湖南省汨羅市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

湖南省汨羅市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時(shí)，均從一片荷葉跳到另一片荷葉），而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在荷葉上，則跳三次之后停在荷葉上的概率是（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx3．若一個(gè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為1，且其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．4．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示．則有（）A．B．C．D．5．正邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值是（）A． B． C． D．6．函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值為2，的取值范圍是A． B． C． D．7．4名學(xué)生報(bào)名參加語、數(shù)、英興趣小組，每人選報(bào)1種，則不同方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種8．設(shè)函數(shù)，，若存在唯一的整數(shù)，使，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)，則（）A． B． C． D．10．若，則等于（）A． B． C． D．11．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的最小值是（）.A．-1 B． C． D．12．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)為，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．9千臺(tái) B．8千臺(tái) C．7千臺(tái) D．6千臺(tái)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（1，0，1），N（-1，1，2），則線段MN的長(zhǎng)度為____________14．已知橢圓：與雙曲線：的焦點(diǎn)重合，與分別為、的離心率，則的取值范圍是__________.15．已知正整數(shù)n，二項(xiàng)式的展開式中含有的項(xiàng)，則n的最小值是________16．若，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽將在俄羅斯拉開帷幕.為了了解喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）在不喜愛足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.18．（12分）已知(a∈R).（1）當(dāng)時(shí),判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；（2）若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值；（3）若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立，試求19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（Ⅰ）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程并預(yù)測(cè)該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（Ⅱ）交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系，得到如下列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計(jì)駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計(jì)302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)？參考公式：，，（其中）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）某小組共有10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).（I）設(shè)為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件發(fā)生的概率；（II）設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程.22．（10分）已知橢圓的離心率為，其中左焦點(diǎn).（1）求出橢圓的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在曲線上，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)條件先求出逆時(shí)針和順時(shí)針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A，則應(yīng)滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)按照順時(shí)針跳的概率為p，則逆時(shí)針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1，解得p=，即按照順時(shí)針跳的概率為，則逆時(shí)針方向跳的概率為，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，①若先按逆時(shí)針開始從A→B，則對(duì)應(yīng)的概率為××=，②若先按順時(shí)針開始從A→C，則對(duì)應(yīng)的概率為××=，則概率為+==，故選：C.本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可，利用在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),即可判斷A選項(xiàng)不滿足題意，令，即可判斷其在遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則即可判斷B選項(xiàng)滿足題意對(duì)于C,D，由初等函數(shù)性質(zhì)，直接判斷其不滿足題意.【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),所以y（3x﹣3﹣x）在R上為增函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，，所以是奇函數(shù)，令，則由，兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成又，它在上單調(diào)遞增所以既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)，符合題意，對(duì)于C，y＝x﹣1是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，但它在（﹣1，1）上不是減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，y＝tanx為正切函數(shù)，是奇函數(shù)，但在（﹣1，1）上是增函數(shù)，不符合題意；故選：B．本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則及初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題。3、B【解析】

根據(jù)題意畫出其立體圖形.設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點(diǎn),利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為1,且每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于能想象出空間圖形,并能準(zhǔn)確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點(diǎn)．4、A【解析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對(duì)稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭，選A．5、A【解析】分析：建立直角坐標(biāo)系后求出各點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示詳解：如圖：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于為軸則，，設(shè)，則點(diǎn)軌跡為由可得：故當(dāng)時(shí)，故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是平面向量的基本定理．設(shè)不共線的兩個(gè)向量為基底，求參量和的最值，本題的解法較多，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，求交點(diǎn)坐標(biāo)建立數(shù)量關(guān)系，也可以用等和線來解．6、C【解析】

本題利用數(shù)形結(jié)合法解決，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，最小，最小值是2，當(dāng)時(shí)，，欲使函數(shù)在閉區(qū)間，上的上有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍要大于等于1而小于等于2即可．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，最小，最小值是2，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在閉區(qū)間，上上有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．本題考查二次函數(shù)的值域問題，其中要特別注意它的對(duì)稱性及圖象的應(yīng)用，屬于中檔題．7、B【解析】

直接根據(jù)乘法原理計(jì)算得到答案.【詳解】每個(gè)學(xué)生有3種選擇，根據(jù)乘法原理共有種不同方法.故選：.本題考查了乘法原理，屬于簡(jiǎn)單題.8、C【解析】

先確定是唯一整數(shù)解,再通過圖像計(jì)算得到范圍.【詳解】是函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增.存在唯一的整數(shù)，使取，，滿足，則0是唯一整數(shù).恒過定點(diǎn)如圖所示：

即綜上所訴：故答案選C本題考查了函數(shù)的圖像，函數(shù)的單調(diào)性，首先確定0是唯一解是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)定義可求得結(jié)果.【詳解】，.故選：.本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

