北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題14 認(rèn)識(shí)一元一次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（10大題型）（原卷版+解析）

專題14認(rèn)識(shí)一元一次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（10大題型）

旨【題型目錄】

題型一判斷各式是否是方程

題型二列方程

題型三一元一次方程的定義

題型四方程的解集

題型五根據(jù)方程的解求值

題型六根據(jù)等式的性質(zhì)判斷變形是否正確

題型七利用等式的性質(zhì)解方程

題型八利用等式的性質(zhì)比較大小

題型九根據(jù)等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的根

題型十有規(guī)律的方程的解

【知識(shí)梳理】

1、方程的定義

方程是含有未知數(shù)的等式，￡這一概念中要抓住方程定義的兩個(gè)要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù).

2、一元一次方程的定義

只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

通常形式是ax+b=0（a,b為常數(shù)，且a和）.

一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式.

一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0.

我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且存0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.這里a是

未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1.

3、方程的解

解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

4、等式的性質(zhì)

性質(zhì)I：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；

性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

41經(jīng)典例題一判斷各式是否是方程】

1.（19?20七年級(jí)下?四川巴中?期末）下列式子中：①5x+3.y=0,②6丁_5彳，③3x<5,@x24-1=3,⑤

1Y+2=3x.是方程的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（22-23七年級(jí)上?安徽阜陽(yáng)?期末）下列各式中，是方程的個(gè)數(shù)為（）

?x=0；?3x-5=2x4-1；③2x+6；?x-y=0；⑤1=5）'+3；@^2+^-6=0.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)

3.(2021七年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè))下列各式是方程的有一

①3+(-3)-1=8-6+(-3)；

②9+；y=5；

③gx2-2x=1;

@x2-2x=x-y；

⑤a+b=b+a(a、b為常數(shù))

4.(2324七年級(jí)上.全國(guó).課堂例題)判斷下列各式是不是方程，不是方程的說(shuō)明理由.

⑴4x5=3x77；

⑵2x+5y=3.

(3)9-4x>0：

(4)x+5：

(5)x-10=3；

(6)5+6=11.

41經(jīng)典例題二列方程】

1.(2021?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模)藥店銷售某種藥品原價(jià)為。元/盒，受市場(chǎng)影響開(kāi)始降價(jià)，第一輪價(jià)格下降

30%,第二輪在第一輪的基礎(chǔ)上乂下降10%,經(jīng)兩輪降價(jià)后的價(jià)格為8元/盒，則。，〃之間滿足的關(guān)系式為

()

A.b=(I-30%)(1-10%)aB./?=(1-30%-10%)a

.a,a

Cb=-----------Db=--------------

?i+30%+10%(l+30%)(l+10%)

2.(2021上?河北唐山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)在做科學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，老師將第一個(gè)量筒中的水全部倒入第二個(gè)量筒中，

如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息，得到的正確方程是().

Q5

A.元X(_)*2x*4x=nx(-)2X(X+4)B.7tx92xx=7rx92x(x+4)

22

95

2

C.兀x(_)2x(-)X(X-4)D.7TX92XX=7TX92X(X-4)

2X2x=7t

3.（2020上.江蘇淮安.七年級(jí)統(tǒng)考期末）五個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成如圖所示的大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的面

積是I35c〃/，則以小長(zhǎng)方形的寬為邊長(zhǎng)的正方形面積是

4.（2020下.湖北襄陽(yáng).七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)里的雞的只數(shù)與豬的頭數(shù)之和是70,雞、豬的腿

數(shù)之和是196,設(shè)雞的只數(shù)是x,依題意列方程為o

5.（2020下?六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，列出方程.

（1）x的倒數(shù)減去-5的差為9；

（2）5與x的差的絕對(duì)值等于4的平方；

（3）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為16、x,周長(zhǎng)為40：

3

（4）y減去13的差的一半為x的g.

41經(jīng)典例題三一元一次方程的定義】

I.（2019上?湖南常德?七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列方程中:

@4x-7=l；

②3x+y=z；

@x-7=x2;

④4個(gè)=3；=-=1,

23x

屬尸一元一次方程的是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2.（2023上?重慶九龍坡?七年級(jí)重慶市渝高中學(xué)校?？计谀┮阎P(guān)于y的方程（。+2），舊一3二0是一元一

次方程，則c的值為（）

A.±2B.-2C.2D.I

3.（2023下?四川遂寧?七年級(jí)統(tǒng)考期末）若（〃-2）-7=6是一元一次方程，貝產(chǎn)=.

