交通流理論要點

第四章交通流理論

交通流理論(TrafficFlowTheory)是研究交通流隨時間和空間變化規(guī)律的模型和方法

體系，被廣泛應用于交通系統規(guī)劃與攔制的各個方面。批注［UI］：前吉.部分是否過于簡單,與其他章?不協調

第一節(jié)交通流理論的發(fā)展歷程

在本節(jié)中，我們一起回顧交通流理論的發(fā)展歷程。交通流理論的興起大致在20世紀30

年代,在2。世紀5。年代到60年代經萬了繁榮和快速發(fā)展.7。年代以后,主要是對既有理

論的發(fā)展完善和應用拓展。

一、交通流理論的萌芽期

萌芽期從20世紀30年代到第二次世界大戰(zhàn)結束。由于發(fā)達國家汽車使用和道路建設的

發(fā)展，需要探索道路交通流的基本規(guī)律，產生了研究交通流理論的初步需求。Adams在1936

發(fā)表的論文中將概率論用于描述道路交通流，格林息爾治(Grccnshidds)在1935年開創(chuàng)性

提出了流量和速度關系式(也就是格林息爾治關系)，并調查了交叉I」的交通狀態(tài)。

二、交通流理論的繁榮期

繁榮期從第二次世界大戰(zhàn)結束到20世紀50年代末。汽車使用顯著增長和道路交通系統

建設加快，應用層面對交通特性和交通流理論的研究提出了急切需求。此階段是交通流理論

最為輝煌的時期，經典交通流理論和模型幾乎全部出自這一時期。交通流理論中的經典方法、

理論和模型相繼涌現，如車輛跟馳(Car-following)模型、不流波動(KinematicWave)理

論和排隊論(QueuingTheory)(>

這一時期群星閃耕?，許多在自然科學其他領域中的大師級人物(如數學家、物理學家、

力學家、經濟學家)都投入到交通流理論的研究中，其中不乏諾貝爾獎金的獲得者，如1977

年的諾貝爾化學獎獲得者伊利亞?普列高津(IlyaPrigoginc).著名人物有赫斐(Herman).

