新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 教師用書

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算

考試要求：1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.

2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求簡

單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

、必備知識-回顧教材重“四基

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念

(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在照附近有意義，自變量在才=弱處的改變量為小M如果當(dāng)A

△yAy

x-0時，平均變化率心無限趨近一個確定的值，即Q有極限，則稱y=/(x)在彳=圍處可

導(dǎo),并把這個確定的值叫做尸Ax)在矛=兩處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作F5。)

即/(版)=U^-=Jim/(70+Aj-)—/(1O)

或_/m

?=照2kr-*oZkz'&r-*o

⑵當(dāng)X變化時，y=f(x)就是X的函數(shù)，我們稱它為y=F(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y

=F(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y',即F(x)=y'=lim----------------1-----.

Ar-*oAr

微提醒■■■

1.函數(shù)y=f(x)在才=加處的導(dǎo)數(shù)是一個數(shù)值，與給定的函數(shù)及照的位置有關(guān)，與Ax

無關(guān)；導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)，是一個確定的函數(shù)，它依賴于函數(shù)本身，與x,Ax無關(guān).

2.函數(shù)尸〃力的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化

的方向，其大小I/(X)1反映了變化的快慢，1/(*)|越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”.

3.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是倡函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

-2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)尸一〃*)在點即處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y—F(x)在點尸(的，〃頂))處的切

線的斜率片即2F(⑷.

微提醒■■■

直線與曲線相切時不一定只有一個公共點.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))f(x)=0

f(x)=xa(a￡Q,且aWO)f(x)=ax"1

f(x)=sinx廣(x)=cosX

/V)=cosXF(x)=-sinx

f(x)=e、FU)=￡

f(x)=a*(a>0,且aW1)f(x)=a*lna

f[x}=lnxF(x)=-

X

f(x)=1ogx(a>0,且aW1)f(x)=—

axlna

微提醒■■■

要注意‘曷函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的區(qū)別，以防混淆.

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

若F(x),/(力存在，則有

(l)"(x)±g(x)]'=/、’(功士》(x).

⑵"3.g(x)]'=/"(>)冢功+/6)口‘(x).

tX

⑶「'g，(虱："。)?

-gX

微提醒■■■

1.和差的導(dǎo)數(shù)運算法則可以推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的和差求導(dǎo)運算.

2.應(yīng)用積商的導(dǎo)數(shù)運算法則時要注意，不能對構(gòu)成積商的兩個函數(shù)簡單求導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，對于由函數(shù)尸，〃)和〃=以才)復(fù)合而成的函數(shù)尸f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

y=f(u),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為/.、=/“?〃'，,即，對x的導(dǎo)數(shù)等于句對〃的導(dǎo)數(shù)

與〃對」的導(dǎo)數(shù)的乘積.

微提醒■■■「

要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)闹虚g變量.

二、基本技能?思想?活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

(1)f(加與"(劉)]'表示的意義相同.

(X)

⑵求(8)時，可先求/’(刖)再求,(劉).(x)

(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(J)

(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(X)

(5)函數(shù)/V)=sin(—>)的導(dǎo)數(shù)是，(AT)=cosx.X)

2.曲線y=sinx+e*在點(0,D處的切線方程是()

A.x—3p+3=0B.x—2y+2=0

C.2x-y+l=0I).3x-y+l=0

C解析：y'=cosx+e',令x=0得切線的斜率女=2,切線方程為y=2x+1,即2x

-y+l=0.

3.函數(shù)尸cos(l+f)的導(dǎo)數(shù)是()

A.y'=2^sin(l+Y)

B.y'=—sin(l+Y)

C.y'=-2xsin(l+f)

D.y'=2cos(l+/)

C解析：y=—sind+^r2)?(l+f)'=—2%sin(H-x).

4.已知曲線f(x)=2/+i在點必(即〃照))處的瞬時變化率為-8,則點”的坐標(biāo)為

(—2,9)解析：因為f(x)=2產(chǎn)+1,所以/(才)=4k令4照=-8,則照=—2,所

以八照)=9,所以點材的坐標(biāo)為(-2,9).

