǎng)學生的文化自信，對中國的學術(shù)自信。

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思

融入知識點導數(shù)

政設計

融入方式引例

融入資源序資源名稱作者來源描述（描述資源的詳細內(nèi)容，10CF300字內(nèi)）附件

號（人物或事件（整理在文件夾中,文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內(nèi)容簡單源名稱相同/填寫資源網(wǎng)絡連接，資源如是視頻調(diào)寫

描述）清視版所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著https://www.vrrw.net/wx/46984.html

下篇》網(wǎng)絡

融入案例導數(shù)

教學實施

引例戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之趣，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數(shù)的增加，木棍的長度會越來越短，當天數(shù)無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0..在莊周思想中體現(xiàn)了種數(shù)列極限思想，今天我們來學習數(shù)列極限。引例用數(shù)學語言可表述為，

入

已知數(shù)列2482"，簡稱12人

I.組織教學：復習舊知：極限

U、新課教學

一導數(shù)的概念

定義2若極限lim包=lim以主回衛(wèi)區(qū)存在,則稱/（X）在點與可導，且稱此極限值為/（月在點X。處的導數(shù).記作/'（.），或

)h'史Xf'寮F'即/'(%)=%=馴,"+0一.若上述極限不存在，則稱函數(shù)八X)在凡點不可導.

例1求函數(shù)/C0=C(C為常數(shù))的導數(shù).

教學展解f(x)=lim---------'=hm--------=0

A(fOAYAifOAy

開即(。'=0

例2用定義計第產(chǎn)3X+1的導數(shù)

a，，/、1-/(.r+AA)-/(.v)..3(x4-Ar)+1-(3.r+l)..3.V+3AA+1-3^-13Axo

解f\x)=Inn-----------八=lim--------------------------=Inn-------------------------=Inn——=3

Ai—0A—Av-M)AirOAyAi->0/\y

上述公式可推廣到任意整數(shù)恭的情況，即（工"）=4，1特別地=1^'

22?

例8求正弦函數(shù)y=9inx導數(shù).

,zkv

.sin一

Ai(Ar]

解Ay=sin(x+Ax)-sinx=2cos]x+一lim—=lim-—2-C：)S.v+——=COSX.UP(sin.t)=cosx.

2Ax->0ZAjMAtI2)

T

導數(shù)的基本公式

(C)'=0(》常數(shù))：(X。)'=ax"T(a為任意實數(shù))；(a1)=?*Ina?><>,?*1；(/)'=";

0U)=tin”；(Mx)=v；(sinx)-cos.r：(cosA)--sinx;

例1求⑺‘解⑺'=0例2求(4，j解(4*y=4'ln4例3求(log/)'解(蜒㈤'=+

函數(shù)和、差的求導法則=〃，(x)±/(x)，簡記為(〃±D)="'土!/.

例4求y=sinx-lnx的導數(shù)解y-(sinx)r-(ln.v)f=cosx--

例5求y=f-丁7+3的導數(shù).解：/=(x4-.r-X+3/=(.v4)r-(x2/-(-v/+3*=4.v3-2A-1

函數(shù)積商求導法則

(“、,)'=八+3=s目=在券

例7求5=/&+2)的導數(shù)解y=(/)<./+2)+e"(/+2)'=ex(x2+2)+ex-2x=ex(x2+2A-+2)

223

例8求y=(2.F+3)(3x—2)的導數(shù)解/=(2x+3)73x-2)+(lx+3)(3x-2))=4x(3x—2)+(2/+3)?3=18A-8.r+9.

例9求y=/-sinx的導數(shù)解jsinx+x?.(sinx)，=2tsinx+x%osx

ysi新短、.，,siiu，(sinr)'co，t-siru?o，t)'cos2A+sin2Ji1

例1i0n求y-tanx的導數(shù)解y=(----)=----------；---------=------；----=———=sec2x

COSA-cosxcos'*cos'x

㈤-七/_2..，-2)(丁+3)-，-2)(丁+3)'2*，+3)-(1-2)(31)7+6/+6x

例11求k爐+3的導數(shù)解-，+3-=C/+3),=，+?