魯切爾(Reuschel).沃德盧普(Wardrop),派普斯(Pipes),萊特希爾(Lighthill),患

特漢(Whitham),紐維爾(Newell)、蓋熱斯(Gazis)、韋伯斯特(Webster)、伊迪(Edie)、

福特(Foote)和錢德勒(Chandler)。

距今六十多年過去了，前輩當初是如何創(chuàng)建交通流理論已經變得有些模糊，交通流理論

的先驅之一Newell為此特意報了一篇立文^'MemoirsonHighwayTrafficFlowTheoryinthe

1950s》，刊登在運籌學的頂級刊物WpcralionsResearch^2002年第I期h(交通流理論的

許多早期成果都發(fā)表于這本刊物)，回顧大師們是如何投身到這一嶄新的領域中來，沿用至

今的方法和模型當初是如何建立的。以下我們摘錄一部分。

1952年，Wardrop在其論文中提出了''用戶最優(yōu)"與'?系統最優(yōu)”，也就是我們在交通系統

規(guī)劃四階段法之交通分配中廣為應用Wardrop第一平衡原理和第二平衡原理，1954年，美

國Brown大學應用數學的著名教授WilliamPrager,做了公路交通“流體理論”的講演，他所

描述的理論實質上是后來LighthiH和Whitham(1955)發(fā)表的著名論文中的內容。1954年，

Edie在《OpcralionsResearch》上發(fā)表了公路收費站延誤的論文。1955年，Newell一篇關于

低密度交通的論文發(fā)表在＜OperationsResearchX。1955年，Lighthill(一位流體力學、空

氣動力學等領域的世界權威)和Whitham將交通流比擬為流體，提出了流體力學模擬理論

(或稱車流波動理論)，而在1956年Richards提出了類似的激波理論。1955年，Daniel

Gerlough發(fā)表了一篇用Poisson分布描述交通的論文，倡議公路研究委員會(Highway

ResearchBoard(HRB),即后來的TRB)成立交通流理論學會。1958年，Chandler,Herman

和Montroll共同發(fā)表(關于車輛跟馳模型的論文，Kometani和Sasaki同年在日木的運籌學

雜志提出了類似理論。1958年，英國道路研究實驗空(RRL)(即現在運輸與道路研究實

險室(TRRL))的Webster借助于數值模擬和曲線擬合得到了固定周期交通信號燈的延遲

時間公式。而經濟學家Beckmann等人則研究交通經濟，推廣了Wardrop的研究，并更注重

收費政策，并在1955年由耶魯大學結果出版。

交通流理論的學術交流活動也日益頻繁。許多交通流理論的早期論文都在?Operations

Research》發(fā)表,OperationsResearch1關于交通問題的特刊在1964年出版，而由美國運

籌學會主辦、RobertHerman任主編的高水平交通研究雜志STransporialionScience》也在1966

年創(chuàng)刊。在RobertHerman的倡導和積極組織下，第一屆交通流理論國際會議(Firsi

InternationalSymposiumontheTheoryofTrafficFlow)]-1959年12月在通用汽車研究實驗

室召開。以后發(fā)展為運輸和交通理論國際會議(IniernalionalSymposiumonTransportalionand

TrafficTheory,簡稱ISE),這是代表交通流理論研究最高水平的學術會議，最近一次的

19屆ISTTT會議將「2011年7月在關國伯克利召開。其他交通領域的學術會議相繼召開，

例如每年一次的美國交通委員年會(TransponaiionResearchBoard(TRB)AnnualMeeting)

也是很有影響力的大型會議，最近一次的第89屆年會于2010年1月在美國首都華盛頓召開。

三、交通流理論的成熟期

成熟期從1959年開始至今，隨著汽車的普及，各國大中城市陸續(xù)出現愈來愈嚴重的交

通問題，需要交通流理論提供技術和方法上的指導，這個期間交通流理論發(fā)展成熟并應用到

實際中，交通流理論已經是設計、運營和研發(fā)先進交通系統所需理論、技術和流程的基礎。

經曲交通流理論W萼包括概率統十模型、踉馳模型、排隊論模型和車沛波動理論等,以

概率統計、微枳分模擬交通流，模型的假設條件比較嚴，物理意義明確，建模過程嚴謹。但

正如Newell在其同顧論文中所講的那樣，交通流理論發(fā)展在20世紀60年代達到高峰，而

在70年代以后則跌入了低谷。這是因為，對交通流理論做出杰出貢獻的有數學家、統計學

家、物理學家、經濟學家等，他們在各自領域內都已經是世界知名的權威學者了，在發(fā)現交

通問題的復雜、新穎和挑戰(zhàn)后，試圖將自己嫻熟的那些專業(yè)方法應用到交通問題上。那些方

法可以應用到一些特殊的情形，但卻不像一般交通問題的解。在方法用完以后，那些人乂回

到了以前的研究領域，很少人繼續(xù)在交通流理論領域深入下去，也沒有試圖去開發(fā)解決交通

本身獨特問題所需的新方法。Newell襯隨機過程、常規(guī)排隊論、控制論、經濟理論等常見

手段提出了彳j保留的看法，認為交通流理論的大發(fā)展需要新的思想和技巧。

時至今日，借助于先進的計算機技術，對交通流更雜性的解析愈來愈深入，例如近年應

用較多的元胞自動機(Cdlularautomala,簡稱CA)建模。元胞自動機應用于交通建模在20

世紀50年代就提出了，但直到近十多年才被大量運用。元胞自動機采用離散的時空和狀態(tài)

變量，設定車輛運動的演化規(guī)則，通過大量的樣本平均來揭示交通運行規(guī)律，避免了離散一

連續(xù)一卷散的近似過程，抓住交通元素的離散特性。元胞自動機模型一方面保留了交通這一

復雜系統的非線性行為和其他物理特征，同時也更易于計算機操作，并能靈活地修改其規(guī)則

以考慮各種真實交通條件。

四、杰出人物簡介

為交通流理論發(fā)展做出杰出貢獻的人物很多，我們下面僅介紹RobertHerman（羅伯特?

