角的比較與運(yùn)算（教學(xué)設(shè)計）-七年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列（人教版）

4.3.2角的比較與運(yùn)算教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊(以下統(tǒng)稱“教材”)第四章“幾何圖形初步”

4.3.2角的比較與運(yùn)算，內(nèi)容包括：角的大小的比較方法：角A分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量

關(guān)系：度、分、秒的角度的計算.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教版七年級(上冊)第四章第三節(jié)的內(nèi)容.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)角的基本概念、角的度最

以及直線、線段、射線的概念及相關(guān)性質(zhì).這為本節(jié)課的教學(xué)做了知識和思維上的準(zhǔn)備.同時它對學(xué)習(xí)下一

節(jié)余角、補(bǔ)角的概念的理解進(jìn)行了思維上的鋪墊，從而為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面幾何圖形打下了基礎(chǔ).所以本

節(jié)內(nèi)容起到了復(fù)習(xí)舊知識、承接新知識的承上啟下的作用.

基十以上分析?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：比較角的大小，認(rèn)以角的大小關(guān)系，分析角的和差關(guān)系，

認(rèn)識角平分線及畫角平分線.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)掌握角的大小的比較方法.

(2)理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關(guān)系，能夠用幾何語言進(jìn)行相關(guān)表述，并能解答

相關(guān)問題.

(3)會進(jìn)行涉及度、分、秒的角度的計算.

2.目標(biāo)解析

在現(xiàn)實情境中，運(yùn)用類比的方法，學(xué)會比較兩個角的大小，豐富對角的大小關(guān)系的認(rèn)識，會分析圖中

角的和差關(guān)系.通過動手操作，學(xué)會借助三角板拼出不同度數(shù)的角，認(rèn)識角的平分線及角的等分線，會畫角

的平分線.進(jìn)一步培養(yǎng)和提高學(xué)生的識圖能力和動手操作的能力，認(rèn)識類比的數(shù)學(xué)思想方法.能在動手操作

畫圖、拼圖的數(shù)學(xué)活動過程中發(fā)揮積極作用，體驗數(shù)學(xué)活動的成功經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

三、教學(xué)問題診斷分析

七年級學(xué)生剛剛從小學(xué)升入初中，還以形象思維能力為主.遵循這一特點，應(yīng)該充分利月學(xué)生已有的

認(rèn)知基礎(chǔ)和他們已掌握的操作方法和方式，結(jié)合“觀察、比較、操作、發(fā)現(xiàn)”的學(xué)法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生在自

己動手的過程中，利用知識的遷移，把新舊知識聯(lián)系在一起，使學(xué)生抽象思維能力得到發(fā)展.同時教學(xué)時還

應(yīng)該針對不同層次的學(xué)生，給予不同層次的關(guān)注，實現(xiàn)有梯度層次的教學(xué).

基于以上學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：能從圖形中觀察角的和差關(guān)系.

四、教學(xué)過程設(shè)計

（一）情境引入

（二）自學(xué)導(dǎo)航

與線段長短的比較類似，我們可以用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。ǘ攘糠ǎ?

也可以把它們的一條邊疊合在一起，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大?。ǒB合法）

0(0')A(A')

ZAOBNA'O'I"ZAOBNA'O'B'ZAOBNA'O'B'

思考：觀察下邊圖形，圖中共有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？

圖中共有一個角分別是：，

它們的關(guān)系為：

ZAOC=+NBOC,ZA3B=一/BOC,ZAOC-ZAOB=

c

B

0A

（三）考點解析

例i.如圖，回答下列問題:

（1）比較NFOD與NFOE的大小;

⑵借助三角板比較NDOE與/BOF的大小.

AE

解：⑴因為0D在NFOE的內(nèi)部,

所以NFODV/FOE.

⑵用含有45°角的三角板比較,

可得ND0E>45°，NB0FV45。，

所以NDOE>NBOF.

【遷移應(yīng)用】

1.在NAOB的內(nèi)部任取一點C,作射線0C,則一定存在（）

A.ZAOB>ZAOCB.ZAOC=ZBOC

C.ZBOOZAOCD.ZAOOZBOC

2.如圖,NAOF是平角,請你比較NAOB,ZAOC,ZAOD,NAOE四個角的大小.

