2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-圓性質(zhì)綜合之求線段長(zhǎng)度問(wèn)題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-圓性質(zhì)綜合之求線段長(zhǎng)度問(wèn)題1．如圖，在中，，．以為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求線段的長(zhǎng)．2．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)C，D為上的兩點(diǎn)，點(diǎn)D平分，與相交于點(diǎn)E，連接，，延長(zhǎng)至F，連接，使．(1)求證：；(2)求證：為的切線；(3)若，且，求線段的長(zhǎng)．3．如圖，是的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，的半徑為2.5，，求的長(zhǎng)．4．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)H，G為上的一點(diǎn)，連接，交線段于點(diǎn)F，E為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．5．如圖，是的直徑，以為邊作交于點(diǎn)，且．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長(zhǎng)．6．如圖，半圓的直徑．點(diǎn)在半圓上，連結(jié)，，過(guò)點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)．(3)將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在線段上，求線段的長(zhǎng)．7．如圖，是的外接圓，點(diǎn)在上．連接交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：為的直徑；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在弧上，連接交于點(diǎn)，連接，若，，，求線段的長(zhǎng)．8．如圖，為等邊的外接圓，點(diǎn)D在劣弧上．運(yùn)動(dòng)（不與重合），連結(jié)．(1)若，求的大小；(2)求證：；(3)若（m為常數(shù)），作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，求線段的最小值．9．已知，如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線垂直，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)連接，若，，求線段的長(zhǎng)．10．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過(guò)O作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E、F是線段的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．11．如圖，線段與相切于點(diǎn)，的一條弦，連接，交于另一點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖1，經(jīng)過(guò)圓心，連接，，求證：．(2)如圖2，不經(jīng)過(guò)圓心．若，，，求的長(zhǎng)．12．如圖，已知為的直徑，與相切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的直徑為，求線段的長(zhǎng)．13．如圖，在中，，連接，，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為2，求線段的長(zhǎng)．14．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線相交于．弦平分，交直徑于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)若，，求線段的長(zhǎng)．15．如圖，線段經(jīng)過(guò)的圓心O，交于A，C兩點(diǎn)，為的弦，連接，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求的長(zhǎng)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-圓性質(zhì)綜合之求線段長(zhǎng)度問(wèn)題》參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵；（1）連接，根據(jù)，，可得，根據(jù)可得，進(jìn)而得出，即可得證；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，得出，在中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）連接，，，，又，，，點(diǎn)在上，為的切線；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，，在中，，，，．2．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由點(diǎn)D平分可知，得，由，可知，則，即可證得結(jié)論；（2）由（1）可知，可知，進(jìn)而可知，則，即可證得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于，連接，先證，得，進(jìn)而求得，則，，，，則，再證，得，設(shè)，則，，列出方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D平分，則，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：由（1）可知，∴，∵，∴，則，∴為的切線；（3）解：延長(zhǎng)交于，連接，∵，∴，∴，∵，∴，則，，∴，，則，由圓周角定理可知，，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，平行線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓的性質(zhì)與切線的判定定理，勾股定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由題意連接，得出，進(jìn)一步得出即，由此可證為的切線；（2）連接，，先得出，，以及，，進(jìn)一步得出，勾股定理得出，最后即可得出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵是半徑，∴為的切線；（2）連接，，∵是直徑，的半徑為2.5，∴，，∵，，，∴，，∵，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴．4．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由得到，然后結(jié)合得到，即可證明；（2）求出，，利用解直角三角形求出，得到，，連接，證明出，得到，然后代數(shù)求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，連接∵∴∵∴∵∴∴∵是半徑∴是的切線；（2）解：∵的半徑為5，∴∴∵∴，∴∴，如圖所示，連接∵∵是的直徑，∴∴又∵∴∴，即∴（負(fù)值舍去）∴∴∵∴∴∴（負(fù)值舍去）∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接．由等邊對(duì)等角得出，，等量代換可得出，即可得出，由平行線的性質(zhì)即可得出．（2）連接，．由直徑所對(duì)的圓周角等于90度以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再由正切的定義得出，由勾股定理得出，進(jìn)而可求出，，．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵是半徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，．∵為的直徑，∴，．又∵，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，．∴，∴，在中，，∴．∴，解得．