赫曼）和DenosC.Gazis（德諾斯?盜熱斯）

1.RobertHerman（羅伯特?赫曼）

RobertHerman（1914—1997）,美國紐約人。在紐約城市大學獲得物理學學上學位，

在普林斯頓大學獲得物理學碩士和博士學位。其后，他在約翰霍普金斯大學他應用物理實險

室工作，離開后到馬里蘭大學任物理訪問教授。1956年他加入通用汽車公司研究實險室，

并先后擔任了科學基礎知識研究組的副主席、理論物理部主管、交通科學部主管，直至1979

年。1979年他成為得克薩斯大學統計力學研究中心的物理教授和土木工程系的L.P.Gilvin

教授。

交通學科界普遍認為RobertHerman是交通科學的鼻祖。他對交通科學生貢獻貫穿于這

門新興學科發(fā)展的頭40年。利用自身的物理學背景，他首次描述了微觀交通行為。在20

世紀50年代木和60年代初，他與ElliottMontroll及其他學者合作提出了交通流跟她理論。

隨后他又與IlyaPrigogine合作提出了多車道交通流的車流波動理論。20世紀70到80年代，

他主要潛心于與IlyaPrigogine合作建立的城市交通流二維流體力學模型。進入90年代后，

他主要把精力放在城市基礎設施和豆雜動態(tài)系統演進這兩個問題。

RobertHerman由于和RalphAlpher和GeorgeGamow共同提出了宇宙的演化模型即

??手擊人爆炸”理愴而聞名世界。這一理論預測了小市微波背景輻射的存在，多年以后得到證

實。RobertHennan發(fā)表了大量有影響力的學術成果，是車流波動理論的合作者，擔任

^TransportationScience^的創(chuàng)始主編。1959年他發(fā)起的ISTTT會議，如今已是交通領域最

高級別的學術會議。1978年由于他對汽車交通科學的杰出貢獻被選為美國工程院院士，1979

年他被推選為美國藝術和科學學院的賈學和物理科學院士，一生獲得許多大獎。

2.DenosC.Gazis（德諾斯蓋熱斯）

DenosC.Gazis（1930-2004）是交通學科發(fā)展的主要先期之一，1957年從美國哥倫比亞

大學獲得工程科學博士學位，在通用汽車的研究實驗室工作至1961年，然后加入到IBM的

研究實驗室。

DenosC.Gazis提出了交通科學的實驗性本質，主要用意在于避免科研工作者在研究交

通問題時“先有答案、再找問題”，而是應該通過實驗找出規(guī)律，再用最適合指述該規(guī)律的模

型去描述它，從而避免用想象中的模型去套用實驗結果。早期DenosC.Gazis在通用汽車由

RobertHerman領導的團隊中從事交通流模型的研究，期間他與Roihcry及其他同事一道為

交通流模型的實驗和理論作出了巨大的貢獻。他的主要貢獻在:建立了單個車輛的微觀模型

和宏觀交通流模型之間的聯系，并且刻畫了不同跟車模型的稔定性。1959年由于這一貢獻,

他獲得了運籌學Unchester大獎。

DenosC.Gazis普遍被認為是“智筐交通之父”，他首先提出在交通系統中使用計算機、

傳感器以及各種先進的通信技術。早在20世紀60年代，他就預見到計算機、傳感器和通信

技術在交通系統運營中的角色，離開通用汽車后，他加入到【BM的研究實驗室，從事將訶

算機輔助的實時技術應用到交通科學飄域。

DenosC.Gazis是（TransportationScience^的創(chuàng)始人之一,在1983年至1986年間,出

色地擔任了該雜志的主編。他一?生中撰寫并出版了大量學術著作，其中最為著名的就是

仃rafficTheory》一書，包含交通流理論、孤立交叉口延遲問題、交通控制以及交通分配這

四部分內容。

第二節(jié)概率統計模型

概率統計模型是交通流理論中經常應用的模型，為描述和解決交通中的隨機性問題提供

了有效手段。例如.用離散型分布描述車輛到達的分布，用連續(xù)分布描述車頭時距的分布。

本節(jié)將介紹常用的離散型分布和連續(xù)型分布。

一、離散型分布

rr些隨機變成，它的全部可能取到的值是有?限個或可列的無限多個，如某路段?月內發(fā)

生的交通并件數，某機場入口?小時內到達的乘客數，某交叉口引道直行車輛在信號周期內

的到達數等，這種隨機變量稱為離散型隨機變量。要掌握離散型隨機變量x的統汁規(guī)律，

就必須且只需知道x的所有可能取值以及相應的概率。設離散型隨機變量x所有可能取值

為以a=1,2,…），x取各個可能值的概率，即事件（x=_u）的概率，為

P(X=xk)=pk,A:=1,2,...(4-1)

