2025年秋季學(xué)期線性代數(shù)（行列式與矩陣）高階思維測試與解析

2025年秋季學(xué)期線性代數(shù)（行列式與矩陣）高階思維測試與解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設(shè)四階行列式\(A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}\)，則\(A\)的值為：A.0B.120C.240D.4802.若\(A\)是一個\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則以下說法正確的是：A.\(A\)的所有行向量線性相關(guān)B.\(A\)的所有列向量線性相關(guān)C.\(A\)的所有行向量線性無關(guān)D.\(A\)的所有列向量線性無關(guān)3.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，若\(A\)的秩為\(n-1\)，則\(A\)的行列式\(|A|\)的值為：A.0B.1C.-1D.無法確定4.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，若\(A\)的行列式\(|A|\neq0\)，則\(A\)必定是可逆矩陣：A.正確B.錯誤5.若\(A\)是一個\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式\(|A|=1\)，則\(A\)必定是正交矩陣：A.正確B.錯誤6.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，\(B\)是一個\(m\)階方陣，則\(AB\)的行列式\(|AB|\)等于：A.\(|A|\cdot|B|\)B.\(|A|\div|B|\)C.\(|B|\cdot|A|\)D.\(|B|\div|A|\)7.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的行列式\(|A^*|\)等于：A.\(|A|^n\)B.\(|A|^{n-1}\)C.\(|A|^{-1}\)D.\(|A|^{-n}\)8.若\(A\)是一個\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)存在：A.正確B.錯誤9.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，\(B\)是一個\(n\)階方陣，若\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)必定是可逆矩陣：A.正確B.錯誤10.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，若\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的特征值必定是0：A.正確B.錯誤二、填空題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)為__________。2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(|A|\)的值為__________。3.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，若\(A\)的所有行向量線性相關(guān)，則\(A\)的秩\(r(A)\)等于__________。4.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，若\(A\)的所有列向量線性無關(guān)，則\(A\)的行列式\(|A|\)的值為__________。5.設(shè)\(A\)是一個\(n\)階方陣，若\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)必定是__________矩陣。三、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，計(jì)算\(A\)的行列式\(|A|\)。2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)。3.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。4.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征值。5.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征向量。四、證明題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）4.證明：若\(A\)是一個\(n\)階方陣，且\(A\)的所有行向量線性相關(guān)，則\(A\)的所有列向量也線性相關(guān)。五、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）5.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征多項(xiàng)式\(f(\lambda)\)并找出\(A\)的所有特征值。六、綜合題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）6.設(shè)\(A\)是一個\(3\)階方陣，\(A\)的行列式\(|A|=5\)，且\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的第二行是\((1,2,3)\)。求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。本次試卷答案如下：一、單項(xiàng)選擇題1.B.120解析：行列式的值可以通過拉普拉斯展開計(jì)算，對于這個四階行列式，可以按第一行展開，每項(xiàng)的符號交替，得到\(1\cdot(6\cdot12-8\cdot10)-2\cdot(5\cdot12-7\cdot10)+3\cdot(5\cdot8-7\cdot6)-4\cdot(5\cdot10-7\cdot8)=120\)。2.A.\(A\)的所有行向量線性相關(guān)解析：行列式為零意味著矩陣的列向量（或行向量）線性相關(guān)。3.A.0解析：如果矩陣的秩小于其階數(shù)，那么行列式必定為零。4.A.正確解析：行列式不為零的方陣是可逆的。5.B.錯誤解析：行列式為1的方陣不一定是正交矩陣，正交矩陣還需要滿足\(A^TA=I\)。6.A.\(|A|\cdot|B|\)解析：行列式的乘積等于矩陣乘積的行列式。7.C.\(|A|^{-1}\)解析：伴隨矩陣的行列式等于原矩陣的逆的行列式。8.B.錯誤解析：行列式為零的矩陣不一定有逆矩陣。9.B.錯誤解析：即使\(AB=BA\)，也不一定意味著\(A\)和\(B\)都是可逆的。10.B.錯誤解析：行列式為零的矩陣可能有非零的特征值。二、填空題1.\(A^*=\begin{bmatrix}4&-2&1\\-3&2&-1\\2&-1&0\end{bmatrix}\)解析：伴隨矩陣的每個元素是原矩陣對應(yīng)元素的代數(shù)余子式。2.0解析：行列式的值為0，因?yàn)樗行校ɑ蛄校┏杀壤?.1解析：如果所有行向量線性相關(guān)，那么矩陣的秩為1。4.1解析：如果所有列向量線性無關(guān)，那么行列式不為零。5.不可逆解析：行列式為零的矩陣是不可逆的。三、計(jì)算題1.\(|A|=0\)解析：行列式的值為0，因?yàn)樗行校ɑ蛄校┏杀壤?.\(A^*=\begin{bmatrix}4&-2&1\\-3&2&-1\\2&-1&0\end{bmatrix}\)解析：計(jì)算伴隨矩陣的每個元素。3.\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}4&-2&1\\-3&2&-1\\2&-1&0\end{bmatrix}\)解析：計(jì)算逆矩陣，需要先計(jì)算行列式，然后使用伴隨矩陣。4.特征值：\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)解析：通過求解特征方程\(\det(A-\lambdaI)=0\)得到特征值。5.特征向量：\(v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},v_2=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},v_3=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\)解析：對于每個特征值，求解線性方程組\((A-\lambdaI)v=0\)得到特征向量。四、證明題4.證明：若\(A\)是一個\(n\)階方陣，且\(A\)的所有行向量線性相關(guān)，則\(A\)的所有列向量也線性相關(guān)。解析：如果所有行向量線性相關(guān)，那么存在一組非零系數(shù)\(c_1,c_2,\ldots,c_n\)使得\(c_1a_1+c_2a_2+\ldots+c_na_n=0\)。通過轉(zhuǎn)置矩陣，得到\(c_1b_1+c_2b_2+\ldots+c_nb_n=0\)，其中\(zhòng)(b_i\)是\(A\)的第\(i\)列。因此，所有列向量也線性相關(guān)。五、應(yīng)用題5.\