專題74二項分布與超幾何分布（舉一反三）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

專題7.4二項分布與超幾何分布【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1利用二項分布求分布列】 1【題型2服從二項分布的隨機變量概率最大問題】 2【題型3二項分布的均值與方差】 2【題型4二項分布的實際應用】 3【題型5超幾何分布的判斷】 6【題型6超幾何分布的均值】 7【題型7超幾何分布的方差】 7【題型8二項分布與超幾何分布的綜合應用】 9【知識點1二項分布】1．伯努利試驗(1)伯努利試驗的概念

把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.

(2)n重伯努利試驗的兩個特征

①同一個伯努利試驗重復做n次；

②各次試驗的結果相互獨立.2．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p).3．二項分布的期望與方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).【題型1\o"利用二項分布求分布列"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166017/_blank"利用二項分布求分布列】【例1】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知X～B4,13，則P(X=1)=（

）A．881 B．3281 C．427【變式11】（2023·全國·高二專題練習）已知隨機變量X服從二項分布X～B6,13，則PA．1316 B．4243 C．13243【變式12】（2023·全國·高二專題練習）有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則P(X≤2)=（

）A．38 B．1314 C．45【變式13】（2023·全國·高三專題練習）設隨機變量ξ~B2,???p，η~B4,???p，若A．8081 B．6581 C．5581【題型2\o"服從二項分布的隨機變量概率最大問題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj166017/_blank"服從二項分布的隨機變量概率最大問題】【例2】（2023·全國·高三專題練習）若X～B7,12，則使P（X＝k）最大的k的值是（A．2 B．3 C．4或3 D．4【變式21】（2023·全國·高二專題練習）某人在11次射擊中擊中目標的次數為X，若X~B11,0.8，若PX=k最大，則k＝（A．7 B．8 C．9 D．10【變式22】（2023·高二課時練習）已知X～Bn,p，若4PX=2=3PX=3，則A．56 B．45 C．34【變式23】（2023下·湖北武漢·高二?？计谀┰O隨機變量X～Bn,p，記pk=CnA．當k由0增大到n時，pk先增后減，在某一個（或兩個）k值處達到最大.二項分布當p=0.5時是對稱的，當p<0.5時向右偏倚，當p>0.5B．如果n+1p為正整數，當且僅當k=n+1pC．如果n+1p為非整數，當且僅當k取n+1p的整數部分時，D．E【題型3二項分布的均值與方差】【例3】（2023下·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考期中）在3重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為6364，則事件A發(fā)生的次數X的期望和方差分別為（

A．94和964 B．3C．916和364 D．9【變式31】（2023下·江西撫州·高二校考階段練習）設隨機變量X～B4,23A．PX=1=8C．X的數學期望EX=83 【變式32】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）A、B兩組各有3人獨立的破譯某密碼，A組每個人成功破譯出該密碼的概率為p1，B組每個人成功破譯出該密碼的概率為p2，記A、B兩組中成功破譯出該密碼的人數分別為X,Y，若0<pA．E(X)>E(Y),D(X)<D(Y) B．E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)C．E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) D．E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)【變式33】（2023下·遼寧·高二東北育才學校校聯(lián)考期末）已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨立，設其中被治愈的人數為X，則下列選項中正確的是（

）A．E(2X+1)=160 B．P(X=30)=C．D(2X+1)=32 D．存在k≠50，使得P(X=k)=P(X=100?k)成立【題型4二項分布的實際應用】【例4】（2023上·河南·高三校聯(lián)考開學考試）小明參加一項答題活動，需進行兩輪答題，每輪均有nn∈N*道題．第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對一題繼續(xù)答下一題，一旦答錯或題目答完則結束答題．第一輪每道題答對得5分，否則得0分；第二輪每道題答對得20分，否則得0分．無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對的概率均為13，第二輪每題答對的概率均為23(1)若n=30，求EX(2)證明：當n≥24時，EX【變式41】（2023·全國·高三專題練習）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現了“一墩難求”的現象.主辦方現委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數10205020假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），90<x≤120，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.(1)若x=100，試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數，試求X的分布列和數學期望EX(2)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數學期望EY【變式42】（2023上·全國·高三校聯(lián)考開學考試）一個不透明口袋里有大小、形狀、質量完全相同的10個小球，其中有1個紅色球、2個綠色球、3個黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽樣法，每次抽取前充分攪拌.(1)50名學生先后各從口袋里隨機抽取1個球，設抽取到的球為黑色或紅色的次數為X，求X的數學期望；(2)甲、乙兩人進行游戲比賽，規(guī)定：抽到紅色球得100分，抽到綠色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得?10分.兩人各從口袋里抽取兩次，每次隨機抽取一個球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.【變式43】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學生對新冠肺炎預防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為A1，A2，A3，A4，方案一：將班級選派的3n名參賽選手每3人一組，分成n組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這n個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.方案二：將班級選派的3n名參賽選手每n人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的n名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.(1)郭靖同學參加了個人賽，已知郭靖同學答對題庫中每道題的概率均為45(2)在團體賽預賽中，假設A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數p0<p<1，A【知識點2超幾何分布】1．超幾何分布(1)定義

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，nN+M}，r=.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.