按概率的定義，如滿足下面的條件

>0,k=\,2,...且￡p*=l(4-2)

k=\

稱式(4-2)為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱離散型分布。

若級數凡絕對收斂，則稱其為離散型隨機變抗X的數學期望，數學期望簡稱為期

hl

望，又叫做均值，記為

￡(X)=^A；pt(4-3)

若E([X-E(X)/)存在，稱其為X的方差，隨機變量方差表示X的取值與其數學期望

的偏離程度，記為％4X),即

%r(X)=E([X-E(X)/)(4-4)

計算方差時常用下面的式子

Var(X)=EiX2)-[E(X)]2(4-5)

對于離散型隨機變量

V4/r(X)=XlX-E(X)]2^(4-6)

*=|

離散型分布常用于描述一定時間向隔內事件的發(fā)生數。交通系統規(guī)劃與控制中常用的離

散型分布主要有泊松分布、二項分布和負二項分布三種。

(-)泊松分布

泊松(Poisson)分布是最常用的離散型分布，其分布函數如下

P(X=x)="""(x=0.1,2,...)

(4-7)

x!

式中：P(X=x)——在計數時間間隔7內，事件X發(fā)生x次概率:

Z——單位時間內事件的平均發(fā)生次數；

T一計數時間間隔。

令"=表示計數時間間隔7內事件的平均發(fā)生次數，則(4-51)式為

me

P(X=x)=----------(.r=0.1,2,...)(4-8)

.d

并有遞推式成立

p(X=O)=e~m,x=0(4-9)

P(X=x)=—P(X=x-l).x>l(4-10)

x

假定事件為了內到達的車輛數。時間7內到達車輛數小于工的概率

=(4-11)

仁，！

時間7?內到達車輛數小于或等于1的概率

P(XV.r)=次%】(4-12)

根據式(4-56),時間7?內到達車柄數大于x的概率

P(X>^)=1-P(X<x)=I(4-13)

時間7?內到達車輛數大廣或等丁r的概率

■t-lfa~m

P(X>x)=l-P(X<x)=l-y-iin^—(4-14)

時間7內到達車輛數大于等于r且小于等于)，的概率

如64),)*笞^(4-15)

泊松分布具有非常好的性質，它的數學期望和方差都等于，“°用泊松分布擬合觀測數據

時，均值￡(X)和方差S0O分別由樣本均值而和樣本方差(估計。

方=丹一=上七一(4-16)

匚N

人七>，-獷=志況L”(4-17)

式中：n一觀測數據分組數；

fi—時間r內，事件X發(fā)生X,次的頻率;

N一觀測數據的總數。

由于樣本均值而和樣本方差(是無偏估計，所以當二顯著不等于1,貝!說明不適合用

m

泊松分布擬合。在道路交通中，泊松分布適合擬合車流密度不大、其他外界干擾因素基本不

存在的情形。

【例44】

已知某公路的一個方向的車流量為1080輛小.車輛到達符合泊松分布。求在I秒、2

秒、3秒時間內有車的概,率。

【解】

Inon*1

在1秒平均到達的車柄數m==0.3柄

3600

P(X>0)=1-P(X=0)=l-e-°3=1-0.74=0.26

IAQAxo

在2秒平均到達的車輛數/?=-------=0.6輛

3600

P(X>0)=1-P(X=0)=\-e-0A=1-0.55=0.45

在3秒平均到達的車輛數1080x3=0.9輛

3600

P(X>0)=1-P(X=0)=1一<r09=|-o.41=0.59

(二)二項分布

二項分布的分布函數為

P(X=A)=C：p，("p)E(x=0,1,2,…)(4-18)

式中：p,n—二項分布的參數，”為正整數：

C：=---，

兄(〃-刈

有遞推式成立

P(X=O)=C>°(l-pr=(l-p)n,A-=0(4-19)

nx+1

P(x=A)=~Pp(x=A--1),,r>l(4-20)

x1-p

根據二項分布，到達車輛數小于/的概率

P(X<x)=￡c：”(l-p產(4-21)