5.如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點〃處的切線為尸一2x+5,則A2)+f(2)=

-1解析：因為函教尸Ax)的圖象在點x=2處的切線方程是尸一2葉5,

所以F(2)=-2,*2)=—4+5=1,所以F(2)+f(2)=1+(-2)=-1.

、關(guān)鍵能力-研析考點強“四翼”/

考點1導(dǎo)數(shù)的計算一一基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.(2022?成都期中)下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.(f)'=xln4

B.(3)'=X-3'T

C.(/sinx)'=3ysinx—A^COSX

Inx+1

yinx

D解析：根據(jù)題意，依次分析選項.對于A,(4"=4f,A錯誤；對于B,(3')'=

3'In3,B錯誤;對于C,（A？sinx）'=3/sin*+/cosx,C錯誤;對于D,

Inx+1

D正確.

xlnx

2.拉格朗Fl中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)

間S，3上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a,內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f(x),那么在區(qū)間(a,6)內(nèi)

至少存在一點c,使得八吩一八a)=「(。)3—給成立，其中。叫做/〃)在|>,加上的“拉

格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得函數(shù)F(x)=d-在[-2,2]上的“拉格朗|=|中值點”

的個數(shù)為()

A.3B.2

C.1D.0

B解析：函數(shù)F(x)=V—3x,則有/'(2)=2,/(—2)=—2,f(x)=3/-3.由/'(2)

-A-2)=r(c)(2+2),可得/(c)=l,即3c2-3=1,解得c=土孚￡[-2,2],所

o

以八X)在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.

3.已知函數(shù)/V)=-JX2+2XF(2021)+20211nx-2,則F(2021)=()

A.2022B.2021C.2020D.2019

9021

C解析：由題意可知F(>)=一>+26(202D+

x

令x=2021,所以F(2021)=-2021+2F(2021)+1,

所以F(2021)=2020.

4.(2021?閻良區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=e2*?cosM則F(x)=.

e2r(2cosx-sinx)解析:由積的求導(dǎo)法則可得,f(x)=(e2v?cosx)'=e2'*2*cos

x+e2x(cosx)'=2e2cosx—e2rsinx=e"(2cosx-sinx).

解題通法

第2題是新定義問題，理解定義是關(guān)鍵；解答第3題時要注意求導(dǎo)時把/(2021)看

作數(shù)字系數(shù)，再賦特殊值；解答第4題時一定要注意y=e2"是簡單的復(fù)合函數(shù).

考點2導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一應(yīng)用性

典例引領(lǐng)

考向1求切線方程

例（1）（2021?全國甲卷）曲線尸包U在點（一1,一3）處的切線方程為—

ylI乙

5%—y+2=0解析：由題意知，當(dāng)x=-1時，y=-3,故點（一1,—3）在曲線上,

2x+2-2x-1_______5

求導(dǎo)得，Vx+22=葉2

所以V|x=_i=5,

故切線方程為以一什2=0.

（2）已知曲線S：y=2%-/,則過點以2,0）并與曲線S相切的直線方程為________.

y=2—x或尸（一10±6#）（x—2）解析：顯然點夕不在曲線上.設(shè)切點坐標(biāo)為加,2加

一/）,則所求直線的斜率左=冽二?（加工2）,

m—Z

而V|尸產(chǎn)2—3病，所以7=2—3萬，整理得病一+2=0,

m—2

即m—m—2（m—1）=0n〃；（m—1）—2（Z?T4-1）（m—1）=0n（m—1）（.m—2m—2）=0,

解得〃A=1,加加=1一＜5.

當(dāng)勿=1時，k=2—癡=-1,直線方程為/=一（/-2）=2一第

當(dāng)m=l+，5時，4=2—3病=-10—6#,直線方程為尸（一10—6^）（萬—2）；

當(dāng)加=1—時，A=2—3/?=—104-6^3,直線方程為y=（―10+6，5）（x—2）.

同源異考/

2Y—1

木例（1）中曲線方程改為“FGr—1）=一二3"，則曲餞〃=F（x）在點（一1,f（一D）處切

XI乙

線的斜率為（）

A.—2B-W

c-f

D.5

9v—1915

C解析：由/（，-1）=—知.）==，所以尸3=-^L'所以…

1)=?