D

A0F

cB

D-_

0/

2.如圖,NAOB=NCOD,則()

A.Z1>Z2B.Z1=Z2C.Z1<Z2D.Z1與N2的大小無法比較

oc

(四)合作探究

思考：觀察下邊圖形，圖中共有幾個角?它們之間有什么關(guān)系？

圖中共有一個角分別是：____________

它們的關(guān)系為：

ZAOC=________+NBOC,

ZAOB=________-ZBOC,

ZAOC-ZAOB=________.

上

uA

探究：如圖，借助三角尺畫出15°,75°的角，用一副三角尺，你還能畫出哪些度數(shù)的角？試一試.

以4

\\//

【結(jié)論】借助一副三角尺可以畫出15。倍數(shù)的角.

（五）自學(xué)導(dǎo)航

我們知道，線段的中點把線段分成相等的兩條線段.類似地，下圖中，如果NAOB=NBOC,那么射線OB

把NAOC分成兩個相等的角，這時有

ZA0C=2ZA0B=2,ZA0B=ZB0C=^.

一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

三等分線

A

ZA0D=3ZA0B=3ZB0C=3ZC0D,ZA0B=ZB0C=ZC0D=-ZA0D.

3

（六）考點解析

例3.如圖，ZB0D=1ZC0D=15°,0C平分NA0B,求NA0B的度數(shù).

D

解：因為NB0D』NC0D=15°

3

所以/C0D=3/B0D=45",

所以NB0C=NC0D-NB0D=30°

又因為0C平分NAOB,

所以NA0B=2NB0C=60°

【遷移應(yīng)用】

1.如圖，0是直線AB上一點，0C是NA0B的平分線，ZCOD=32°,則NBOD的度數(shù)是

2.如圖，0C是NA0B的平分線,0D是NA0C的平分線,ZC0D=25°，則NAOB等于（）

3.如圖，ZAOB=165°,0D平分NA0C.

(1)若NA0D=50°,則NB0C=______.

⑵若NBOD=11O°,則0C是NBOD的平分線嗎？說明理由.

D

解：(2)0C是NBOD的平分線.

理由:因為NAOB=165°,NB0D=110°,

所以/A0D=NA0B-NB0D=165°-110°=55°.

因為0D平分NAOC,

所以NCOD=NAOD=55°.

所以/BOC:NBOD-NCOD=110°-55°=55°.所以NBOONCOD.

所以0C是NB0D的平分線.

例4.計算：

(1)56°18'+72°48';(2)131°28'-51°32'157;

(3)12°30'20〃X2;(4)12°31'21”+3.

解:(1)56°18'+72°48'=128°66'=12906';

(2)131°28'-51°32'15”

=130°87'60〃-51°32'15〃

=79°55745〃；

(3)12°30'20"X2

=24°60'40"

=25°40〃；

(4)12°31'21"4-3

=4°+31'21〃4-3

=4010'+81〃+3

=4010'27〃.

【遷移應(yīng)用】

1.如圖，（）是直線AB上一點，0D是NB0C的平分線，ZA0C=46°38',則NBOD的度數(shù)為

cD

AOB

2.計算:

(1)48°39'+67°31'-21°17';(2)23°53'X3-107°43'4-5.

解：(1)48°39'+67°31'-21°17'

=116°10z-21017

=94°53'.

(2)23°53'X3-107°43'4-5

=71°39z-21°32'36"

=50°6,24〃.

,ZC0D=90°,0E為NB0D的平線，ZB0E=15°,求NA0D和/BOC的度數(shù).

快思路分析

已知(BOE=15。龜平分線，乙BOD=2乙BOE

乙A()D=^A()B+乙BOD

求解

乙BOC—乙COD-乙BOD

解：因為0E為/BOD的平分線，ZB0E=15°,

所以NB0D=2NB0E=30°,

所以NA0D=NA0B+/B0D=900+30°=120°，ZB0C=ZC0D-ZB0D=90°-30°=60°.

【遷移應(yīng)用】

如圖,直線AB,CD相交于點0,0E平分/AOD,ZC0F=90°,ZB0F=40°,求NA0C和/DOE的度數(shù).

ED

AB

O

CF

解：囚為/AOC十/COF十/BOF=180°,ZC0F=900,

ZB0F=40°,

所以NA0C=180°-ZC0F-ZB3F=180°-90°-40°=50°

因為/A0C+NA()I)=180°

所以NA0D=180°-ZA0C=180°-50°=130°

因為0E平分NAOD,

所以/D0E』NA0D=65°

例6.如圖，已知射線0C在/AOB的內(nèi)部，0M和0N分別平分NAOC和NB0C.