/=0

到達車輛數大于K的概率

P(X>])=1一￡C：p'(l-P尸(4-22)

r-0

當X服從二項分布時，其均值和方差分別為

E(X)=np(4-23)

Vai-(X)=np[\-p)(4-24)

由樣本均值而和樣本方差.一估計參數如下

方=欠;立(4-25)

m

——2

.===「，(取整數)(4-26)

P(切一5一)

2

由于樣本均值而和樣本方差是無偏估計，所以應有二VI,據此可初步判斷能否應

m

用二項分布。二項分布比較適合擬合擁擠的交通流。

【例4-2】

某十字交叉口，觀測一個周期內其南進口的右轉彎車輛到達坡，發(fā)現來車限從二項分布，

每個信號周期內南進口到達30輛車，其中左轉、立行和右轉的比例為20%、60%、20%。

試計算到達10輛車中有I輛和2輛右轉車的概率。

【解】

由于右.傳彎車輛到達服從二項分布

P(X=x)=C*0.2x(l-0.2),o_x=。溫)2。8吁，

到達10輛車中有I輛右轉車的概率為

P(X=1)=C。2。8'>=10x0.2x().8'=0.2684

到達10輛車中有2輛右轉車的框率為

p(X=2)=CS>0.220.83=祟x0.22x0.8s=x0.22x0.8*=0.302

(三)負二項分布

負二項分布的分布函數為

X=x)=C］；；.)pl(\-pY(x=0,1,2,…)(4-27)

式中：/)」一負二項分布的參數，0<〃<l，/為正整數.

有遞推式成立

P(X=0)=p1,x=0(4-28)

p(X=p)P(X=x-l),，它1(4-29)

X

到達車輛數小于X的概率

P(X<X)=￡C,D(1—〃)’(4-30)

r=l

到達車輛數大于X的概率

P(X>X)=1工c；；；,,//(l-p)r(4.31)

J-I

當X股從負二項分布時，其均值和方差分別為

E(X)='Q_P)(4-32)

P

Var(X)=---5-(4-33)

P

由樣本均值而和樣本方差$'估計參數如下

.m

p=7(4-34)

，m2

l=—P—(取整數)(4-35)

(s--而)

因為“""x)=_L〉］,所以應有二>1,據此可初步判斷能否應用負二項分布。負二

E(X)pm

項分布適合擬合交通數據方并較大，觀測過程包括交通高峰期和交通非高峰期的情形。

二、連續(xù)型分布

如果時于隨機變量X的分布函數尸(x),存在非負函數/(x),使得對于任意實數x

有

F(x)=\j(t)dt

(4-36)

則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中f(x)禰為X的概率密度內數。例如車頭時期觀測值

就是連續(xù)型隨機變;亂交通系統規(guī)劃與控制中常用的連續(xù)型分布有負指數分布、移位負指數

分布、威布爾分布、愛爾朗分布、正態(tài)分布、均勻分布等.

(-)負指數分布

負指數分布概率密度函數為

/(/)=屹"(4-37)

分布函數為

廣⑷=1一(4-38)

式中：義為參數。

用負指數分布描述車頭時距時，車頭時距人的概率為

P(/?<r)=l-e(4-39)

P(h>t)=e~^(4-40)

式中：2為車輛的平均到達率(輛/秒)，如果已知流量。(輛/秒)，那么義=磊。

當車輛到達(屬離散型分仰)服從帕愴分布時，車頭時距(屬連續(xù)型分你)服從負指數

分布，反之亦然。下面說明如何從車輛到達服從泊松分布導出車頭時距服從依指數分布。

設對任意的時間間隔人年輛到達服從泊松分布，由式(4-9)沒有車輛到達的概率為

尸(0)=《一”

這就是說，在時間間隔/內，前一輛車到達和后i輛車到達之間的車輛頭時距大于h

換而言之，P(0)也就是尸(萬>r),于是

P(h>t)=P(0)=

(二)移位負指數分布

負指數分布會造成數據出現在O-LOs的概率較大，在一些場合與實際不符。如擬合軍.