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率〃=:

解題通法

求曲線的切線方程的題理及方法

⑴切線所過點f（施））在曲線上：切線斜率是該點處的導(dǎo)數(shù)值（8）.

(2)切線所過點Pg㈤不在曲線上，可設(shè)切點為(.Vi,7|）,由

yi=fxi,

求解即可.

y（）—y]=f,x\xQ—xl

考向2求切點坐標(biāo)

/1

例?，(1)(2021?南昌二模)若曲線尸7—3門/在/=斯處的切線的斜率為5,則照

A乙

■

?[3]3

3解析：由尸?一31nx,得_/=-x——(x>0),故酒--解得期=3或助=一

1乙X乙A\J乙

2(舍去)，故劉=3.

(2)設(shè)曲線尸/在點(0,1)處的切線與曲線y=-(x>0)上點。處的切線垂直，則點夕的

X

坐標(biāo)為.

(1,1)解析：點(0,1)在曲線y=e'上.因為/=e'，所以曲線尸e'在點(0,1)處的

切線的斜率％=c°=l.設(shè)P(勿,〃)，y=1(x>0)的導(dǎo)數(shù)為V=-T(尤>0),所以曲線(x>0)

XXX

在點。處的切線斜率他=-7(0>0).因為兩切線垂直，所以衣也=-1,所以/=1,〃=1,

m

則點/的坐標(biāo)為(1,1).

解題通法

求切點的思路

已知切線方程(或斜條)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜

率，從而求出切點的橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標(biāo).

-考向3求參數(shù)的值或取值范圍

例?，(1)(2021?萍鄉(xiāng)二模)函數(shù)尸:在點(2,3處的切線與直線肘+曠+1=0垂直，

則實數(shù)a的值為.

-4解析：因為/=f(/)=-4,所以f(2)=一；.

x4

因為切線與直線ax+y+l=0垂直，

所以(一9)x(一向=一晨解得3=一生

(2)函數(shù)F(x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x一尸0平行的切線，則實數(shù)a的取值范

圍是.

(—8,2)解析：函數(shù)f(x)=lnx+ax的定義域為(0,+°°).因為函數(shù)/'(x)=lnx

+ax的圖象存在與直線2x一尸=0平行的切線，即尸(力=2在(0,+8)上有解，所以F

（x）=&a=2在（0,+8）上有解，則a=2—：.

因為x＞0,所以2—，＜2,所以a的取值范圍是（一8,2）.

X

解題通法

1.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程（不等式），求解即可.

2.常用的等量關(guān)系：（1）切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜左.（2）切點在切線.匕也在曲線上.

考向4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系

例。，（1）已知函數(shù)尸〃力的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)尸尸（⑼的圖象

如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）

B解析：由尸f（x）的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)尸f（x）圖象的切線的斜率先

增大后減小.故選B.

（2）函數(shù)尸〃X）的圖象如圖所示，f（M是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確的

是（）

A.f（2）＜r（3）＜f（3）-r（2）＜0

B.f（3）＜r（2）＜rt3）-r（2）＜o(jì)

c.A3）-r（2）＜r（3）＜r（2x0

1）.f（2）＜r（3）-/（2）＜r（3）＜o(jì)

D解析：根據(jù)題意,設(shè)以2,f（2））,M3,八3））為函數(shù)尸&＞）上的點,

則f（2）為函數(shù)在x=2處切線的斜率，

f（3）為函數(shù)F（x）在x=3處切線的斜率，

7,3—r2

A3）-A2）=-——為直線曲V的斜率.

結(jié)合圖象（圖略）分析可得f（2）＜A3）-f（2）＜r（3X0.

5

J

O\i234567x

解題通法

函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，由切

線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.

「多維訓(xùn)練」

1.如圖所示為函數(shù)尸F(xiàn)(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么尸f(x),尸g(x)的圖象

可能是()

D解析：由尸F(xiàn)(力的圖象知，y=F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)尸f(x)

的切線的斜率在(0,+8)上也單調(diào)遞減，故可排除A,C.

乂由圖象知(】)與尸g'(x)的圖象在片=照處相交，說明尸/'(>)與y=g(x)的

圖象在*=胸處的切線的斜率相同，故可排除B.