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明，等邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角等于90度，等腰三角形三線合一，平行線截線段成比例定理，正切的定義等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用圓周角定理得到，利用平行線的性質(zhì)和垂徑定理解答即可得出結(jié)論；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到，利用同圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，再利用含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；（3）畫(huà)出圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，，設(shè)，則，，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，，再利用勾股定理列出方程解答即可．【詳解】（1）證明：∵是半圓O的直徑，，．，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）解：當(dāng)與相似時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去．②當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，．即線段的長(zhǎng)為；（3）解：如圖：由(1)知，，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，．在和中，，，，．由①得：，，為的中位線，．設(shè)，則，．，，，．．，，，解得：或(負(fù)數(shù)不合題意，舍去)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，即可證明；（2）根據(jù)圓周角定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理推出，，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)B作，垂足為，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為，連接，根據(jù)，先證明，由圓周角定理，解直角三角形求出的半徑，利用勾股定理建立方程求出，，，，再利用三角形面積公式求出，進(jìn)而求出，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，進(jìn)而即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，即,∴為的直徑；（2）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，設(shè)，則，∴在中，，即，整理得：，解得：或（舍去），∴，，，∴，∵，∴，在中，，即，解得：（負(fù)值舍去），∴，在中，，在中，，∴，在中，，，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查圓綜合題，圓周角定理，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，記住一些基本圖形、基本結(jié)論．8．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求解；（2）在線段上取點(diǎn)P，使，可得是等邊三角形，從而得到，，進(jìn)而得到，可證明，從而得到，即可；（3）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，連接，當(dāng)點(diǎn)位于上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，，，由，解得：，，則，在中，由勾股定理得，，代入解得：，則，．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∴；（2）證明：如圖，在線段上取點(diǎn)P，使，∵是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，連接，當(dāng)點(diǎn)位于上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，∴∵，∴，，∴，則在由勾股定理得，，∴，∴則在中，由勾股定理得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，解得：，，∴，在中，由勾股定理得，，代入解得：，∴而，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，計(jì)算復(fù)雜，難度較大．9．(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）由DC是的切線，，證明，可得，由，證明，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，然后得到，，證明出，得到，然后代數(shù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)G是的切線，，平分；（2）設(shè)∴∵∴∴，∴，即∵為的直徑，∴又∵∴∴，即解得或（舍去）∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．10．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，則，由是的半徑即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求出，證明，求出，再證明，求出，由，代入即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵為的直徑∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴．∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．11．(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，平行的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明，，再根據(jù)，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角函數(shù)得到，設(shè)，則，在中，，即，解得的值即可得到答案．【詳解】（1）證明：，．，．，．，，；（2）解：如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接．，．，．在中，設(shè)，則．，．在中，，即，解得，（舍去），．，．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)可得，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而利用圓周角定理可得，最后根據(jù)等角對(duì)等邊，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是度可得，從而利用（1）的結(jié)論可得，再利用角平分線的定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，如圖：與相切于點(diǎn)，，，，，，；（2）解：為的直徑，，，的直徑為，，平分，，，，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，在中，，（負(fù)值已舍）．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；（1）由結(jié)合半徑相等，可證出，從而得出四邊形是菱形，由，，可得出，得出是切線；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求出、，進(jìn)而在中，由勾股定理求出，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得到即可．【詳解】（1）如圖，連接，，，∴，，∴、是等邊三角形，，四邊形是菱形，∴，又，，是的切線；（2）由（1）得，，，在中，，，，，在中，由勾股定理得，，∵，∴，，又，，，，即．14．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，而，則可判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得到平分；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得出，根據(jù)余角的性質(zhì)可得出，然后根據(jù)角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（3）連接，證明，根據(jù)，求出，證明，得出，根據(jù)，得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，解方程，得出x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接．，．是的切線，，，．．即平分．（2）證明：是直徑，，又，．又，，．．．（3）解：連接．，．又是直徑，．，．，，．又，．設(shè)，則，在中，，解得，．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．