4.（2022上?廣東惠州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程3父"-1=2是一元一次方程，則機(jī)=—.

5.（2022上?河南開(kāi)封?七年級(jí)金明中小學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程（3〃L4）V-（5-3〃?）x-4〃?=-26是關(guān)于x

的一元一次方程，求機(jī)和工的值.

41經(jīng)典例題四方程的解集】

1.（2（）22上?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期木）下列有理數(shù)中，不可能是關(guān)于x的方程以+4=1的解的是（）

A.0B.1C.-D.-3

2

2.（21?22上?湘西?期末）x=3是下列哪個(gè)方程的解（）

A.6X-8=8A-6B.5^+7=7—2x

C.4x-2=2-4xD.3x—2=4+x

3.（2223上?渝中?階段練習(xí)）若m2是關(guān)于x的一元一次方程沖+〃=3的解，則66+3〃-1的值是.

4.（21?22七年級(jí)上?陜西榆林?期末）某同學(xué)在解方程孝=亨-2時(shí)，去分母時(shí)方程右邊的-2沒(méi)有乘6,

其他步驟正確，結(jié)果方程的解為彳=1，求。的值.

41經(jīng)典例題五根據(jù)方程的解求值】

1.（2223上?珠海?期末）已知。是方程父-24-1=0的解，則代數(shù)式242一4〃的值為（）

A.2B.-IC.1D.-2

Y

2.（21?22上?寶雞?期末）已知工二一2是方程5x+12=]—a的解，則/一。一6的值為（）

A.0B.6C.-6D.-18

3.（2324上?昆明?期末）若關(guān)于我的方程2at+A=（的解為工=1,則6。+3〃=.

4.（21.22七年級(jí)下.仝國(guó)?期中）若x=l是方程竺匕■二生=1的解.

36

⑴試判斷。與力的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，每組相對(duì)表面上所標(biāo)的兩個(gè)數(shù)都互為相反數(shù)，求。的值:

(3)求代數(shù)式(4a+bf.&/-25+5的值.

4【經(jīng)典例題六根據(jù)等式的性質(zhì)判斷變形是否正確】

I.（2023上?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）下列等式變形，錯(cuò)誤的是（）

A.若a=b,則a+2=b+2B.若a=b,則方=2Z?

C.若x+1=y+l,則工=9D.若/=a,貝|〃=1

2.（2023下?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于等式+-l=2x,下列變形正確的是（）

A.-A+2X=IB.2x--x=-\C.-x=ID.x—3=2x

333

3.（2023下?湖北武漢?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）由3x+2），=l可以得到用工表示y的式子為.

4.（2023下?湖南岳陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于方程-2x+y-1=0,用含尤的代數(shù)式表示），，則丫=.

5.（2023上七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）能否從等式（3a+7）x=4a-2得到》=煞!?為什么？反過(guò)來(lái)，能否從等式

4〃—b

x=得至lj（3a+7）x=4a-b?為什么?

3a+7

4【經(jīng)典例題七利用等式的性質(zhì)解方程】

1.（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用等式的性質(zhì)解下列方程;

（l）x-5=ll；

（2）2x-4=5；

（3）-4+5x=2x-5；

（4）+2=10.

2.（2022上?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）用等式性質(zhì)解下列方程:

(l)4x-7=13

(2)3x+2=x+l.

3.（2022上?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）用等式的性質(zhì)解下列方程:

⑴4X+7=3：

⑵-1產(chǎn)1尸.,

4.（2022上?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）利用等式的性質(zhì)解方程:

(l)5+x=-2

(2)3x+6=31-2x.

5.（2023上?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）利用等式的性質(zhì)解方程.

(l)4x-6=-10；

(2)-5x=-15；

(3)10x=5x-3；

(4)7x-6=8x.

51經(jīng)典例題八利用等式的性質(zhì)比較大小】

1、（2023秋?云南昆明?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知2m-l=2n,利用等式的性質(zhì)比較m，n的大小是（）

A.m>nB.m<nC.m=nD.無(wú)法確定

2、（2023秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）已知5a-3b-1=5b-3a,利用等式的基本性質(zhì)比較a,b的大小.

3、（2023秋?江蘇泰州?七年級(jí)校考期末）已知4〃汁2〃-5=川+5〃，利用等式的性質(zhì)比較m與n的大小關(guān)系:

mn（填“>”，“V”或J"）.

4、（2023?甘肅武威?七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知》試用等式的性質(zhì)比較m與n的大小.