2.已知直線尸履是曲線尸e’的切線，則實數(shù)〃的值為()

A.-B.--

ee

C.-eD.e

Xo

I)解析：函數(shù)尸的導(dǎo)數(shù)為V=ev,設(shè)切點為WE,e)，則過P的切線方程為y

AbXo

—e=e(x—Ab),代入點(0,0)得照=1,所以2(1,。)，所以*=e.

3.曲線y=ln在x=l處的切線的傾斜角為明則cos(2。+5)的值為()

4

B.

A，I5

3

c晨D.

□5

i9io

D解析：依題意，V=I所以tana=-4--=3,

XXa11

2sinacosa2tana2X3_3

所以cos2。2a

sin2a+cos2atan2a+13J+15

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

考試要求：1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)隼調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三

次）.

3.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.

4.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

第1課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

.....-\必備知識-回顧教材重“四基”/—

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

f(x)>0y=r（x）在區(qū)間（&6）上單調(diào)遞增

函數(shù)尸f（x）在區(qū)間儲，份上可導(dǎo)f(x)<0y=F（x）在區(qū)間（a,方）上單調(diào)遞減

f(x)=0y=F（x）在區(qū)間（a,方）上是常數(shù)函數(shù)

微提醒■■■

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增，則F（力20,所以“F5）20在區(qū)間（a,

0上成立"是“尸/.J）在區(qū)間（a,份上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

-二、基本技能?思想?活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,上單調(diào)說增，那么一定有/G）＞0.

(X)

(2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有6(x)=0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性.

(V)

⑶若在區(qū)間(a,A)內(nèi)，Cr)W()且/(*)=0的根為有限個，則/V)在區(qū)間(a,6)上

單調(diào)遞減.(J)

2.函數(shù)尸xcosX-sinx在下面哪個區(qū)間上單調(diào)遞減()

(n3Ji\

A.團(tuán)—JB.(n,2n)

c仔,與I).(2JI,33T)

I)解析：y'=cosy-xsinA-cos>=—>sinx,欲使導(dǎo)數(shù)為負(fù)，只需x與sinx

的符號相同,

分析四個選項知，D選項符合條件.

1n

3.已知函數(shù)/U)=+x，則()

A

A.f(2)>f(e)〉f(3)

B.A3)>/(e)>f(2)

C.A3)>/(2)>/(e)

D.Ae)>f(3)>f(2)

D解析：f(x)的定義域是(0,+8).

1—1nv

因為尸(x)=-L，所以*￡(o,e)時，f(x)>0；

A

xE.(c,+8)時，f(x)<o.故x=c時，f(x)nax=f(e).

d“c\In2In8心、In3In9

又/'(2)==一=丁，丹3)=不~==一,

Zb3b

所以/(e)>f(3)>A2).

4.已知函數(shù)f(x)=ilnx,則F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

(0，§解析：因為函數(shù)/'(x)=>】n%的定義域為(0,+8)，乂/(*)=ln)+1(力0),

當(dāng)/(x)<0時，解得0<水%即函數(shù)八>)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

5.函數(shù)/.(x)=f+a/-ax在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是.

[—3,0]解析：f'5)=3彳2+21?以一打20在R上恒成立，即4a'+12aW0,解得一3Wa

W0,即實數(shù)a的取值范圍為[—3,0].

、關(guān)鍵能力-研析考點強“四翼”/

考點1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一一基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.(2022?涼州模擬)函數(shù)〃*)=2丁一h”的單調(diào)遞減區(qū)間為()

D.&+8

4x—1

B解析：函數(shù)/XA)=2X—Inx的定義域為(0,+8),F(x)=4x—=-----.

xx

當(dāng)x￡(o,，時，ruxo,函數(shù)單調(diào)遞減.

2.函數(shù)f(x)=x-e'-ef的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,e)B.(1?e)

C.(e,4-°°)D.(e—1,+°°)

i)解析：由八x)=)-e'-e'+l得/(x)=(rH-e)-er.

令f(x)>0,解得x>e—l,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e—1,+-).