頭時距分布時，其概率密度函數隨車頭時距單調下降的，表明車頭時距越短，其出現概率越

大,但這與實際不符，因為車頭間距地少為一個車身長，車頭時距將大于一個最小的正數r。

為了克服這一缺陷，引入一個移位值r，稱為移位負指數分布，這時分布函數為

?⑺=13"-"(/>F)(4-41)

移位負指數分布概率密度函數為

"之r)(4-42)

當移位負指數分布川于描述車頭時距時，就可以確保車頭時距不小于一個給定值r,而

不至于造成出現在Q-I.Os的概率較大。車頭時距h的概率為

P(h<t)=\-e-Ai,-Tyt>r(4-43)

P(h>l)=t>r(4-44)

移位魚指數分布的數學期望和方差分別為

E(X)=-+r(4-45)

A

(4-46)

用樣本均值冊和樣本方差.I計算得到兩個參數的值為

(4-47)

T=m-s(4-48)

(三)威布爾分布

威布爾(Weibull)分布概率密度函數為

々)=，(俗)’

(4-49)

P-YVP-Y)

式中：a.0,y——分別為形狀參數、尺度參數和起點參數，均取正數，且萬＞了。

當a=l時，威布爾分布就是移位負指數分布，當a=2或3時，威布爾分布與正態(tài)分

布很接近。

分布函數

<oo(4-50)

用其擬合車頭時距時，概率

3

/</<00(4-51)

y4v8(4-52)

威布爾分布的適用范圍較廣，交道流中的車頭時距分布、速度分布等都可以用它描述，

其擬合步驟不豆雜，分布函數也較簡小，經常用于解決負指數分布或移位負撲數分布不能解

決的擬合。

(四)愛爾朗分布

愛爾朗(Erlang)分布概率密度函數為

/(0=/=1,2,3,…(4-53)

(/一1)!

分布函數為

=(4-54)

仁八

式中:為參數。

當/=1時，愛爾朗分布就是負指數分布；當/=8時，愛爾朗分布是均名分布。在擬合

車頭時距時，參數/反映了暢行車流至擁擠車流的各種車流情形，/意大，車流密度愈大，

駕駛的自由度愈小。

參數，可以由樣本均值而和樣本方差$2計算:

(4-55)

三、擬合優(yōu)度檢驗

對于觀測的交通數據，如何判斷其是否服從某種理論分布，分布參數是多少，這就是擬

合優(yōu)度檢驗。擬合優(yōu)度檢驗是非參數檢胎的?種，其中常用的是N?檢驗。原假設為為車

輛到達服從某種分布,構造統計量

⑷56）

式中：/表示樣本在i組的觀測頻數，Q表示在i組的理論頻數。比較計算值和臨界

值如果力；則認為車輛到達服從該分布，否則拒絕原假設。

/檢驗需滿足卜.列要求：

①對觀測數據人工分組，分組應連續(xù)且分組數不小于5：

②各組的理論頻數Q不小于5,否則應合并相鄰組：

③人工確定分布的參數，并計算理論頻數：

④樣本量應足夠大。

但對「大量數據的檢驗而言，/2檢臆需要預先計算出理論分布期望值，上述工作將很

繁瑣。

第三節(jié)排隊論

車輛經過站場、交叉口等節(jié)點，列車在車站等待進站或出站，在繁忙忖段飛機等待起飛

和降落，船舶等待碼頭泊位停拳，行人在地鐵車站檢票閘機處等待進出，我M都可以觀察到

交通運輸系統中的排隊現象。不僅在交通系統中如此，排隊在自然現象和社會現象中廣泛存

在，如在銀行、餐廳、商場中的排隊，呼叫中心對來電的排隊等。概括地講，排隊是因為受

到節(jié)點通行能力（處理能力）的限制，交通實體不能以暢行速度通過，從而在節(jié)點上游形成

隊列，等待通過（處理）。科學地分析和處理排隊，能夠增大系統的通行能力，降低交通擁

堵，提高交通效率。

排隊論（QueuingTheory），也稱隨機服務系統理論，是數學運籌學的分支學科，是研

究服務系統中排隊現象隨機規(guī)律的學科。通過對服務對象到來及服務時間的統計研究，得出

某些數量指標（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統計規(guī)律，然后根據這些規(guī)律來改進

