大學(xué)《線性代數(shù)》章節(jié)練習(xí)題及答案解析

大學(xué)《線性代數(shù)》章節(jié)練習(xí)題及答案解析練習(xí)1.1（1.1矩陣及其運(yùn)算）一、填空1．若，則（1） ； （2）.2.若矩陣滿足，則3.；二、設(shè),，問(wèn)：1.嗎?2.嗎?3.嗎?三、計(jì)算下列乘積：1．； 2．.四、設(shè)，，求.五、設(shè)，求.練習(xí)1.2（1.2行列式及其計(jì)算）一、填空1．；；2．四階行列式中含有因子的項(xiàng)為；3．；.二、證明:.三、計(jì)算下列各行列式（為階行列式）:1.，其中對(duì)角線上元素都是，未寫出的元素都是0；2.；3．；4．；5．，其中.練習(xí)1.3（1.3方陣的逆）一、填空題1．設(shè)為4階矩陣，且，則=．2．設(shè)，則=，=.3．已知矩陣滿足，則.二、計(jì)算題1．設(shè)，求；2．設(shè)，求.三、設(shè)的伴隨矩陣，且，其中為4階單位矩陣，求矩陣.四、證明題1．設(shè)方陣滿足，證明都可逆，并求.2．若為同階可逆矩陣，則.練習(xí)1.4（1.4Gramer法則）一、填空1．，齊次線性方程組有非零解？(或)齊次線性方程組有非零解，則.(或)二、利用克拉默法則解下列線性方程組：1．2．解,,,,,,第二章矩陣的初等變換與線性方程組2.1-2.3初等變換與初等矩陣、逆矩陣一、用初等變換將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形:1．； 2．； 3．.解：利用矩陣的等價(jià)的階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)階梯形矩陣及標(biāo)準(zhǔn)型的非零行行數(shù)不變的性質(zhì)，用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，只需化到階梯形矩陣，求得非零行行數(shù)即可寫出其標(biāo)準(zhǔn)型。1.非零行行數(shù)為2，所以其標(biāo)準(zhǔn)型為；2.，其對(duì)應(yīng)的階梯形矩陣的非零行行數(shù)為3，所以其標(biāo)準(zhǔn)型為3.類似于以上做法，易得對(duì)應(yīng)的階梯形矩陣的非零行行數(shù)為3所以其標(biāo)準(zhǔn)型為：二、填空題1．設(shè)為4階矩陣，且，則=．解：，得2．設(shè)，則=，=解：令，，，3．設(shè)方陣滿足：，其中，為單位矩陣，為伴隨矩陣，則=解：因?yàn)椋匀?、?jì)算題1．設(shè)，求.解：，2．設(shè)，求.解：,可知，（利用伴隨矩陣法，可得逆矩陣如下）3．已知矩陣滿足,求.解：即：四、設(shè)的伴隨矩陣，且，其中為4階單位矩陣，求矩陣.解：，又知，所以，，五、證明題1．設(shè)方陣滿足，證明都可逆，并求.解：由A2–A–2E=0，得A(A–E)=2E。故A可逆，且A–1=(A–E)。又由A2–A–2E=0得A+2E=A2，而A可逆。故A+2E可逆，且(A+2E)–1=(A2)–1=(A–1)2=(A–E)2。2．若為同階可逆矩陣，則.證明：因?yàn)榧?，左乘，得，又因?yàn)?，所以，?.4矩陣的秩一、證明同型矩陣與等價(jià)的充分必要條件是它們的秩相等.證明：設(shè)A、B的標(biāo)準(zhǔn)型為分別二、求下列矩陣的逆矩陣1．； 2．； 3．.解：用初等行變換法求逆矩陣三、求的秩解：，故(A)=3。四、設(shè)，當(dāng)取何值時(shí)，；當(dāng)取何值時(shí)，.解：故，k≠17時(shí)，R(A)=3，k=17時(shí)，R(A)=2<3。2.5線性方程組有解的判定定理一、判斷下列線性方程組是否有解，并在有解時(shí)求解1．； 2．；3．.解：第二章自測(cè)題一、選擇題1．設(shè)， ， ，，則必有（D）.（A） （B） （C） （D）2．設(shè)， ， ，，則（A）.（A） （B）（C） （D）3．當(dāng)時(shí)，.（A） （B）（C） （D）解：選B4．設(shè)均為階非零矩陣，且，則它們的秩滿足（ ）.（A）必有一個(gè)等于零 （B）都小于（C）一個(gè)小于，一個(gè)等于 （D）都等于解：選Ｂ二、填空題1．；2．設(shè)，則；3．設(shè)，則與乘積可交換的矩陣.4．設(shè)，且，則=三、求的秩.四、設(shè)為三階方陣，其逆矩陣為，求的伴隨矩陣.五、問(wèn)為何值時(shí)，方程組有唯一解，求出唯一解；無(wú)解；有無(wú)窮多解.六、設(shè)矩陣，矩陣滿足，試求矩陣.解：由AX+E=A2+X，得(A–E)X=A2–E，而A–E可逆，故X=A+E=第三章3.1-3.2維向量空間一、選擇題:1．設(shè)，則=（D ）時(shí)，有為的基（A） （B） （C） （D）解：2．已知中的向量，則在下的坐標(biāo)是（ A）.（A） （B） （C） （D）解：3．下列集合構(gòu)成的向量空間中，維數(shù)是的是（ B）.（A）偶數(shù)號(hào)碼的坐標(biāo)相等的所有維向量（B）偶數(shù)號(hào)碼的坐標(biāo)等于0的所有維向量（C）偶數(shù)號(hào)碼和奇數(shù)號(hào)碼的坐標(biāo)分別相等的所有維向量（D）形如的所有維向量，其中為任意數(shù)解：二、驗(yàn)證為的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示．解：作矩陣A=[12312]=故1，2，3為R3的一組基，且1=21+32–32=31–32–23三、設(shè)向量空間由生成，試求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．