3.(2021?贛州模擬)若函數(shù)尸F(xiàn)(x)在區(qū)間〃上是增函數(shù)，且函數(shù)(x)在區(qū)間〃

上也是增函數(shù)(其中F(才)是函數(shù)以X)的導(dǎo)函數(shù))，那么稱函數(shù)y=f(>)是區(qū)間〃上的“快

增函數(shù)”，區(qū)間〃叫做“快增區(qū)間”.函數(shù)/V)=sin2x+2sinx在區(qū)間[0,丸]上的“快增

區(qū)間”為()

-JT-1r7T-

A.0,—B.0,—

_6」L3_

-JiTilrnJI"

c————n————

316'2」[3'2.

A解析：因為/'(x)=sin'x+2sin[(),n],所以/(x)=2sin/cosx+2cos

x=2cosx(sinx+1).

令f(x)20,可得0,+,所以在()，y上是增函數(shù).

乙乙

令g(禽=「(x),則g'(AT)=—2sinx(sin1)+2cos2x=-4sin2AT_2sinx+2=

—2(2sinx—1)(sinx+1).

令g'(x)20,可得OW啟?或^啟n,

oo

n5K

所以函數(shù)f(x)在0,—和—,n上是增函數(shù),

O0

所以函數(shù)/V)=sin2^+2sinx在區(qū)間［0,n］上的“快增區(qū)間”為0,2

O

解題通法

解答第1題要注意，求單調(diào)區(qū)間的前提是求定義域；第3題是新定義問題，理解定義是

關(guān)鍵，根據(jù)定義，“快增區(qū)間”即函數(shù)尸f(x)的增區(qū)間與函數(shù)尸f(x)的增區(qū)間的交集.

考點2討論函數(shù)的單調(diào)性一一綜合性

「典例引領(lǐng)」

例(2021?全國乙卷)已知函數(shù)A^)=/-x4-^+l.

(1)討論F(x)的單調(diào)性;

(2)求曲線y=F(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標(biāo).

解：(1)由函數(shù)的解析式可得(>)=3y-2x+a,

導(dǎo)函數(shù)的判別式〃=4—12a.

當(dāng)4=4—12aW0,即時，/*(x)20,1'(x)在R上單調(diào)遞增.

1<

當(dāng)4=4-12a>0,即水g時，f(*)=0的解為由3”,x2='~^—,

當(dāng)XE(-8,口日三)時，fJ)〉。，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)(匕《三，上叫三可時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l+N；—理十-，時，F(xiàn)(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，當(dāng)時，F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞增，

O

當(dāng)水3時，/.(*)在(—8,匕年可，戶盧，+8)上單調(diào)遞增，

在『匕斗三，1十“產(chǎn)］上單調(diào)遞減.

OO

⑵設(shè)切點為(AU,_y<j).由題意可得AAu)=Ab—/+打即+1,f,(AI>)=3/一2ti,

則切線方程為y~(￡―/+々照+1)=(3必一2x(i+a)(*—刖).

由切線過坐標(biāo)原點，得0—(總一篇+。照+1)=(3■-2甩+血(0—xo),整理可得2宕一言

—1=0,即(加-1)?(2/+吊+1)=0,解得照=1,

則/1(照)=/(l)=l—l+a+l=a+l,F(照)=尸(l)=l+a,

切線方程為y=(a+l)尤

與y=f(x)=#'—f+ax+l聯(lián)立，得f+ax+l=(a+l)x,化簡得f一刀+1=

0.

由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，所以柒-1)是f一彳2—才+1的一個因式，

所以該方程可以分解因式為(x—1)(/—1)=0,

解得汨=1,照=-1,

綜上，曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線二f(x)的公共點的坐標(biāo)為(l,a+l)和(一

1,-1-a).

同源異考/

本例若把函數(shù)改為:AA)=X4-(a4-1)/4-(2a—1)x—1(s<0),試討論函數(shù)f(x)的單

調(diào)性.

解：f[x)=x+(a+l)l+(2a—1)x—1(a<0),

f(x)=3x?+2(a+1)x+(2a—1)=3(刀+1)(葉乙；)

令fW=0,

解得>=一]或x=l,J'wR，+8).