44

X［經(jīng)典例題九根據(jù)等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的根】

1、（2023秋?江蘇鹽城?七年級(jí)統(tǒng)考期末）整式血％一九的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對(duì)

應(yīng)的整式的值：

X-5-4-3-2-11

mx-n9630-3-9

則關(guān)于x的方程一mx+n=9的解為（）

A.x=-5B.x=-4C.x=-2D.x=1

2、（2023秋?甘肅白銀?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中，其解為％=-2的是（）

A.3x-4=2B.3（%+1）-3=0C.2x=-1D.--1=0

5

3、（2023秋?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）檢驗(yàn)下列方程后面小括號(hào)內(nèi)的數(shù)是否為相應(yīng)方程的解.

（1）2%+5=10x-3,（x=1）：

（2）0.52x-（1-0.52）%=80,（x=1000）.

4^（2023春?上海?六年級(jí)專題練習(xí)）x=2是方程ax-4=0的解，檢驗(yàn)x=3是不是方程2ax-5=3x-4a的解.

41經(jīng)典例題十有規(guī)律的方程的解】

1、（2023秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）一列方程如下排列:

7+^=1的解是％=2；

42

7+^=1的解是x=3；

62

：+F=l的解是x=4；

根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫(xiě)出其中解是工=20的方程：.

2、（2023秋?廣東揭陽(yáng)?七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┯幸幌盗蟹匠?，第1個(gè)方程是上色=3,解為-2；

第2個(gè)方程是彳+*5,解為x=6；第3個(gè)方程是衿=7,解為412；…根據(jù)規(guī)律第10個(gè)方程是怖+1=21,解

23341011

為?

3、（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀理解題）先閱讀下列一段文字，然后解答問(wèn)題：

已知：方程%-％=1；的解是%1=2,小=一：；方程％-2=2|的解是巧=3,無(wú)2=-：；方程萬(wàn)一二二3：的

X/Xi*5X

解是無(wú)i=4,X2=..

問(wèn)題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程：％-2=10號(hào)的解，并進(jìn)行檢驗(yàn)再推廣到一般情形.

x11

4、（2023秋?七年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于%的方程x+：=3+：的兩個(gè)解是%】=3,g=全

又已知關(guān)于x的方程x+：=4+：的兩個(gè)解是勺=4,&=親

又已知關(guān)于%的方程%+之=5+：的兩個(gè)解是X]=5,x=7；

X552

…,

小王認(rèn)真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想.

關(guān)于%的方程%+：=C+：的兩個(gè)解是％1=C,%2=*并且小王在老師的幫助下完成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明（證明過(guò)

程略）.小王非常高興，他向同學(xué)提出如下的問(wèn)題.

（1）關(guān)于“的方程%+：=11的兩個(gè)解是與=_和%2=_：

（2）已知關(guān)于%的方程"+六=12+1，則》的兩個(gè)解是多少？

【培優(yōu)檢測(cè)】

1.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)校聯(lián)考期中）若〃，是任意有理數(shù)，則下列等式不一定成立的是（）

A.a+m=b+mB.a-m=b—ni

-_ab

C.am-bntD.—=一

min

2.（2023上?河北唐山?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖中的手機(jī)截屏內(nèi)容是某同學(xué)完成的作業(yè)，他做對(duì)的題數(shù)是（）

但?\

1.正數(shù)、負(fù)數(shù)、與0統(tǒng)稱有

理數(shù)（X）

2.絕對(duì)值是它本身的數(shù)是正

數(shù)（，）

3.數(shù)m的倒數(shù)是5（V）

4.多項(xiàng)式2m2+1與

單項(xiàng)式5罰次數(shù)都是3（X）

5.若2a：m一（八―3）y+5=0是

關(guān)于1的一元一次方程，

則m="=3）

\_____________）

<1Oo

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.（2023下?山東淄博?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知三二g，且。工0,〃工0,則下列變形不正確的是（）

A.3=2/?B.2a=3〃C.—=-D.—=—

a3b2

4.（2023下?河北滄州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）嘉洪利用詼碼和自制天平做一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，估測(cè)物體質(zhì)量，有兩種

不同質(zhì)量的物體（3、口，同種物體的質(zhì)量都相等，下面兩個(gè)天平中右邊都比左邊低，天平中跌碼的質(zhì)量如

圖所示，口的質(zhì)量可能為（）

A.25gB.21gC.20gD.19g

5.（2022上?廣東珠海?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知。是方程一一2》-1=0的解，則代數(shù)式2/-4〃的值為（）

A.2B.-1C.1D.-2

6.（2023上?廣東深圳?七年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┫铝械仁阶冃五e(cuò)誤的是（）

A.若則一=—I二B.若a=b,則3a=3Z?