四.作業(yè)1.2..

教學總

本節(jié)重點介紹了導數(shù)：在解決例題討論過程中培養(yǎng)學生的邏輯思維辯證思維和創(chuàng)新思維能力：同時通過案例的引入讓學生產(chǎn)生文化自信

結(jié)

目標達1.通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況；2.凝練價值元素，實現(xiàn)價值引領；

成檢測3.通過課外作業(yè)，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現(xiàn)數(shù)學文化的價值引領功能，培養(yǎng)探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數(shù)學》大一工科類專業(yè)學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內(nèi)

《復合函數(shù)求導和高階導數(shù)，洛必達法則》學時4

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業(yè)教育課程；C實踐類課程

型

1理解數(shù)列極限的概念，掌握數(shù)列極限的運算法則；

教學目

2培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；

標3引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；

4培養(yǎng)學生的文化自信，對中國的學術(shù)自信.

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思

融入知識點導數(shù)

政

融入方式引例

設計

序資源名稱附件

融入資源作者來源描述（描述資源的詳細內(nèi)容，100-300字內(nèi)）

號《人物或事件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內(nèi)容簿單源名稱相間/填寫奧源網(wǎng)絡連按，資源細息現(xiàn)頰謂寫

描述）清視順所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著httpsvrrw.net/wx/46984.html

下篇》網(wǎng)絡

融入案例導數(shù)

教學實施

引例戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梅，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數(shù)的增加，木棍的長度會越來越短，當天數(shù)無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現(xiàn)了一種數(shù)列極限思想，今天我們來學習數(shù)列極限。引例用數(shù)學語言可表述為，

入

已知數(shù)列2482"，簡稱仁人

I.組織教學：復習舊知：導數(shù)概念

U、新課教學

一、宜合函數(shù)的導數(shù)

教師講述曹聰稱象的故事，啟發(fā)學生得出曹聰稱象的方法，并將此方法遷移到復合函數(shù)求導中，以此得到更合函數(shù)求導的鏈式法則，

引導學生歸納總結(jié)上述y和X之間的聯(lián)系，學生根據(jù)老師的講述主動進行知識遷移，理解復合函數(shù)求導的鏈式法則，掌握其求解步驟。

［記錄筆記;通過對普聰象故事和鏈式法則的講解，將中國古人的智慈和數(shù)學的邏輯美、對稱美進行展示，增強大家的民族自豪感，激發(fā)

大家的學習積極性。）

定理如果函數(shù)〃=夕（處在點'處可導，而函數(shù)），=/（〃）在對應點〃=以用處可導，則其合函數(shù).、，=八但切在點A?處可導，且其導數(shù)為

)'=/'(")?o'")=0'(x)

教學展

開復合函數(shù)的求導法則（鏈式法則）：簡記為城=

推論若函數(shù)），=/（"），"=奴u），u=Wx）分別在對應點處可導，那么復合款數(shù)5=數(shù)。［必必）在點X處可導,且W=—

例1求復合函數(shù)y=（2.r+l『的導數(shù)解令.、，=/,〃=2r+l,則），：=5〃'“=2,所以乂=），：?“：=5/-2=10/=IO（2x+1）4

例2求且合函數(shù)y=cos(7x-4)的導數(shù)解4-y=cos?.z/=7x-4,則y：=-sin〃,〃；=7,所以才=)].“：=-sin〃7=-7sin(7x-4)

例3求且合函數(shù)y=e3i的導數(shù)解令y=e",〃=3x-2,則/=乙“：=3所以"="'?“；=/.3=Ji3=？*〃

例4求豆合函數(shù)y=h】cosx的導數(shù)解：令y=ln“,〃=cosx,sin.v所以'=L(-sinx)=~^S=Tanx

llucotix

二、高階導數(shù)

定義函數(shù)產(chǎn)/（X）的導數(shù)＞'=/'（、），我們把￥'=/'"）的導數(shù)（"=［八刈,叫做函數(shù)產(chǎn)/（"的二階導數(shù)，記為.、"，八為或富.