I—2a

當(dāng)一1<A<---時，f(x)VO；

o

I_2

當(dāng)x<—1或x>—L"時，f(A)>0.

o

綜上，f(x)在(-8,—1)上單調(diào)遞增，在(一1,Lf)上單調(diào)遞減，在卜尸,+8)

上單調(diào)遞增.

解題通法

1.研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

2.劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的

間斷點.

「多維訓(xùn)練」

1.討論函數(shù)&(*)=(x—a—l)e‘一(x—a)’的單調(diào)性.

解：g(x)的定義域為R，

g(x)=(z-a)ex—2(A—a)=(x~a)(e'—2).

令g'(x)=0,得x=a或x=ln2.

①當(dāng)a>ln2時，

x￡(—8,in2)U(a,+8)時，g'(*)>(),

xE(In2,a)時，g(x)<0；

②當(dāng)a=ln2時，g'(x)20恒成立，所以g(x)在R上單調(diào)遞增；

③當(dāng)水In2時，

x￡(—8,4)u(In2,+8)時，g'(^)>0,

xW(a,In2)時，g'(x)<0.

綜上，當(dāng)a>ln2時，g(x)在(-8,in2),(a,+8)上單調(diào)遞增，在(In2,a)上單

調(diào)遞減；

當(dāng)a=ln2時，g(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)Win2時，g(x)在(――，血，(in2,+8)上單調(diào)遞增，在(&In2)上單調(diào)遞減.

2.討論函數(shù)/'(x)=21nx+J—ax(a￡R)的單調(diào)性.

o/一9*+2

解：函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0},fW=~+x—a=:----；---(x>0).令g(x)=V

XA

—ax+2,則4=2—8.

①當(dāng)NWO,即一2/WaW2/時，f(x)20,〃*)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)A>0,即a2隹或水一2/時.

(i)若水一2m，因為x>0,所以尸(x)>0,在(0,+8)上單調(diào)遞增，

(ii)若a2鏡，方程V—ax+2=0的兩根=在二山夕三，且?！醇?/p>

〈X2，

當(dāng)(0,汨)時，f(x)>0,當(dāng)(矛2,+8)時，f(%)>0,

所以f(x)在(0,小)，(必，+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)(X”在)時，f(X)<0,故/"(X)在(X”發(fā))上單調(diào)遞減.

綜上，若忘2木,則f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

若a>2yf2,則/'(>)在(()，”3,+g)上單調(diào)遞增，在

仁辱，史羋君上單調(diào)遞減.

I/J)

考點3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一一應(yīng)用性

典例引領(lǐng)

考向1利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例?，(2021?長安區(qū)二模)已知F'(力是定義域為R的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意

實數(shù)x都有F(力>必力-1,且有/'(1)=2,則不等式/'(分一1>d7的解集為.

(1,+8)解析：不等式f(x)—l>e-,等價于不等式,

e

fY-1/Y-fV-I

構(gòu)造函數(shù)g(x)=---,則/3=——;-----------------.

ee

因為對任意實數(shù)X都有f(x)>f(x)—l,則g'G)>0,g(x)在R上單調(diào)遞增.

/*1—1fx—1

乂以1)=-1—=1,故一-->1,即g(M>g(D,

ee

故不等式的解集是(1，+8).

解題通法

解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù).題目中若存在Ax)

與f(*)的不等關(guān)系時，常結(jié)合這種關(guān)系的特點構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解不

等式.

考向2利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例圖,(2021?全國乙卷)設(shè)a=21n1.01,b=\n1.02,°="()4-1,貝lj()

A.水灰cB.b^c^a

C.D.c<s<b

B解析：a=21n1.01=lnl.0112=ln(1+0.01)2=ln(l+2X0.01+0.012)>ln1.02=/

所以慶a.

下面比較c與a,6的大小關(guān)系.

22

記F(x)=21n(l+x)—W+4x+1,貝ljf(0)=0,fr(x)=

]+x@+4萬一

2dl+4x-1—x

1+xAJI+4X

由于l+4x—(l+x)2=2x—f=x(2—x),

所以當(dāng)0<水2時，1+4X—(1+X)2〉O,即dl+4x>(l+x),f(x)>0,

所以Ax)在(0,2)上單調(diào)遞增，

所以/X0.01)>/(0)=0,即21n1.01>Vr04-l,即力c.