1+x\+x

C.若則々一〃D.若J=則々一方

min

7.（2023上?福建福州?七年級(jí)福建師大附中?？计谥校┤艄?白二?，則式子：

20235

2.2-5x—^（2023x-l）=

2023v7--------

8.（2022上?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x=4是關(guān)于x的方程3-5=9x-a的解，那么關(guān)于V的方程

a（y_l）_5=9（y_|）—a的解是），=.

9.（2022上?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的方程a（x+l）+力=1的解為T=I,則關(guān)于），的方程

緲+人=1+4的解為.

10.（2021下.上海長(zhǎng)寧?六年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于工的方程3工-〃=5+4

（1）當(dāng)〃、8滿足，此方程為一元一次方程.

（2）當(dāng)a、b滿足時(shí)，此方程無(wú)解.

11.（2023下?河南南陽(yáng)?七年級(jí)校考階段練習(xí)）一列方程及其解如下排列：?+上廠=1的解是

x=24+-；—=1的解是x=35+—=1的解是x=4,…，根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫(xiě)出其中解是x=2019

6282

的方程：.

12.（2022上?重慶?七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考期末）某商家主營(yíng)的A,B,C三種商品在11月份的銷售單價(jià)

之比為4:3:5,其銷售數(shù)量之比為3:2:2.隨著市場(chǎng)形勢(shì)的變化，12月份時(shí)，A商品增加的銷售額占12月

份A,B,C三種商品銷售總額的同時(shí)3,C兩種商品增加的銷售額之比為3:1.如果8,。兩種商品

12月份銷售額相等，那么該商家主營(yíng)的這三種商品11月份與12月份的銷售總額之比為.

13.（2022上?黑龍江哈爾濱?六年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：

2x-\x+a

14.（2022上?陜西榆林?七年級(jí)統(tǒng)考期末）某同學(xué)在解方程-2時(shí)，去分母時(shí)方程右邊的-2沒(méi)有

32

乘6,其他步驟正確，結(jié)果方程的解為x=l,求。的值.

15.(2022上.江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？计谥?已知關(guān)于x、V的代數(shù)式：A=av2-3A-y+9x,

B=-2x2-hx)^+4,且代數(shù)式M=2A—38.

⑴若。=-3,〃=1時(shí)，化簡(jiǎn)代數(shù)式M；

(2)若代數(shù)式M是關(guān)于從)，的一次多項(xiàng)式，求a州勺值；

⑶當(dāng)+,"+2=0是關(guān)于x的一元一次方程時(shí)，求代數(shù)式M的值.

16.(2022上?湖北武漢?七年級(jí)統(tǒng)考期末)知識(shí)背景：已知為有理數(shù)，規(guī)定/(。)=,-2|,g?=|b+3],

例如：/(-3)=|-3-2|=5,g(-2)=|-2+3|=l.

知識(shí)應(yīng)用：

⑴若/(a)+g(0)=0,求3a-5〃的值；

⑵求/(a-l)十g(a-l)的最值；

知識(shí)遷移：

⑶若有理數(shù)a，b，c滿足|。一"。+3|=。+〃+。-3,且關(guān)于1的方程依-勿=%-5有無(wú)數(shù)解，/(加-4)工0,

求|a+2〃+c+5|—|a+Z?+c+7]一|一3一4的值.

17.(2021上?四川德陽(yáng)?七年級(jí)四川省德陽(yáng)中學(xué)校?？茧A段練習(xí))我們規(guī)定，若關(guān)于工的一元一次方程5=/?

的解為X=匕-〃，則稱該方程為“奇異方程”.例如：21=4的解為x=2=4-2,則該方程2x=4是“奇異方

程請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：

⑴判斷方程5]=-8(回答“是”或??不是“奇異方程”；

(2)若a=3,有符合要求的“奇異方程”嗎？若有，求人的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若關(guān)于x的一元一次方程2x=imi+m和-2,v=〃都是“奇異方程”，求代數(shù)式機(jī)一"的值.

18.(2022上?四川成都?七年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谀?已知關(guān)于x的方程(a-2)-4。=。為

一元一次方程，且該方程的解與關(guān)于工的方程竽=?+1的解相同.

(1)求。、的值；

⑵在(1)的條件下，若關(guān)于〉的方程|m-1|)，+〃=。+1+孫有無(wú)數(shù)解，求〃?，〃的值.

