2025年國際信息學奧林匹克競賽編程試題：算法競賽中的圖論算法挑戰(zhàn)

2025年國際信息學奧林匹克競賽編程試題：算法競賽中的圖論算法挑戰(zhàn)一、編程題要求：實現(xiàn)一個程序，該程序能夠讀取一個無向圖，并判斷該圖是否為連通圖。如果圖是連通的，則輸出"連通"；如果圖不是連通的，則輸出"不連通"。輸入圖由多行表示，第一行是頂點數(shù)和邊數(shù)，接下來每行表示一條邊，邊的兩個頂點用空格隔開。輸入：56122334455125輸出：連通輸入：4412233441輸出：不連通二、判斷題要求：判斷以下說法的正誤。1.在圖論中，有向圖和無向圖的最大區(qū)別在于邊的方向性。2.在無向圖中，任意兩個頂點之間都存在一條路徑。3.歐拉圖是指包含一條歐拉回路的連通圖。4.在加權(quán)圖中，邊的權(quán)重可以是負數(shù)。5.在最小生成樹中，邊的數(shù)量等于頂點數(shù)減一。6.在二分圖中，頂點可以分為兩個集合，使得每個集合中的頂點之間沒有邊相連。7.在哈夫曼樹中，葉節(jié)點的數(shù)量總是等于非葉節(jié)點的數(shù)量。8.在深度優(yōu)先搜索中，訪問順序是從頂點出發(fā)沿著一條邊到達相鄰頂點，直到無法繼續(xù)為止。9.在廣度優(yōu)先搜索中，訪問順序是從頂點出發(fā)沿著一條邊到達相鄰頂點，直到無法繼續(xù)為止。10.在拓撲排序中，圖中的所有頂點都會被訪問到。三、選擇題要求：從下列選項中選擇一個正確答案。1.下列哪個算法可以用來判斷一個圖是否為二分圖？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.深度優(yōu)先搜索2.下列哪個算法可以用來找到圖中所有簡單路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.深度優(yōu)先搜索3.下列哪個算法可以用來找到圖中所有簡單路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.深度優(yōu)先搜索4.下列哪個算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.Dijkstra算法5.下列哪個算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.Bellman-Ford算法6.下列哪個算法可以用來找到圖中所有簡單路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.深度優(yōu)先搜索7.下列哪個算法可以用來找到圖中所有簡單路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.深度優(yōu)先搜索8.下列哪個算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.Dijkstra算法9.下列哪個算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.Bellman-Ford算法10.下列哪個算法可以用來找到圖中所有簡單路徑？A.歐拉圖判定B.最小生成樹判定C.拓撲排序D.深度優(yōu)先搜索四、編程題要求：編寫一個程序，實現(xiàn)一個圖的深度優(yōu)先搜索（DFS）算法。該程序應(yīng)能夠讀取一個圖的頂點數(shù)和邊數(shù)，然后讀取每條邊的兩個頂點，并使用DFS算法遍歷圖的所有頂點。遍歷過程中，應(yīng)按照訪問順序輸出每個頂點的編號。輸入格式如下：第一行：頂點數(shù)V第二行：邊數(shù)E輸出格式：按照DFS遍歷順序輸出每個頂點的編號，頂點之間用空格隔開輸入示例：43122334輸出示例：1234五、選擇題要求：從下列選項中選擇一個正確答案。1.在圖的遍歷算法中，以下哪個算法能夠確保所有頂點都被訪問？A.深度優(yōu)先搜索（DFS）B.廣度優(yōu)先搜索（BFS）C.拓撲排序D.Dijkstra算法2.下列哪個算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑？A.深度優(yōu)先搜索（DFS）B.廣度優(yōu)先搜索（BFS）C.拓撲排序D.Dijkstra算法3.在無向圖中，如果每個頂點的度數(shù)都是偶數(shù)，那么這個圖一定是：A.連通圖B.二分圖C.歐拉圖D.樹4.下列哪個算法可以用來找到圖中所有頂點的最短路徑？A.深度優(yōu)先搜索（DFS）B.廣度優(yōu)先搜索（BFS）C.拓撲排序D.Bellman-Ford算法5.在加權(quán)圖中，如果邊的權(quán)重都是正數(shù)，那么以下哪個算法可以用來找到圖中所有頂點的最短路徑？A.深度優(yōu)先搜索（DFS）B.廣度優(yōu)先搜索（BFS）C.Dijkstra算法D.A*算法六、簡答題要求：簡述以下概念的定義。1.圖的連通性2.圖的度數(shù)3.圖的歐拉回路4.圖的哈夫曼樹5.圖的拓撲排序本次試卷答案如下：一、編程題答案：```pythondefdfs(graph,start,visited):visited[start]=Trueprint(start,end='')forneighboringraph[start]:ifnotvisited[neighbor]:dfs(graph,neighbor,visited)defis_connected(graph):visited=[False]*len(graph)dfs(graph,0,visited)returnall(visited)#輸入處理V,E=map(int,input().split())graph=[[]for_inrange(V)]for_inrange(E):u,v=map(int,input().split())graph[u-1].append(v-1)graph[v-1].append(u-1)#輸出結(jié)果print("連通"ifis_connected(graph)else"不連通")```解析思路：1.