服務系統的結構或重新組織被服務對象，使得服務系統既能滿足服務對象的需要，又能使費

用最節(jié)省或某些指標最優(yōu)。排隊論廣泛應用于“?算機網絡、生產、運輸、庫存等各項資源共

享的隨機服務系統。排隊論研究的內容有三個方面：統計推斷，即根據資料建立模型：系統

的性態(tài)，即和排隊有關的數量指標的概率規(guī)律性：系統的優(yōu)化問題。其目的是正確設計和有

效運行各個服務系統，使之發(fā)揮最佳效益。

排隊論源起于20世紀初的電話通話服務理論的研究。1909—1920年丹麥數學家、電氣

工程師愛爾朗（Erlang）用概率論方法研究電話通話問題，從而開創(chuàng)了這門應用數學學科，

并為這門學科建立許多基本原則。他在熱力學統H平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統

計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導出著名的埃爾朗電話損失率公式。在笫

二次世界大戰(zhàn)期間和第二次世界大戰(zhàn)以后，排隊論在運籌學這個新領域中變成了重要的內

容。20世紀50年代初,大衛(wèi)?坎達（DavidG.Kendall）對排隊論作了系統的研究，他用嵌入

馬爾柯夫（A.A.Markov）鏈方法研究排隊論，使排隊論得到了進一步的發(fā)展。1953年他首

先提出3個字母組成的符號A/8/C表示排隊系統。其中人表示顧客到達時間分布，B表示服

務時間的分布，C表示服務機構中的殿務臺的個數。

一、基本概念

1.“排隊”與“排隊系統”

“排隊”指等待服務的客戶（如車輛、行人），不包括正在被服務的客戶。

“排隊系統''既包括等待服務的客戶，又包括正在被服務的客戶。

2.排隊系統構成

排隊系統由三部分組成：輸入過程、排隊規(guī)則和服務方式。

（1）輸入過程

輸入過程是指服務客戶的到達規(guī)律，常用有：

定長輸入一客戶等時距到達，服從均勻分布；

泊松輸入一客戶到達服從泊松分布或到達時距服從負指數分布，這種輸入應用最廣泛；

愛爾朗輸入一客戶到達時距服從愛爾朗分布。

(2)排隊規(guī)則

排隊規(guī)則指到達客戶接受服務的規(guī)則，常用有：

損失制一客戶到達時，若所有的服務臺均被占用，客戶就隨即離開，不再返回：

等待制一客戶到達時，若所有的服務臺均被占用，就排隊等候服務，服務規(guī)則有先到先

服務(即按到達先后次序服務)和優(yōu)先服務(如急救車、消防車》等：

混合制一客戶到達時，若隊長小于心就排隊等候：若隊長大于心客戶就隨即離開，

不再返回。

(3)服務方式

指同一時刻有多少服務臺接待客戶，為每一客戶服務多長時間。服務時間的分布主要有:

定長分布服務一每一客戶的服務時間相等：

負指數分布服務一各客戶的服務時間相互獨立，服從相同的負指數分布：

愛爾朗分布服務一各客戶的服務時間相互獨立，服從相同的愛爾朗分布。

為表述方便，引入記號：M表示沱松輸入或負指數分布服務，。表示定長輸入或定長分

布服務，以為愛爾朗輸入或愛爾朗分布服務。泊松輸入、負指數分布服務、N個服務臺的系

統就可記為M/M/N.如不特加說明，排隊規(guī)則都指先到先服務和單個客戶服務的等待制系

統。

3.排隊系統的評價指標

(1)排隊長度：可分為系統內的客戶數和排隊等待服務客戶數：

(2)等待時間：從客戶到達直至開始接受服務的時間：

(3)忙期：服務臺連續(xù)繁忙的時間。

二、M/M/1系統

M/M/1系統是指泊松輸入、負指數分布服務、1個服務臺的排隊系統，由于服務的通道

僅有一條，也稱為“單通道服務系統“(圖4-9)。

排隊服務

*OOOOOO

圖49單通道服務系統

設客戶的平均到達率為九兩次到達之間的平均時間間隔就是1/九設服務率為"，平均

服務時間就是I勿.〃稱為交通強度或利用系數。若0之1，表示到咫率大于或等于

服務率，排隊會愈來愈長，系統處于不穩(wěn)定狀態(tài)：若夕＜1，表示到達率小于服務率，系統

才處于穩(wěn)定狀態(tài)。因此，單通道排隊系統保持穩(wěn)定即排隊能夠消散的條件就是夕＜1

(%＜〃)。M/M/1系統的計算公式如下：

系統中沒有客戶的概率

P(())=l-P(4-57)