專題14認(rèn)識(shí)一元一次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（10大題型）

囪【題型目錄】

題型一判斷各式是否是方程

題型二列方程

題型三一元一次方程的定義

題型四方程的解集

題型五根據(jù)方程的解求值

題型六根據(jù)等式的性質(zhì)判斷變形是否正確

題型七利用等式的性質(zhì)解方程

題型八利用等式的性質(zhì)比較大小

題型九根據(jù)等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的根

題型十有規(guī)律的方程的解

【知識(shí)梳理】

4、方程的定義

方程是含有未知數(shù)的等式，￡這一概念中要抓住方程定義的兩個(gè)要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù).

5、一元一次方程的定義

只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

通常形式是ax+b=0（a,b為常數(shù)，且a和）.

一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式.

一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0.

我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且存0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.這里a是

未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1.

6、方程的解

解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

4、等式的性質(zhì)

性質(zhì)I：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；

性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

41經(jīng)典例題一判斷各式是否是方程】

1.（19?20七年級(jí)下?四川巴中?期末）下列式子中：①5x+3y=0,②6f_5彳，③3x<5,④f+]=3,⑤

1Y+2=3x.是方程的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)方程的定義可得出正確答案.

【詳解】①5x+3），=0,是方程；

②6/-5x,不是等式，不是方程；

③聶＜5,不是等式，不是方程；

④d+l=3,是方程；

@j+2=3x,是方程.

綜上，方程共有3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的定義，解題關(guān)鍵是依據(jù)方程的定義.含有未知數(shù)的等式叫做方程.方程有

兩個(gè)特征：（I）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）.

2.（2223七年級(jí)匕安徽阜陽(yáng)?期末）下列各式中，是方程的個(gè)數(shù)為（）

①工=0；②3x-5=2x+l；（3）2x+6；?x-y=0；⑤]=5）'+3；?a2+?-6=0.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)方程的定義：含有未知數(shù)的等式，即可判斷.

【詳解】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合題意；

③不是等式，故不是方程，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是方程的定義，解題的關(guān)鍵是依據(jù)方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.方

程有兩個(gè)特征：（1）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）.

3.（2021七年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè)）下列各式是方程的有一

①3+（-3）-1=8-6+（-3）；

②?+；y=5；

@\2-2x=l；

@x2-2x=x-y；

⑤a+b=b+a（a^b為常數(shù)）

【答案】②③④

【分析】含有未知數(shù)的等式是方程，根據(jù)定義依次判斷.

【詳解】解：①3+（-3）-1=8-6+（-3）,不含有未知數(shù)：不是方程；

@-x-^--y=5,是方程；

1D

③;X2?2X=1,是方程；

?x2-2x=x-y,是方程；

⑤a+b=b+a（a、b為常數(shù)），不含有未知數(shù)，不是方程；

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】此題考查方程的定義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解方程的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（23?24七年級(jí)上?全國(guó)?課堂例題）判斷卜.列各式是不是方程，不是方程的說(shuō)明理由.

⑴4x5=3x77；

⑵2x+5），=3；

（3）9-4x>0；

（4）x+5；

（5）10=3；

（6）5+6=11.

【答案】（1）不是方程，見(jiàn)解析

（2）是方程

（3）不是方程，見(jiàn)解析

（4）不是方程，見(jiàn)解析

（5）是方程

（6）不是方程，見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得;

（2）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得;

（3）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得;

（4）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得;

（5）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得;

（6）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得.

【詳解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù).

（2）解：是方程.

（3）解：不是方程，理由是：不是等式.

(4)解.：不是方程，理由是：不是等式.

(5)解：是方程.

(6)解：不是方程，理由是：不含未知數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考杳了方程，熟記方程的概念是解題關(guān)鍵.

A【經(jīng)典例題二列方程】

1.(2021?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模)藥店銷售某種藥品原價(jià)為。元/盒，受市場(chǎng)影響開(kāi)始降價(jià)，第一輪價(jià)格下降

30%,第二輪在第一輪的基礎(chǔ)上又下降10%,經(jīng)兩輪降價(jià)后的價(jià)格為6元/盒，則。，〃之間滿足的關(guān)系式為

()

A.b=(1-30%)(1-10%)aB./>=(1-30%-10%)a

,a,a

Cb=------------------Db=------------------------

*I+30%+10%(l+30%)(l+10%)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意直接列方程即可

【詳解】解：由題意可知8=(1?30%)(1?10%)。

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是關(guān)鍵

2.(2021上.河北唐山.七年級(jí)統(tǒng)考期末)在做科學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，老師將第一個(gè)量筒中的水全部倒入第二個(gè)量筒中，

如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息，得到的正確方程是().