(1)若NA0C=50°,ZB0C=30°,求NM0N的度數(shù);

(2)探究NM0N與NA0B的數(shù)量關(guān)系.

解：⑴因為0M,0N分別平分NAOC,ZB0C,

所以/Cm^NAOC，ZCON4ZBOC.

因為NA0C=50°,ZB0C=30°,

所以NC0M=25°,ZC0N=15°

所以NM0N=NCOM+/C()N=4()。.

⑵因為0M,ON分別平分NA9C和NB0C,

所以NC。吟NAOC,NCON*BOC.

所以/UON=NCOM+/CONm/AOC+tNBOC

力(ZAOC+ZBOC)=|ZAOB.

【遷移應(yīng)用】

1.如圖，OB,0C是NAOD內(nèi)部的兩條射線，0M平分/AOB,ON平分NCOD,NM0N=80°.

(1)若NB0040°,則NA0D的度數(shù)為；

⑵若NA0D=x°,則NB0C的度數(shù)為___________.

(用含x的式子表示)

2.如圖，OE,0D分別平分NA0C和NB0C.

(1)若NA0B=90。，ZB0C=38°,求ND0E的度數(shù);

⑵若NAOB=a,ZB0C=3(ZAOB,NBOC均為銳角，且a>B),其他條件不變，求NDOW的度數(shù);

⑶從(1)(2)的結(jié)果中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請寫出來.

解：(1)因為NA0B=90°,NB3C=38°

所以NA0C=/A0B+NB0C=90°+38°=128°.

因為0E,()1)分別平分NAOC知NBOC,

所以/0)￡弓/八001乂128°=64°

ZC0D=-ZB()C=-X38o=19°

22

所以ND0E=/C0E-NC()D=64°-19°=45°

(2)因為NA0B=a,ZBOC=3,

所以NAOONAOB+NBOC=a+B.

因為UE,01)方＞另lj平方＞NAOC利NBUC,

所以NCOE=1/AOC=1(a+B),

NCO嗎NBOC=1B.

所以NDOE=NCOEZ()*(a+B)T*a.

(3)ZDOE的大小是NAOB的大小的一半，與NBOC的大小無關(guān).

例7.如圖，已知0B是/AOC的平分線,0D是NCOE的平分線，如果NA0E=140°,NBOC比NCOD的2

倍還多10°,求NAOB的度數(shù).

快思路分析

ZCOD=ZDOE=x0,

設(shè)未知量??

NBOC=N/IOB=(2x+10)0

建立等量入

o

關(guān)系ZCOE+Z,4(9C=140

列方程》2x+4x+20=140

解:設(shè)NCOD的度數(shù)為X。.

因為0D是NCOE的平分線，

所以NC0E=2NC0D=(2x)°.

因為/BOC比NCOD的2倍還多10°,

所以NB0C=(2x+10)。.

因為0B是NAOC的平分線，

所以/AOB=NBOC,ZA0C=2ZB0C=(4x+20)°.

因為NA()E=14()°,ZAOE=ZCOE+ZA()C,

所以2x+4x+20=140,

解得x=20,

所以NAOB=NBOC=(2x+10)°=50°.

所以NAOB的度數(shù)是50°.

【遷移應(yīng)用】

1.如圖，已知NA0C:NB0C=l:4,0D平分NAOB,且NC0D=33°,求NAOB的度數(shù).

解：因為NAOC:NBOC=1:4,

所以NB0C=4NA()C.

設(shè)NAOC=x°,則NB0C=(4x)°,

所以NAOB=NA0C+NB0C=(5x)°.

因為0D平分NAOB,

所以NAOD」NAOB=(三X)。，

22

所以ZCOD=ZAOD-ZAOC=(1x)°.

又NCOD=33°,所以］:33,所以x=22,所以NAOB=5X22°=110°.

2.如圖，ZA0C:ZC0D:ZD0B=2:3:4,0M平分NAOC,ON平分NDOB,且NM0N=90°，求NAOB的度數(shù).

解：因為NAOC:NCOD:NDOB=2:3:4,

所以設(shè)NAOC=(2x)°,ZCOD=(3x)°,ZDOB=(4:x)°,

則NA0B=N.AOC+NCOD+NDOB=(2x)0+(3x)°+(4x)°

=(9x)°.

因為OM平分NAOC,ON平分/DOB,

所以NMOC，NAOC=x°,ZN0D=^ZD0B=(2x)°,

7?

所以ZMON=ZMOC+ZCOD+ZNOD