2025年湖北省高考數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程試卷

2025年湖北省高考數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程試卷一、選擇題1.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$a=2b$，則橢圓的方程為（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$B.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$C.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$2.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的漸近線方程為$y=\pm2x$，則雙曲線的方程為（）A.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$B.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$D.$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$二、填空題3.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右頂點(diǎn)為$A$，左焦點(diǎn)為$F_1$，若直線$AF_1$的斜率為$2$，則直線$AF_1$的方程為_(kāi)_________。4.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的實(shí)軸長(zhǎng)為$6$，離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則雙曲線的方程為_(kāi)_________。三、解答題5.（15分）已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左焦點(diǎn)為$F_1$，右焦點(diǎn)為$F_2$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$\angleF_1PF_2=60^\circ$，求點(diǎn)$P$的軌跡方程。6.（15分）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的漸近線方程為$y=\pm2x$，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(3,2)$，求雙曲線的方程。四、解答題7.（15分）已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的左頂點(diǎn)為$A$，右頂點(diǎn)為$B$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$AP$垂直于$x$軸，若$AB$的長(zhǎng)度為$2\sqrt{5}$，求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。8.（15分）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一個(gè)焦點(diǎn)為$F_1(0,c)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(2,3)$，求雙曲線的方程。五、解答題9.（15分）已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左焦點(diǎn)為$F_1$，右焦點(diǎn)為$F_2$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$PF_1+PF_2=10$，求點(diǎn)$P$的軌跡方程。10.（15分）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的漸近線方程為$y=\pm\frac{1}{2}x$，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為$8$，求雙曲線的方程。六、解答題11.（15分）已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的一個(gè)頂點(diǎn)為$A$，左焦點(diǎn)為$F_1$，右焦點(diǎn)為$F_2$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$AP$與$x$軸的夾角為$45^\circ$，求點(diǎn)$P$的軌跡方程。12.（15分）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一個(gè)焦點(diǎn)為$F_1(0,c)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$，且雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求雙曲線的方程。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$解析：由橢圓的離心率公式$e=\frac{c}{a}$，得$c=ae$，代入$c^2=a^2-b^2$得$b^2=a^2-a^2e^2$。又因?yàn)?a=2b$，代入得$b^2=\frac{a^2}{4}$，所以$b=\frac{a}{2}$。將$b$代入$b^2=a^2-a^2e^2$得$\frac{a^2}{4}=a^2-a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，解得$a=2$，$b=1$，所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。2.A.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$解析：由雙曲線的漸近線方程$y=\pm2x$，得$\frac{a}=2$，即$b=2a$。又因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為$6$，即$2a=6$，解得$a=3$，$b=6$。所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$，即$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$。二、填空題3.$x+2y=1$解析：由橢圓的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得右頂點(diǎn)$A(2,0)$，左焦點(diǎn)$F_1(-1,0)$。直線$AF_1$的斜率為$\frac{0-0}{2-(-1)}=0$，所以直線$AF_1$的方程為$y=0$，即$x+2y=1$。4.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$解析：由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為$6$，得$2a=6$，解得$a=3$。由離心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$，得$c=ae=3\sqrt{5}$。由$c^2=a^2+b^2$，得$b^2=c^2-a^2=45-9=36$，所以$b=6$。所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$，即$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$。三、解答題5.軌跡方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$解析：由橢圓的定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，即$PF_1+PF_2=2a$。由題意知$PF_1+PF_2=10$，所以$2a=10$，解得$a=5$。又因?yàn)?\angleF_1PF_2=60^\circ$，所以$\triangleF_1PF_2$為等邊三角形，$PF_1=PF_2=a=5$。所以點(diǎn)$P$的軌跡為以$F_1$和$F_2$為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。6.雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$解析：由漸近線方程$y=\pm2x$，得$\frac{a}=2$，即$b=2a$。又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(3,2)$，代入雙曲線方程得$\frac{3^2}{a^2}-\frac{2^2}{(2a)^2}=1$，解得$a=2$，$b=4$。所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$，即$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。四、解答題7.點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(2,\pm\frac{3}{2})$解析：由橢圓的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得左頂點(diǎn)$A(-3,0)$，右頂點(diǎn)$B(3,0)$。$AB$的長(zhǎng)度為$2\sqrt{5}$，所以$2a=2\sqrt{5}$，解得$a=\sqrt{5}$。由橢圓的定義，$AP$垂直于$x$軸，所以$P$的$x$坐標(biāo)為$A$的$x$坐標(biāo)，即$-3$。代入橢圓方程得$\frac{(-3)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，解得$y^2=4$，所以$y=\pm\frac{3}{2}$。因此，點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(2,\pm\frac{3}{2})$。8.雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$解析：由漸近線方程$y=\pm2x$，得$\frac{a}=2$，即$b=2a$。又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(2,3)$，代入雙曲線方程得$\frac{2^2}{a^2}-\frac{3^2}{(2a)^2}=1$，解得$a=1$，$b=2$。又因?yàn)?c=\sqrt{a^2+b^2}$，得$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$，即$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$。五、解答題9.軌跡方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$解析：由橢圓的定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，即$PF_1+PF_2=2a$。由題意知$PF_1+PF_2=10$，所以$2a=10$，解得$a=5$。又因?yàn)?\triangleF_1PF_2$為等邊三角形，$PF_1=PF_2=a=5$。所以點(diǎn)$P$的軌跡為以$F_1$和$F_2$為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$，即$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$。10.雙曲線的方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$解析：由漸近線方程$y=\pm\frac{1}{2}x$，得$\frac{a}=\frac{1}{2}$，即$b=\frac{a}{2}$。又因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為$8$，得$2a=8$，解得$a=4$，$b=2$。所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$，即$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$。六、解答題11.軌跡方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$解析：由橢圓的定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，即$PF_1+PF_2=2a$。由題意知$PF_1+PF_2=10$，所以$2a=10$，解得$a=5$。又因?yàn)?\triangleF_1PF_2$為等邊三角形，$PF_1=PF_2=a=5$。所以點(diǎn)$P$的軌跡為以$F_1$和$F_2$為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$，即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。12.雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$解析：由離心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$，