,、22

令g(x)=ln(l+2x)—4l+4x+1,則g(0)=0,3=心-E

2\l+4x—1—2x

]+2x[l+4x，

由于l+4x—(l+2x)2=—4f,在>>0時，1+4彳一(1+2X)2<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)以力在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以以以01)<g(0)=0,即In

1.02<^/1.04-1,即從c.綜上，b<c<a.

解題通法

利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為先

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性比較大小.

考向3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例0*若函數(shù)/'(>)=*+asin*在0,5)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.[―亍0jB.卜8,一工

C.-；，+8)D.[1,I8)

D解析：由題意，可知/(x)=l+acosx,

因為函數(shù)f(x)=x+asinx在0,7)上單調(diào)遞增，所以f(x)=l+5cos*20在

0，上恒成立，

所以aN------.因為所以乎<cosaWl,

cosx42

所以一W—1,所以1.

cosx

所以a的取值范圍是[-1,+8).

同源異考/

本例若改為：若函數(shù)f(x)=x+z/sinx在(0,:上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

解：f(X)=1+c/COSx.

因為函數(shù)/'(x)=x+asinx在(0,了上單調(diào)遞減，所以f(x)=l+acosxWO在

(:n]_1

()，不上恒成立，所以-------.

\4Jcosx

設(shè)尸一一—，則它在(()，』上是減函數(shù)，所以煬產(chǎn)——

COSX\4J71V

COS-

4

所以aW—

所以a的取值范圍是(一8,一啦].

解題通法

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的解題策略

(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件/(>)20或/Cr)W0,x6a，

6)恒成立，解出參數(shù).應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則容易漏解.

(2)如果能分離參數(shù)，則盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.

(3)若函數(shù)在區(qū)間Q,6)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為/(*)=0在Q,6)上有異號解.

「多維訓(xùn)練」

1

1.(2021?廣東模擬)若函數(shù)〃x)=J^(e為自然對數(shù)的底數(shù))是減函數(shù)，則實數(shù)&

0

的取值范圍是()

A.(—8,o]B.(—8,1]

C.(0,+8)I).[0,1]

n〃n_LL一止入?心、tc?、2ax—ax-1

解析：函數(shù)/'(?=-l的定乂域為r(x)=-----;—.

DeR,e

因為函數(shù)f(x)是減函數(shù)，所以r(x)wo恒成立.

令g(x)=2ax—a^—\,則g(x)W0恒成立，

當(dāng)a=0時，以*)=-1成立；

當(dāng)aVO時，則g(x)的圖象開口向上，g(x)W0不恒成立，不符合題意：

當(dāng)a>0時，要使gG)WO恒成立，則4=44-4aW0,解得OWaWl,又a>0,所以0

<aWl.

綜上可得，實數(shù)3的取值范圍是[0,1].

-l』」皿\_.(r2cos2彳+1,cosx+1sinz+1

2.(2022?渝水區(qū)模擬)已1t知0n,—L且a=—~~—,b=—工一，c=—,

\4)2cosxee

e

則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.D.c<.a<.b

1x

A解析：令g(x)=-,則/5)=-f

ee

所以當(dāng)尤>0時，g'(x)<0,g(￥)單調(diào)遞減.

因為x￡(0,：),

所以cos*，11,2cos(鏡，2),且cosx>sinx>0.

又2cos'X一cosx=cosx(2cosA-1)>0,所以2cos-Acos>>sinx>0.

又g(x)單調(diào)遞減，則可得aV力Vc.

—一題N解-深化綜合提“素養(yǎng)”廠

試題呈現(xiàn)

若函數(shù)F(x)=f-a3H在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

［四字程序］

讀想算思

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

1.求f(X).

單調(diào)性的方法.轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)

求實數(shù)a的取值范圍2.解不等式/(>)

2.從什么角度列不等合

W0

式求取值范圍

由函數(shù)/.(*?)在區(qū)間

1.函數(shù)最值.

［a,句上單調(diào)遞增