14cnlm

IJrCT

9cm

95

A.nx(_)2xx=nx(-)2x(x+4)B.7tx92xx=7tx92x(x+4)

22

95

C.兀X(-)2xx=7tx(—)2x(x-4)D.7tx92xx=nx92x(x-4)

22

【答案】A

【分析】根據(jù)水的體積不變的性質(zhì)以及圓柱體體積計(jì)算公式，即可列出一元一次方程，從而得到答案.

95

【詳解】依題意得：7TX(-)2xx="(-)2x(x+4)

Ct乙

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解.

3.(2020上?江蘇淮安?七年級(jí)統(tǒng)考期末)五個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成如圖所示的大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的面

積是135。/,則以小長(zhǎng)方形的寬為邊長(zhǎng)的正方形面積是cnr.

【答案】9

【分析】根據(jù)大長(zhǎng)方形的面枳計(jì)算出小長(zhǎng)方形的面積，由圖可知長(zhǎng)為寬的3倍，設(shè)寬為元?jiǎng)t長(zhǎng)為3x,根據(jù)

長(zhǎng)方形的面積公式即可作答.

【詳解】解：因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的面積是135cm2,

所以小長(zhǎng)方形的面積是135+5=275?2,

設(shè)寬為xcm,則長(zhǎng)為3Kcm,

所以x?3x=27,

即爐=9,

所以以小長(zhǎng)方形的寬為邊長(zhǎng)的正方形面積是9cm2.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查列方程和等式的性質(zhì).在解本題時(shí)需注意根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)①五個(gè)小正方形面積相等且

他們面積之和等于大正方形面積；②小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為寬的3倍.需要注意的是最終只需要算出寬的平方即

可.

4.(2020下?湖北襄陽(yáng)?七年級(jí)校考階段練習(xí))一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)里的雞的只數(shù)與豬的頭數(shù)之和是70,雞、豬的腿

數(shù)之和是196,設(shè)雞的只數(shù)是x,依題意列方程為o

【答案】2x4-4(70X)=196

【分析】雞的只數(shù)是x,則豬的頭數(shù)為(70-x)頭，根據(jù)雞、豬的腿數(shù)之和是196,列方程.

【詳解】解：???雞的只數(shù)是x,則豬的頭數(shù)為(70-x)頭，

由題意得，2x+4(70-x)=196

故答案是：2x+4(70-x)=196.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，

列方程.

5.(2020下?六年級(jí)課時(shí)練習(xí))根據(jù)下列條件，列出方程.

(1)x的倒數(shù)減去-5的差為9；

(2)5與x的差的絕對(duì)值等于4的平方；

(3)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為16、x,周長(zhǎng)為40；

3

(4)y減去13的差的一半為x的§.

【答案】(1)--(-5)=9：(2)|5-H=4:(3)2(16+x)=40；(4)：()，-13)=：x

【分析】(1)表示出X的倒數(shù)，再表示出這個(gè)倒數(shù)與-5差等于9,即可得方程；

(2)表示出5與x差，根據(jù)差的絕對(duì)值等于4的平方，即可得方程；

(3)根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式即可得方程；

3

(4)表示出y與13差，再表示出這個(gè)差的?半，以及x的即可得方程.

【詳解】(1)根據(jù)題意，得：--(-5)-9,

故答案為：=9；

.1

(2)根據(jù)題意，得：|5—乂=42,

故答案為：|5-乂=42；

(3)根據(jù)題意,得：2(16+x)=40,

故答案為:2(16+x)=40；

(4)根據(jù)題意，得：-(y-13)=-x,

1、3

故答案為：—(y-13)=-x.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳由實(shí)際問(wèn)題抽象出方程，建立方程要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊(yùn)含

這不同的相等關(guān)系關(guān)系.

41經(jīng)典例題三一元一次方程的定義】

1.(2019上?湖南常德?七年級(jí)統(tǒng)考期中)下列方程中:

①4x—7=l；

②3x+y=z；

@x-l=x2;

o、1ox+yx3.

④4肛=3；—z=-；-=1,

23x

屬于一元一次方程的是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)?元?次方程的定義逐?判斷即可得.

