高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的零點》

高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的零點》

上海市甘泉外國語中學(xué)蔡逢禎

【教學(xué)目標】

1.理解函數(shù)零點的概念，掌握“函數(shù)零點存在”的判定方法，初步學(xué)會用“二

分法”求函數(shù)的零點；

2.經(jīng)歷函數(shù)零點的探索過程，體會“數(shù)形結(jié)合”、“特殊到一般”、“逼近”等

數(shù)學(xué)思想和方法；

3.在合作學(xué)習(xí)、問題解決的過程中，感悟數(shù)學(xué)思維的嚴謹，逐步形成良好的

數(shù)學(xué)品質(zhì).

【教學(xué)重點】

理解函數(shù)零點的概念，學(xué)會用“二分法”求函數(shù)的零點.

【教學(xué)難點】

理解零點存在的判定方法.

【教學(xué)過程】

一、引入課題

問題(1)求方程J—2x-3=0的根

(2)函數(shù)/(》)=必一2》-3的圖像與》軸交點的橫坐標；

(3)兩者之間有何關(guān)系？

二、探索新知

1.函數(shù)零點的概念

一般的，對于函數(shù)y=/(x)(xwZ>),如果存在實數(shù)c(cc￡)),當(dāng)x=c時,

/(c)=0,那么就把x=c叫做函數(shù),=/(x)(xe￡))的零點.

2.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程〃x)=0有實數(shù)根0函數(shù)y=的圖像與x軸有交點門函數(shù)

y=有零點.

4

練習(xí)：求下列函數(shù)的零點⑴/(x)=3x-2；(2)g(x)=x-—.

三.歸納結(jié)論

觀察函數(shù)/（X）的圖像，并回答以下問題.

問題（3）此函數(shù)有沒有零點？

（4）有幾個零點？

（5）為什么是零點？有何判斷依據(jù)?

1.在區(qū)間［a,句上__（有/無）零點;f（a）f（b）0（＜或＞）.

2.在區(qū)間［瓦c］上__（有/無）零點；/（b）于（c）0（（或＞）.

3.在區(qū)間［c,d］上__（有/無）零點；于（c）f（d）0（＜或＞）.

猜想：若函數(shù)在區(qū)間［a,同上圖像是連續(xù)的，如果有成立，那么函

數(shù)y=區(qū)間（a,份上有零點.

零點存在的判定方法：如果函數(shù)y=/（x）在定義區(qū)間［a,目上的圖像是一條連

續(xù)不斷的曲線，且有〃“）/伍）＜0,那么在區(qū)間（a力）內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使

/（c）=0,也就是在3功內(nèi),函數(shù)y=〃x）至少有一個零點.

思考辨析：

函數(shù)y=〃x）在區(qū)間［a,可上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，

（1）若〃a）〃b）＞0,函數(shù)y=在區(qū)間（°力）上一定沒有零點嗎？一定有

零點嗎？

（2）若㈤＜0,函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（a力）上只有一個零點嗎？可能有

幾個？

（3）在滿足定理的條件下，能否增加條件，可使函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（〃力）上

只有一個零點？

【例題】有一塊邊長是13厘米的正方形金屬薄片，如果先在它的四個角上都剪

去一個邊長為x厘米的小正方形，然后做成一個容積為140立方厘米的無蓋長方

體鐵盒（如圖），那么》是多少（圖中單位：厘米，結(jié)果精確到0.1）?

4/—52/+169140=0

求這個三次方程在內(nèi)的實數(shù)根，就是求函數(shù)

/(x)=4x3—52/+169X—140fo<x<y|的零點.

請學(xué)生利用計算器，用描點法作出函數(shù)/(x)在區(qū)間0,上的大致圖像。

從表格和圖像中可以看出，函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)、(3,4)內(nèi)各有一個零點X、

問題(6)%這個零點在⑶4)內(nèi)，它的范圍能否再精確些?

引導(dǎo)學(xué)生尋找求零點的辦法，并小組討論完成表格：

7?⑶./(3.5)<0,

3+4、-

1取(3,4)的中點為X=----=3.5/(^)=7(3.5)=-14所以/(x)在(3,3.5)

2

內(nèi)有零點

/()■/()<0,

取(_____,_____)所以/(好在(____,_____)

2x-______/區(qū))=/()=_____

2內(nèi)有零點

的中點工2

取(_____,_____)/()?/()<0,

3&二________f(x3)=/()=_____所以/(%)在(____,_____)

的中點當(dāng)內(nèi)有零點

取(_____,_____)f()-/()<0,

4%=--------/(%)=/()=_____所以/(%)在(____,_____)

的中點%內(nèi)有零點

通過表格，我們得到的結(jié)論是：/(%)在區(qū)間(3,4)內(nèi)的零點的近似值是3.2

二分法：對于在區(qū)間［〃,可上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)y=〃x),通

過不斷地把函數(shù)/(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近