2025年春北師版數(shù)學九年級下冊 第3章 3 垂徑定理

第3章圓3垂徑定理一、選擇題1、如圖，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，下列結論中一定正確的是（）A．AE=OEB．CE=DEC．OE=CED．∠AOC=60°答案：B解析：解答：根據(jù)⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E∴CE=DE．故選B．分析：根據(jù)直徑AB⊥弦CD于點E，由垂徑定理求出，CE=DE，即可得出答案．2、⊙O的一條弦長AB=12cm，直徑CD⊥AB于E，則AE的長為（）A．12cmB．6cmC．7cmD．8cm答案：B解析：解答：如圖：∵CD是直徑，CD⊥AB，AB=12cm，∴AE=AB=6cm（垂徑定理）．故選B．分析：根據(jù)垂徑定理解答即可，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條?。?、如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的直徑為（）A．5cmB．10cmC．6cmD．14cm答案：B解析：解答：如圖，過O作直徑CD⊥AB于E，連接OA，則OE=3cm，AE=BE=AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA=OE2則直徑CD=2OA=10cm，故選B．分析：過O作直徑CD⊥AB于E，連接OA，則OE=3cm，AE=BE=QUOTE12AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理求出OA，即可得出答案．4、如圖，已知⊙O弦AB的長6cm，OC⊥AB，OC=4cm，則⊙O的半徑為（）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm答案：B解析：解答：如圖：連接OA．∵OC⊥AB，AB=6cm，∴AC=BC=AB=3cm（垂徑定理）；在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理知，AO2∴OA2∴OA=5cm.故選B．分析：連接OA構建Rt△AOC，然后在Rt△AOC中利用勾股定理求⊙O的半徑OA的長即可．5、如圖，已知⊙O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是（）A．6B．5C．4D．3答案：B解析：解答：如圖：過O作OC⊥AB于C，∵OC過圓心O，AB=24，∴AC=BC=QUOTE12AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=AO2故選：B．分析：過O作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC即可．6、如圖，⊙O的半徑為2，弦AB⊥OC于C，AB=23，則OCA．22B.3C．1D．2?答案：C解析：解答：∵AB⊥OC，AB=23，∴AC=BC=AB=3；又∵⊙O的半徑為2，∴OB=2，∴在Rt△BOC中，OC=OB2故選C．分析：利用垂徑定理求得Rt△BOC的直角邊BC的長度，然后利用勾股定理可以求得OC的長度．7、如圖，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，則AB的長為（）A．8B．16C．18D．20答案：B解析：解答：：∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，∴AD=BD=AB（垂徑定理），∴AB=2AD，在Rt△ADO中，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，∴AD=AO2∴AB=16．故選B．分析：先根據(jù)勾股定理求出AD的長，再根據(jù)垂徑定理求出AB的長．8、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接OC，若OC=5，CD=8，則tan∠COE=（）A．B.C．D．答案：D解析：解答：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，CD=8，∴CE=CD=4（垂徑定理）；在Rt△OEC中：OC=5，CE=4，∴OE=3（勾股定理）．∴tan∠COE=故選D．分析：先由垂徑定理求得CE=4，然后在直角三角形OCE中，根據(jù)勾股定理求得OE，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．9、已知⊙O的半徑為15，弦AB的長為18，點P在弦AB上且OP=13，則AP的長為（）A．4B．14C．4或14D．6或14答案：C解析：解答：如圖：作OC⊥AB于點C，∴AC=AB=9，OC=OA2∴PC=OP2當點P在線段AC上時，AP=9-5=4，當點P在線段BC上時，AP=9+5=14．故選：C．分析：作OC⊥AB于點C，根據(jù)垂徑定理求出OC的長，根據(jù)勾股定理求出PC的長，分當點P在線段AC上和當點P在線段BC上兩種情況計算即可．10、如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為4，則弦AB的長是（）A．3B．6C．4D．8答案：B解析：解答：如圖：連接OA，∵⊙O的直徑為10，∴OA=5，∵圓心O到弦AB的距離OM的長為4，由垂徑定理知，點M是AB的中點，AM=AB，由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．故選B．分析：先根據(jù)垂徑定理求出AM=QUOTE12AB，再根據(jù)勾股定理求出AD的值．11、如圖，⊙O過點B、C，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．則⊙O的半徑為（）A．6B．13C．13D．213答案：C解析：解答：如圖：過點A作等腰直角三角形BC邊上的高AD，垂足為D，所以點D也為BC的中點．根據(jù)垂徑定理可知OD垂直于BC．所以點A、O、D共線．∵⊙O過B、C，∴O在BC的垂直平分線上，∵AB=AC，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB=DO2故選C．分析：延長AO交BC于D，接OB，根據(jù)AB=AC，O是等腰Rt△ABC的內(nèi)心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．12、坐標網(wǎng)格中一段圓弧經(jīng)過點A、B、C，其中點B的坐標為（4，3），點C坐標為（6，1），則該圓弧所在圓的圓心坐標為（）A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1）D．（2，1）答案：B解析：解答：如圖：連接AB、BC，分別作AB和BC的垂直平分線DM、EF，兩線交于M，則M為弧所在的圓的圓心，，∵點B的坐標為（4，3），點C坐標為（6，1），∴A的坐標是（0，3，），∴M點的橫坐標是2，設M的縱坐標為a，∵M在AB與BC的垂直平分線的交點，∴MA=MB=MC，即M的坐標是（2，-1），故選B．分析：根據(jù)題意找出圓心M的位置，得出M在AB和BC的垂直平分線的交點上，求出A的坐標，求出M的橫坐標，根據(jù)AM=BM，根據(jù)勾股定理求出AM和BM，即可得出方程，求出方程的解即可．