【詳解】解：①41-7=1是一元一次方程，符合題意；

②3x+y=z,含有3個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，不符合題意；

③工-7=/中/的次數(shù)是2,不是一元一次方程，不符合題意；

④4個(gè)=3中孫的次數(shù)是2,不是一元一次方程；中含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；之二1不是

23x

整式方程，不是一元一次方程，不符合題意；

綜上，屬于一元一次方程的是1個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方

程叫一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?重慶九龍坡?七年級(jí)重慶市渝高中學(xué)校校考期末）已知關(guān)于y的方程（。+2力貨-3=0是一元一

次方程，則。的值為（）

A.±2B.-2C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1,列式求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于y的方程（c+2），dT-3=0是一元一次方程，

，H-1=1,

c=±2,

又?；。+2=0,即c#-2,

???c=2：

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義.熟練掌握一元一次方程的定義，是解題的關(guān)鍵.

3.（2023下.四川遂寧.七年級(jí)統(tǒng)考期末）若=6是一元一次方程，貝產(chǎn)=.

【答案】-6

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義求出，〃的值，再將機(jī)的值代入，求解方程即可.

【詳解】解：???（，〃-2）J2*3l=6是一元一次方程，

/.|2/77-3|=1,77?-2^0,

/."7=1,

，原方程為—x=6,

解律x=-6,

故答案為：—6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熱練掌握一元一次方程的定義：只含有一個(gè)

未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程是一元一次方程.

4.（2022上?廣東惠州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程3Mi-l=2是一元一次方程，則W=—.

【答案】2

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義解答即可；

【詳解】?/關(guān)于x的方程3xw-'-l=2是一元一次方程，

：.m-1=1

/.nt=2

故答案為2

【點(diǎn)睛】該題考查了一元一次方程的定義，解答該題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的定義，一元一次方程滿

足只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為2,利用這些條件即可解答.

5.（2022上?河南開(kāi)封?七年級(jí)金明中小學(xué)校考階段練習(xí)）已知方程（3〃-4卜2-（5-3次）工—4/〃=-2加是關(guān)于工

的一元一次方程，求機(jī)和工的值.

【答案】w=p"=一4

【分析】由一元?次方程的定義可知3〃L4=。，求得胴的值，將〃1的值代入得到關(guān)于x的方程，即可得到x

的值.

【詳解】解：???方程（36—4卜2一（5-3a）工一4〃?二一2〃?是關(guān)于》的一元一次方程，

4

，3加一4=0,解得

將川=g代入（36一4）x2—（5-3/??）J-4m=-2in,

QQ

得T-：=0,解得I1

33

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義和解法，依據(jù)一元一次方程的定義求得，"的值是解題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題四方程的解集】

1.（2022上?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列有理數(shù)中，不可能是關(guān)于x的方程3+4=1的解的是（）

A.0B.1C.-D.-3

2

【答案】A

【分析】把x的值代入方程or+4=l,求出所得方程的解，再得出選項(xiàng)即可.

【詳解】A.當(dāng)后0時(shí)，67*0+4=1,即4=1,此時(shí)不成立，即x=0不是方程ax+4=l的解，故本選項(xiàng)符合題意;

B.當(dāng)x=l時(shí)。，1+4=1,解得：6=-3,即x=l可以是方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；

333

C.當(dāng)戶不時(shí)，?--+4=1,解得：〃:2,即廣；可以是方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意：

222

D.當(dāng)x=-3時(shí)，〃?（-3）+4=1,解得：”1,即尸-3可以是方程的解，故木選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解?元?次方程和?元?次方程的解，能得出關(guān)于〃的?元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

2.（2L22上?湘西?期末）x=3是下列哪個(gè)方程的解（）

A.6A-8=8A-6B.5X+7=7-2T

C.4.r-2=2—4.rD.3.r—2=4+.r

【答案】D

【分析】把x=3代入各個(gè)方程計(jì)算求解即可.

【詳解】把x=3代入，可得：

6x3-8=8x3-6,故A選項(xiàng)不符合題意；

5x3+7工7-2x3,故B選項(xiàng)不符合題意；

4x3-2#2-4x3,故C選項(xiàng)不符令題意；

3x3—2=4+3,故D選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的判定，準(zhǔn)確計(jì)算分析是解題的關(guān)鍵.

3.（22?23上?渝中?階段練習(xí)）若戶2是關(guān)于尤的一元一次方程如+〃=3的解，貝96加+3〃-1的值是.

【答案】8

【分析】把x=2代入方程可得26+〃=3,再利用整體代入的方法計(jì)算即可.

【詳解】解：把％=2代入方程可得2帆+〃=3,

6/〃+3〃-1

=3(2/〃+〃)-1

=9-1

=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

4.(21.22七年級(jí)上?陜西榆林?期末)某同學(xué)在解方程當(dāng)?=申-2時(shí)，去分母時(shí)方程右邊的-2沒(méi)有乘6,

其他步驟正確，結(jié)果方程的解為＞=1，求。的值.