函數(shù)，=/W二階導數(shù)的導數(shù)叫作函數(shù)y=/（.r）的三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫作四階導數(shù)，…….一般地，y=f（x）的（〃-1）階導數(shù)

的導數(shù)叫做y=/（x）的”階導數(shù)，分別記作），⑷或/（/）,/*）⑺,…/（X）⑻二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).

例5求指數(shù)函數(shù)＞，=28的二階導數(shù).轆/=（2e，=2e，；/=（2^）=2/

例6y=sinx求它的四階導數(shù)解y'=cosx/=-sinx,＞'"="cos.ry（4）=sinx

例7y=2x'+1.求它的三階導數(shù)解y=6.ry'=12x,yM=12

四.作業(yè)1.2..

教學總

本節(jié)重點介紹了復合函數(shù)和高階導數(shù)，重點在讓學生學會計算：在解決例題i寸論過程中培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力：

結(jié)同時通過案例的引入讓學生產(chǎn)生文化自信

目標達

1.通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況；2.凝練價值元素，實現(xiàn)價值引領；

成檢測3.通過課外作業(yè)，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現(xiàn)數(shù)學文化的價值引領功能，培養(yǎng)探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數(shù)學》大一工科類專業(yè)學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內(nèi)

《微分》學時2

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業(yè)教育課程；C實踐類課程

型

1了解微分的法本公式,微分i云算；

教學目

2培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；

標3引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；

4培養(yǎng)學生的文化自信，對中國的學術(shù)自信.

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思

融入知識點微分

政

融入方式引例

設計

序資源名稱附件

融入資源作者來源描述（描述資源的詳細內(nèi)容，100-300字內(nèi)）

號《人物或事件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內(nèi)容簿單源名稱相間/填寫奧源網(wǎng)絡連按，資源細息現(xiàn)頰謂寫

描述）清視順所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著httpsvrrw.net/wx/46984.html

下篇》網(wǎng)絡

融入案例微分

教學實施

引例戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梅，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數(shù)的增加，木棍的長度會越來越短，當天數(shù)無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現(xiàn)了一種數(shù)列極限思想，今天我們來學習數(shù)列極限。引例用數(shù)學語言可表述為，

入

已知數(shù)列2482"，簡稱仁人

I.組織教學：復習舊知：導數(shù)

II、新課教學

一微分的定義

定義設函數(shù)y=/(x)在點工處可導，則稱r(x)-為函數(shù)y在點X處的4由于去=x'&=Ax,所以微分又可以記為4y=)4或

dy=r(x)公.由此可知，/'(x)=曰可看成函數(shù)的微分與白變量的微分的商：微商).由微分的定義可知，函數(shù)可微與可導是等價的.

例1求函數(shù)V=x2在x=l,公=0.1時的改變量及微分.

教學展

解Ay=(JC+Ar)2-x2=1.12-P=0.21y'-2x,"1=23].日=2所以力=y'〃=2xdv=2x0.l=0.2由=廣&=2.0.1=0.2

開

二、微分公式與微分運算法則

從函數(shù)微分的定義內(nèi)=/'(1)公可見，計算函數(shù)的微分，只要先求出函數(shù)的導數(shù)，然后乘以小即可.從導數(shù)的基本公式和運算法則，可以

直接推出微分的基本公式和運算法則.

1.微分的基本公式

d(C)=0(C為常數(shù))。d\nx=-dxdx,<=<,dsinx=cosxdx

X

aa'=a'Inadx=dcosx=-sinxdxde'=e'dxdlogax=—^—dx.

Alnrz

2函數(shù)和、差、積、商的微分法則cl(u±v)=du±dvd(uv)=vdu+udvd(2)='而二d(Cu)=Cdu

zV)廣

例2求y=V+sinx的微分.解)，'=，+sinx)'=(x')'+(sinx)'=3x2+cosxdy=y'dx=(3.v2+cosx)dx

例3求)，="2|nx的微分.解y'=(j2yInx+A'(lnx)r=2.vlnx+x2?—=.v(2lnx+l)dy=y'dx=x(2Inx+1kZv

X

例4求函數(shù)y=告的微分解“力(*：1)dy=>&dx

A+l(X+1)2(X+I)-(X+I)