中最大的數(shù)為，包含個(gè)數(shù)據(jù)，且個(gè)數(shù)據(jù)是連續(xù)的正整數(shù)，由此可得到的表示.【詳解】因?yàn)?，所以表示從連乘到，一共是個(gè)正整數(shù)連乘，所以.故選：D.本題考查排列數(shù)的表示，難度較易.注意公式：的運(yùn)用.11、A【解析】

先根據(jù)的單調(diào)性確定出最小值從而確定出的值，再由不等式即可得到的范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的，且有零點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，或，所以，所以，所以，（2）當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，所以，綜上可知：，所以.故選：A.本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)以及根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求解參數(shù)范圍，屬于綜合性問題，難度較難.其中處理二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題，除了直接分析還可以采用畫圖象的方法進(jìn)行輔助分析.12、B【解析】

根據(jù)題意得到利潤(rùn)關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量，即可求解出答案。【詳解】設(shè)利潤(rùn)為萬元，則，，令，得，令，得，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，故為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺(tái)．選B.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來解決實(shí)際問題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算．【詳解】．故答案為．本題考查空間兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由兩曲線焦點(diǎn)重合，得出的關(guān)系，再求出，由剛才求得的關(guān)系式消元后得，令，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性可得范圍．其中要注意變量的取值范圍，否則會(huì)出錯(cuò)．【詳解】因?yàn)闄E圓：與雙曲線：的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：和，它們的焦點(diǎn)重合，則,所以，∴，，另一方面，令，則，，于是，所以故答案為：本題考查橢圓與雙曲線的離心率問題，利用焦點(diǎn)相同建立兩曲線離心率的關(guān)系，再由函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍．為了研究函數(shù)的方便，可用換元法簡(jiǎn)化函數(shù)．15、4.【解析】分析：根據(jù)二項(xiàng)式呃展開式得到第r+1項(xiàng)為，，對(duì)r,n賦值即可.詳解：二項(xiàng)式的展開式中第r+1項(xiàng)為則，當(dāng)r=1時(shí)，n=4。故答案為：4.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，在做二項(xiàng)式的問題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等.16、8【解析】

根據(jù)題意對(duì)進(jìn)行換元，然后利用基本不等式的推廣公式求解出目標(biāo)的最小值。【詳解】解：令，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.本題考查了基本不等式推廣公式的使用，運(yùn)用基本不等式推廣公式時(shí)，一定要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析；(2).【解析】分析：讀懂題意，補(bǔ)充列聯(lián)表，代入公式求出的值，對(duì)照表格，得出結(jié)論；（2）根據(jù)古典概型的特點(diǎn)，采用列舉法求出概率。詳解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：由列聯(lián)表知故可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）由分層抽樣知，從不喜愛足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中抽取6人，其中男性有人，女性有人.記男性觀眾分別為，女性觀眾分別為，隨機(jī)抽取2人，基本事件有共15種記至少有一位男性觀眾為事件，則事件包含共9個(gè)基本事件由古典概型，知點(diǎn)睛：本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用以及古典概型，屬于中檔題。解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的三個(gè)步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）計(jì)算的值；（3）查值比較的值與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷。18、（1）見解析；（2）a=-e【解析】分析：（1）f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）由（1）根據(jù)a的取值范圍分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a；（3）由fx<x2?詳解：(1)由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．(2)由(1)可知，f′(x)＝.①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)．③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，當(dāng)1<x<－a時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數(shù)；當(dāng)－a<x<e時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.綜上所述，a＝－.(3)∵f(x)<x2，∴l(xiāng)nx－<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝.∵x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數(shù)．g(x)<g(1)＝－1，∴當(dāng)a≥－1時(shí)，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．故a的取值范圍是[－1，＋∞)．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實(shí)數(shù)取值范圍的求法，解題時(shí)認(rèn)真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.19、（Ⅰ）66人；（Ⅱ）能.【解析】

（I）利用所給數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程，令即可得出答案。（Ⅱ）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出觀測(cè)值，與臨界值比較即可?！驹斀狻浚↖）利用所給數(shù)據(jù)，計(jì)算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（120+105+100+90+85）＝100；==＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；∴與之間的回歸直線方程；當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測(cè)該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員有66人；（II）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，由此能判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)．本題考查線性回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查學(xué)生的理解計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題。20、（I）；（II）.【解析】

（I）和為4次有兩種情況，一個(gè)是1次一個(gè)是3次與兩個(gè)都是2次；（II）隨機(jī)變量的所有可能取值有三種，為0,1,2，分別求出其概率即可求解.【詳解】（I）由已知得