定義一個深度優(yōu)先搜索（DFS）函數(shù)，該函數(shù)接受圖、起始頂點和訪問標記列表作為參數(shù)。2.在DFS函數(shù)中，標記當前頂點為已訪問，并打印頂點編號。3.遍歷當前頂點的所有相鄰頂點，如果相鄰頂點未被訪問，則遞歸調(diào)用DFS函數(shù)。4.定義一個判斷圖是否連通的函數(shù)，該函數(shù)初始化訪問標記列表，并調(diào)用DFS函數(shù)從第一個頂點開始遍歷。5.遍歷完成后，檢查所有頂點是否都被訪問過，如果所有頂點都被訪問過，則圖是連通的。二、判斷題答案：1.正確2.錯誤3.正確4.錯誤5.正確6.正確7.正確8.正確9.正確10.正確解析思路：1.圖論中，有向圖和無向圖的主要區(qū)別在于邊的方向性，有向圖中的邊有方向，而無向圖中的邊沒有方向。2.在無向圖中，并非任意兩個頂點之間都存在一條路徑，除非圖是連通的。3.歐拉圖是指包含一條歐拉回路的連通圖，即圖中的每個頂點的度數(shù)都是偶數(shù)。4.在加權(quán)圖中，邊的權(quán)重可以是負數(shù)，但這通常會導致算法無法正常工作。5.在最小生成樹中，邊的數(shù)量等于頂點數(shù)減一，因為最小生成樹包含了所有頂點，并且沒有環(huán)。6.在二分圖中，頂點可以分為兩個集合，使得每個集合中的頂點之間沒有邊相連，且每個頂點只與另一個集合中的頂點相連。7.在哈夫曼樹中，葉節(jié)點的數(shù)量總是等于非葉節(jié)點的數(shù)量，因為哈夫曼樹是一種最優(yōu)二叉樹。8.在深度優(yōu)先搜索中，訪問順序是從頂點出發(fā)沿著一條邊到達相鄰頂點，直到無法繼續(xù)為止。9.在廣度優(yōu)先搜索中，訪問順序是從頂點出發(fā)沿著一條邊到達相鄰頂點，直到無法繼續(xù)為止。10.在拓撲排序中，圖中的所有頂點都會被訪問到，因為拓撲排序是一種對有向無環(huán)圖進行排序的方法。三、選擇題答案：1.D2.D3.B4.D5.C6.D7.D8.D9.D10.D解析思路：1.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來遍歷圖中的所有頂點，確保所有頂點都被訪問。2.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。3.拓撲排序可以用來找到圖中所有頂點的所有簡單路徑。4.Dijkstra算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。5.Dijkstra算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。6.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。7.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。8.Dijkstra算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。9.Bellman-Ford算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。10.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。四、編程題答案：```pythondefdfs(graph,start,visited):visited[start]=Trueprint(start,end='')forneighboringraph[start]:ifnotvisited[neighbor]:dfs(graph,neighbor,visited)#輸入處理V=int(input())E=int(input())graph=[[]for_inrange(V)]for_inrange(E):u,v=map(int,input().split())graph[u-1].append(v-1)graph[v-1].append(u-1)#輸出結(jié)果visited=[False]*Vdfs(graph,0,visited)```解析思路：1.定義一個深度優(yōu)先搜索（DFS）函數(shù)，該函數(shù)接受圖、起始頂點和訪問標記列表作為參數(shù)。2.在DFS函數(shù)中，標記當前頂點為已訪問，并打印頂點編號。3.遍歷當前頂點的所有相鄰頂點，如果相鄰頂點未被訪問，則遞歸調(diào)用DFS函數(shù)。4.讀取輸入，創(chuàng)建圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，并讀取每條邊。5.初始化訪問標記列表，并調(diào)用DFS函數(shù)從第一個頂點開始遍歷。6.打印DFS遍歷順序輸出的每個頂點的編號。五、選擇題答案：1.D2.D3.B4.D5.C6.D7.D8.D9.D10.D解析思路：1.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來遍歷圖中的所有頂點，確保所有頂點都被訪問。2.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。3.拓撲排序可以用來找到圖中所有頂點的所有簡單路徑。4.Dijkstra算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。5.Dijkstra算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。6.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。7.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。8.Dijkstra算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。9.Bellman-Ford算法可以用來找到圖中兩個頂點之間的最短路徑。10.深度優(yōu)先搜索（DFS）可以用來找到圖中兩個頂點之間的所有簡單路徑。六、