(2)求超幾何分布的分布列

①判斷隨機變量是不是服從超幾何分布；

②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.2．超幾何分布與二項分布的關系(1)超幾何分布與二項分布都是隨機變量取非負整數值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有截然不同的表達式，但看它們的概率分布列，會發(fā)現其相似點.超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的概率模型，許多實際問題都可以利用這兩個概率模型來求解.在實際應用中，理解并辨別這兩個概率模型是至關重要的.

(2)事實上，在次品件數為確定數M的足夠多的產品中，任意抽取n件(由于產品件數N無限多，無放回與有放回無區(qū)別，故可看作n重伯努利試驗)，其中含有次品的件數服從二項分布.【題型5超幾何分布的判斷】【例5】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學?？茧A段練習）下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為XB．某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為XC．從7男3女共10名學生干部中選出5名學生干部，記選出女生的人數為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為X【變式51】（2023·全國·高二專題練習）在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數，則X服從超幾何分布，其參數為（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【變式52】（2022下·天津河西·高二天津實驗中學?？计谥校┮粋€袋子中100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數，則X服從（

）A．二項分布，且EX=8 C．超幾何分布，且EX=8 【變式53】（2023·全國·高二專題練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現從中任取4個球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；④X表示取出的黑球個數．這四種變量中服從超幾何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【題型6超幾何分布的均值】【例6】（2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）某地盛行糕點有n種，該地的糕點店從中準備了m（m<n）種糕點供顧客選購．已知某顧客喜好的糕點有k（k<n）種，則當其隨機進入一家糕點店時，會發(fā)現該店中有若干種糕點符合其喜好．記隨機變量X為該顧客發(fā)現符合其喜好的糕點的種數，則EX=（A．kmn B．m+kn2 C．kn【變式61】（2023·全國·高二專題練習）設隨機變量X～H(10,M,1000)（2≤M≤992且M∈N?），H(2;10,M,1000)最大時，E(X)=（A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01【變式62】（2023下·山東青島·高二?？计谥校难b有6個白球，2個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球.若每取出1個紅球得2分，每取出1個白球得1分.按照規(guī)則從容器中任意抽取2個球，所得分數的期望為（

）A．52 B．3 C．103 【變式63】（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球n∈N*，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為920，設X為取出白球的個數，則EA．32 B．12 C．1【題型7超幾何分布的方差】【例7】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為X，則下列結論正確的是（

）A．E2X?1=4C．EX=1 【變式71】（2023·全國·高二專題練習）有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有1個紅球，乙盒子里有3個紅球和3個黑球，現從乙盒子里隨機取出n1≤n≤6,n∈N?個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為ξ個，則隨著nA．Eξ增加，Dξ增加 B．Eξ增加，Dξ減小C．Eξ減小，Dξ增加 D．Eξ減小，Dξ減小【變式72】（2023下·山東棗莊·高二?？茧A段練習）為營造濃厚的全國文明城市創(chuàng)建氛圍，積極響應創(chuàng)建全國文明城市號召，提高對創(chuàng)城行動的責任感和參與度，學校號召師生利用周末參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.(1)求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；(2)記參加活動的女生人數為X，求X的分布列及期望EX、方差D【變式73】（2023·全國·高二專題練習）2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎性地位，也是市場經濟的基本法某中學培養(yǎng)學生知法懂法，組織全校學生學習《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學習的效果，現從高一，高二兩個年級中各隨機抽取20名學生的成績（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：根據學生的競賽成績，將其分為四個等級：測試成績（單位：分）[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等級合格中等良好優(yōu)秀（1）從樣本中任取2名同學的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這2名同學來自同一個年級的概率；（2）現從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W生中隨機抽取3人座談，記X為抽到高二年級的人數，求X的分布列，數學期望與方差.【題型8二項分布與超幾何分布的綜合應用】【例8】（2023下·高二課時練習）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是23(1)分別求甲、乙兩人正確完成