解：先正交化：設(shè)1=1=(1,0,–1,1)T2=2–=(1,–1,0,1)T–(1,0,–1,1)T=3=3–=(–1,1,1,0)T–(1,0,–1,1)T–T=(–1,1,1,0)T+(1,0,–1,1)T+T=T=T再對(duì)以上向量標(biāo)準(zhǔn)化，得標(biāo)準(zhǔn)正交基為(1,0,–1,1)T(1,–3,2,1)T(–1,3,3,4)T四、試用向量?jī)?nèi)積的柯西—許瓦爾茲不等式證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，成立．證：設(shè)=(|1|，|2|，…，|n|)T=(1,1,…)T由柯面一許瓦爾茲不等式知即五、設(shè)向量組B：能由向量組A：線性表示為其中為矩陣，且組線性無(wú)關(guān).證明：B組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩..3.3線性方程組的解一、求解下列齊次線性方程組:1． 2．3．二、求解下列非齊次線性方程組:1． 2． 3．三、取何值時(shí)，線性方程組有非零解，并求解．四、設(shè)，問(wèn)為何值時(shí)，此方程組有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求解．五、設(shè)，求使．自測(cè)題（第三章）一、填空題（3×4=12分）:1．設(shè)為3階非零矩陣，且，則=．解：，且（非零陣）的每一列向量都是方程組的解，知有非零解，所以，得t=－3.2．已知方程組有無(wú)窮多個(gè)解，則=．解：3．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換化為，則方程組的解為．4．已知線性方程組的兩個(gè)解為，則該方程組的全部解為．二、選擇題（4×3=12分）:1．設(shè)是階實(shí)矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組（I）：和（II）：必有（A）.（A）（II）的解是（I）的解，（I）的解也是（II）的解（B）（II）的解是（I）的解，但（I）的解不是（II）的解（C）（I）的解不是（II）的解，（II）的解也不是（I）的解（D）（I）的解是（II）的解，但（II）的解不是（I）的解2．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在3階非零矩陣，使，那么（C）.（A）且 （B）且（C）且 （D）且3．設(shè)是階矩陣，是維向量，若，則線性方程組（D）.（A）必有無(wú)窮多解 （B）必有唯一解（C）僅有零解 （D）必有非零解三、計(jì)算題（10×3=30分）:求齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解．解：一個(gè)基礎(chǔ)解系數(shù)為，，通解為x=。2．求非齊次方程組的通解．解：通解為3．已知4元非齊次線性方程組的3個(gè)解向量為，其中，，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，求該非齊次線性方程組的通解．解：由，得，于是，為對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)所系，于是非齊方程組的通解為x=k。四、綜合題（12×2=24分）:1．設(shè)3階方陣（非零陣）的每一列向量都是方程組的解，（1）求的值；（2）求證．解：設(shè)，，且（非零陣）的每一列向量都是方程組的解，知有非零解，所以，得假設(shè)，則可逆，對(duì)的兩邊右乘，得，與Ａ不似零矩陣矛盾，所以原假設(shè)不成立，證得。2．已知齊次線性方程組（I），齊次線性方程組（II）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，求（I）、（II）的公共非零解，并指明該公共非零解如何由（I）、（II）的基礎(chǔ)解系線性表示．解：方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為設(shè)k11+k22=k31+k42即而的秩為4，故k1=k2=k3=k4=0，即兩個(gè)齊次方程組無(wú)公共非零解。五、證明題（11×2=22分）:1．設(shè)和為階方陣，試證方程組與有完全相同的解．證明：若R(AB)=R(B)，則ABX=0與BX=0有相同維數(shù)的解空間，而B(niǎo)X=0的通解顯然是ABX=0的解，故BX=0的基礎(chǔ)解系亦為ABX=0的基礎(chǔ)解系數(shù)，即ABX=0與BX=0同解。若ABX=0與BX=0有完全相同的解，則它們的解空間的維數(shù)相同，故R(AB)=R(B)。2．設(shè)線性方程組(I)和(II)，其中為在行列式中的代數(shù)余子式，不全為零，試證：方程組(I)有唯一解的充要條件是方程組(II)有唯一解．證明：設(shè)A=，則此題本質(zhì)上要證|A|≠0|(A*)T|≠0，而AA*=|A|E，由此可推出結(jié)論|A*|=|A|n–1，所以結(jié)論顯然。4.1.1正交矩陣與正交變換同步練習(xí)參考答案一、1、的列（行）向量組是正交單位向量組，或,或(或)為正交矩陣。2、或3、0二、是三、略四、略一、1、0，<，非零；2、，6，11，18；3、；4、-3，0．二、CB三、不為零；不為零；不為零.四、．五、略．六、略．4.2.1相似矩陣與矩陣可對(duì)角化的條件同步練習(xí)參考答案一、1、；2、；3、24．二、ABA三、（1）-4，-6，-12；（2）（3）-288；（4）72.四、．五、解：（1）