系統中有〃個客戶的概率

(4-58)

系統中的平均客戶數

萬=q

(4-59)

1一夕

平均排隊長度

P'__

q=———=p?n=n-p(4-60)

1一夕

排隊系統中的平均消耗時間

-71n

d=-------=-(4-61)

〃一2A

排隊中的平均等待時間

_A二1

w=------------=a------(4-62)

〃(〃一?〃

【例4-3】

某居住小區(qū)只有1個出口，采用人工收費，假定車輛到達服從泊松分布，服務時間可用

負指數分布表示。到達率為180輛/小時，妝費平均需時12秒。試計算系統中沒有車柄的概

率、系統中有〃輛車的概率、系統中於平均車輛數、平均排隊長度、平均消耗時間、排隊中

的平均等待時間。

【解】

3600

由題意可知，這是M/M/I系統，到達率2=180輛/小時，服務率〃=300輛

12

/小時。

“出=。.60

JU300

所以系統穩(wěn)定。

系統中沒有車輛的概率

P(0)=l-/?=l-0.6=0.4

系統中有〃輛車的蛻率

P5)=p"(l—0)=0.40.6"

系統中的平均車輛教

絲="=1.5輛

n

\-p0.4

平均排隊長度

q=pn=ii-p=\.5-0.6=0.9桶

l-p

系統中的平均消耗時間

2=—!—，=g小時=30秒

〃一兒A180

排隊中的平均等待時間

11=30-幽

=18秒

M〃一㈤3(X)

三、M/M/N系統

M/M/N系統是指泊松輸入、負指數分布服務、N個服務臺的排隊系統，由于服務的通

道有N條.乂稱為“多通道服務系統*M/M/N系統分為小路排隊多通道眼務系統和多路排

隊多通道服務系統兩類。

1.單路排隊多通道服務系統

指排成一隊等待多條通道服務，隊列中排在首位的客戶可視哪個通道有空就到那里去接

受服務,如圖4/0所示。穩(wěn)定性條件為夕/N<L

附務

圖4-10單路排隊多通道服務

2.多路排隊多通道服務系統

每個通道各排一隊，每個通道只為排在其中的這隊客戶服務，客戶不能調換隊列(圖

4-11),這其實相當于N個M/M/I組成，穩(wěn)定性條件是每個通道的/<1,計算公式也由上

面M/M/1系統給出。

排隊服務

1

OOOOOOO—

-12

>OOOOOOO—

...................................................——N

OOOOOOo—

圖4-“多路排隊多通道服務

單路排隊多通道服務的M/M/N系統，計算公式如卜.：

系統中沒有客戶的概率

P(0)=(4-63)

系統中有-K個客戶的概率

戶(K)=(尸(0)

()<K<N(4-64)

P(K)=-^-—P(O)K>N(4-65)

N!Nj

排隊系統中的平均客戶數

P(0)，“

1(4-66)

NIN.(l-p/W)2.

平均排隊長度

P(0)/“1

(4-67)

N!N(1-p/N)2

系統中的平均消耗時間

(4-68)

排隊中的平均等待時間

(4-69)

【例4-4】

某地鐵站的進站口擁有4臺自動檢票機，假定乘客到達服從泊松分布，丹達率為40人/

分鐘，每人通過自動檢票機的服務時間服從負指數分布，平均耗時3秒。試計算該迸站檢票

系統的服務指標。

【解】

由題意可知，該排隊系統可近似楂擬為單路排隊多通道服務M/M/N系統，且N=4,到

達率2=40人/分鐘，服務率〃=與=20人/分鐘，/=4=2。

由于以=0.5<1,因此系統穩(wěn)定。

N

系統中沒有乘客的概率

/,(0)==0.13

32A24

§￥+4!(1-2/4)

平均乘客數

2?0.13x2$1

+45x4(1-2.4尸人

平均排隊長度

,0.13x2葉1

q=---------------------------=0.2人

4!x4[(1-04)2

系統中的平均消耗時間

1=22=0.055分鐘=3.3秒

40

排隊中的平均等待時間

巾="=0.005分鐘=0.3秒

40

由上述分析可見，該地鐵站的進辦自動檢票機