【答案】

【分析】根據(jù)錯(cuò)解代入錯(cuò)方程即可得到〃的值.

【詳解】解：根據(jù)題意可得x=l是方程2(2x-l)=3(x+a)-2的解，

將x=1代入2(2x-1)=3(x+a)—2,得

2x(2-l)=3(l+a)-2,

解得〃=；.

【點(diǎn)睛】本題考查方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)值，解題關(guān)鍵是題目給的解是錯(cuò)方程的解要代

入錯(cuò)方程.

41經(jīng)典例題五根據(jù)方程的解求值】

1.(2223上?珠海?期末)已知。是方程l—2x-1=0的解，則代數(shù)式2/一4〃的值為()

A.2B.-1C.1D.-2

【答案】A

【分析】把彳=。代入方程得到關(guān)于"的等式，然后整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???〃是方程“2-2x-l=0的一個(gè)解，

:.a2-2a-\=0,即M-2。=1

.??2a2-4a=2(/-2a)=2xl=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了?元二次方程的解.、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，理解?元二次方程的解的定義是解答

本題的關(guān)鍵.

r

2.(21?22上?寶雞?期末)已知x=-2是方程54+12=二一〃的解，貝1」〃2一〃一6的值為()

2

A.0B.6C.-6D.-18

【答案】B

［分析］此題可先把戶-2代入方程然后求出。的值，再把a(bǔ)的值代入/yd求解即可.

Y

【詳解】解：將--2代入方程5X+12=耳-。

得:-10+12=-l-a；

解得:a=-3；

a2-a-6=9-(-3)-6=6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次方程的解，先將X的值代入方程求出〃的值，再將。的值代入/-a-6即可解

出此題.

3.(2324上.昆明?期末)若關(guān)于k的方程2ar+8=g的解為x=l,則6a+3A=.

31

【答案】

I13

【分析】將x=l代入2權(quán)+人=3可得：2〃+力=：,從而得到64+38=3(2。+〃)=；.

【詳解】解：關(guān)于%的方程2以+。=3的解為

將x=l代入可得：2。+〃=!，

22

13

,\6a+3b=3(2a+b)=3x—=^.

3

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查方程的解與代數(shù)式求值，理解方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

4.(2122七年級(jí)下?全國(guó)?期中)若尸1是方程竺■學(xué)=i的解.

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⑴試判斷。與力的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，每組相對(duì)表面上所標(biāo)的兩個(gè)數(shù)都互為相反數(shù)，求。的值；

⑶求代數(shù)式（4a+b）-8cL2/2+5的值.

【答案】（1）〃=5-4。，見(jiàn)解析;

（2）d=l；

（3）20.

【分析】（1）把x=l代入方程，即可解答：

（2）利用正方體及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)，求出。的值，代入（1）中的式子，即可解答:

（3）把小力的值代入代數(shù)式，即可解答.

【詳解】（1）把x=l代入方程卓-三變=1得：

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2。+1

---------\---b-=|

36

解得：b=5-4〃.

（2）根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖，可得/，與-1是相對(duì)的面，

?.?每組.相對(duì)表面上所標(biāo)的兩個(gè)數(shù)都互為相反數(shù)，

1=5-4小

解得：4=1.

(3)當(dāng)4=1,b=\時(shí),

(4a-8a-2〃+5

=(4+1)2-8x1-2x1+5

=25-8-2+5

=20.

【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的定義，代數(shù)式求值，正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形,

從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題.

41經(jīng)典例題六根據(jù)等式的性質(zhì)判斷變形是否正確】

1.（2023上?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）下列等式變形，錯(cuò)誤的是（）

A.若a=b,貝lJa+2=Z?+2B.若a=b,則2^=2Z>

C.若x+l=y+l,則x=yD.若/=〃，貝h=]

【答案】D

【分析】等式的性質(zhì)I：等式的西邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩

邊都乘同一個(gè)數(shù)，等式仍成立：笨式的性質(zhì)3：等式的兩邊都除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍成立.根據(jù)

等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A.???a=。，???。+2=6+2,變形正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.???。=〃，.?.次=?,變形正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.????x+i=y+i,???]=>,變形正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.由/=〃能推出。=1或。=0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.

2.（2（）23下?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于等式：X-1=21，下列變形正確的是（）

A.-x+2x=\B.2x--x=-\C.-x=1D.x-3=2x

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【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷各選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】解：A、將2x移到等號(hào)的左邊，將I移動(dòng)到等號(hào)的右邊，得到的等式為gx-2x=l,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、將gx移到等號(hào)的右邊，得