13、已知⊙O的直徑20，OP長為8，則過P的弦中，弦長為整數(shù)的弦共有（）條．A．1B．9C．17D．16答案：D解析：解答：如圖，AB是直徑，OA=10，OP=8，過點P作CD⊥AB，交圓于點C，D兩點．由垂徑定理知，點P是CD的中點，∴PC=4，在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6，∴CD=12，則CD是過點P最短的弦長為12；AB是過P最長的弦，長為20．故過點P的弦的長度都在12～20之間；因此弦長為12，13，14，15，16，17，18，19，20；當弦長為12、20時，過P點的弦分別為弦CD和過P點的直徑，分別有一條；當弦長為13，14，15，16，17，18，19時，根據(jù)圓的對稱性知，符合條件的弦應該有兩條；故弦長為整數(shù)的弦共有16條．分析：求出過P點的弦的長度的取值范圍，取特殊解，根據(jù)對稱性綜合求解．14、如圖所示，圓O的弦AB垂直平分半徑OC，則四邊形OACB（）A．是正方形B．是長方形C．是菱形D．以上答案都不對答案：C解析：解答：因為圓O的弦AB垂直平分半徑OC，由垂徑定理可知，半徑OC垂直平分AB，即OC與AB互相垂直平分，所以四邊形OACB是菱形．故選C．分析：根據(jù)垂徑定理和特殊四邊形的判定方法求解．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.15、圓的半徑為13cm，兩弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB、CD的距離是（）A．7cmB．17cmC．12cmD．7cm或17cm答案：D解析：解答：如圖：第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時，已知CD=10cm，∴DE=5cm．∵圓的半徑為13cm∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：OE=12cm．同理可求OF=5cm，∴EF=OE-OF=12-5=7cm．第二種情況：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一種一樣．故選D．分析：此題可以分兩種情況，即兩弦在圓心的一側(cè)時和在兩側(cè)時，所以此題的答案有兩個．二、填空題16、如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點E，已知CD=4，AE=1，則⊙O的半徑為答案：2.5解析：解答：連接OC，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=12設OC=OA=x，則OE=x-1，根據(jù)勾股定理得：CE2+OE即解得：x=2.5；故答案為：2.5．分析：連接OC，由垂徑定理得出CE=QUOTE12CD=2，設OC=OA=x，則OE=x-1，由勾股定理得出方程，解方程即可．17、如圖，⊙O的直徑AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半徑OB的中點，則CD的長是（結果保留根號）．答案：6解析：解答：連OC，如圖，∵直徑AB=12，M是半徑OB的中點，∴OC=6，OM=3，在Rt△OCM中，CM=OC2∵CD⊥AB，∴CM=CD，∴CD=2CM=63故答案為63．分析：連OC，易得OC=6，OM=3，根據(jù)勾股定理可計算出CM=33，由于CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到CM=CD，即可計算出CD的長．18、如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM長的最小值為答案：3解析：解答：如圖：過O作OM⊥AB于M，此時線段OM的長最短，連接OA，∵OM過O，OM⊥AB，∴AM=AB=×8=4，在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM=OA2故答案為：3．分析：過O作OM⊥AB于M，此時線段OM的長最短，連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AM，根據(jù)勾股定理求出OM即可．19、半徑等于12的圓中，垂直平分半徑的弦長為.答案：123解析：解答：如圖，∵OD=CD=6，∴由勾股定理得AD=63，∴由垂徑定理得AB=123，故答案為：123．分析：先畫圖，根據(jù)題意得OD=CD=6，再由勾股定理得AD的長，最后由垂徑定理得出弦AB的長即可．20、如圖，AB是⊙O的直徑CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B兩點到直線CD的距離之和為答案：6cm解析：解答：過O作OG⊥CD于G，連接OC，如圖所示，∵OG⊥CD，CD=8cm，∴G為CD的中點，即CG=DG=4cm，在Rt△OCG中，OC=12AB=5cm，CG=4cm，根據(jù)勾股定理得：OG=OC2又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，又O為AB的中點，∴G為EF的中點，即OG為梯形AEFB的中位線，∴OG=（AE+BF），則AE+BF=2OG=6cm．故答案為：6cm．分析：過O作OG垂直于CD于G，由垂徑定理得到G為CD的中點，連接OC，在直角三角形OCG中，由OC與CG的長求出OG的長，再由AE、OG、BF都與EF垂直，得到三線平行，而O為AB的中點，利用平行線等分線段定理得到G為EF的中點，利用梯形中位線定理得到AE+BF=2OG，求出即可．21、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E，連接OC，OC=5，CD=8，求BE的長．答案：2解析：解答：：∵AB為直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=4，在Rt△COE中，OE=OC2∴BE=OB-OE=5-3=2，故BE=2．分析：由于AB⊥CD，而AB是直徑，根據(jù)垂徑定理易求CE，再根據(jù)勾股定理可求CE，進而可求BE．22、如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長．答案：215解析：解答：如圖：過O作OF⊥CD，交CD于點F，連接OD，∴F為CD的中點，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA-AE=4-2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=QUOTE12OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根據(jù)勾股定理得：DF=OD2則CD=2DF=215．分析：過O作OF垂直于CD，連接OD，利用垂徑定理得到F為CD的中點，由AE+EB求出直徑AB的長，進而確定出半徑OA與OD的長，由OA-AE求出OE的長，在直角三角形OEF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的長，由CD=2DF即可求出CD的長．23、已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．求證：AC=B