江西省吉安市四校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

江西省吉安市四校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系如下表，由此得到與的線性回歸方程為，由此可得：當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（）245683040605070A．-10 B．0 C．10 D．202．已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形3．隨著現(xiàn)代科技的不斷發(fā)展，通過(guò)手機(jī)交易應(yīng)用越來(lái)越廣泛，其中某群體的每位成員使用微信支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用微信支付的人數(shù)，已知方差，，則期望（）A．4 B．5 C．6 D．74．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)變形正確的是（）A． B．C． D．5．已知拋物線的參數(shù)方程為，若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為A． B． C．8 D．46．“x2-4x>0”是“x>4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要7．已知，若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．8．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A．-10 B．20 C．-40 D．509．一車間為規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了4次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下零件數(shù)（個(gè)）2345加工時(shí)間（分鐘）264954根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（）A．37.3 B．38 C．39 D．39.510．把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A． B．C． D．11．某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A．72 B．120 C．144 D．16812．定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．______.14．設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列是：012則當(dāng)變化時(shí)，的極大值是__________．15．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則_____________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的方程為_(kāi)____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（其中）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.18．（12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中.（1）若展開(kāi)式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，試求的值和常數(shù)項(xiàng).19．（12分）（江蘇省南通市高三最后一卷---備用題數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．21．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知求得的值，得到，求得線性回歸方程，令求得的值，由此可求解結(jié)論.【詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，所以，所以，取，得，所以隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為，故選C.本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及殘差的求法，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】分析：根據(jù)題意利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)得到A=B，即可確定出三角形形狀．詳解：設(shè)已知方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC為等腰三角形．故選B．點(diǎn)睛：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識(shí)有：根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．3、A【解析】

服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算出的可能值，再根據(jù)，確定的值，再利用均值計(jì)算公式計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)?，所以或，又因?yàn)?，則，解得，所以，則.故選：A.二項(xiàng)分布的均值與方差計(jì)算公式：，.4、A【解析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除，當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答案為A考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法5、C【解析】分析：先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去，根據(jù)韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知求得答案．詳解：拋物線的參數(shù)方程為，普通方程為，拋物線焦點(diǎn)為，且直線斜率為1，

則直線方程為，代入拋物線方程得，設(shè)根據(jù)拋物線的定義可知|，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查．關(guān)鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可求得|AB|值，從而解決問(wèn)題．6、B【解析】

求出x2-4x>0的【詳解】x2因此x2-4x>0是故選B．本題考查充分必要條件的判斷，充分必要條件隊(duì)用定義判定外還可根據(jù)集合之間的包含關(guān)系確定．如p對(duì)應(yīng)集合是A，q對(duì)應(yīng)集合是B，則A?B?p是q的充分條件?q是p的必要條件．7、B【解析】

通過(guò)各項(xiàng)系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為B.本題主要考查二項(xiàng)式定理，注意各項(xiàng)系數(shù)之和和二項(xiàng)式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度不大.8、C【解析】分析：根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)求的系數(shù).詳解：由題得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為令5-r=2,則r=3,所以的系數(shù)為故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本計(jì)算能力.(2)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式：（）.9、C【解析】

求出，代入回歸方程，即可得到實(shí)數(shù)的值。【詳解】根據(jù)題意可得：,，根據(jù)回歸方程過(guò)中心點(diǎn)可得：，解得：；故答案選C本題主要考查線性回歸方程中參數(shù)的求法，熟練掌握回歸方程過(guò)中心點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。10、C【解析】取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.11、B【解析】分兩類，一類是歌舞類用兩個(gè)隔開(kāi)共種，第二類是歌舞類用三個(gè)隔開(kāi)共種，所以N=+=120.種．選B.12、D【解析】試題分析：由可得：，所以函數(shù)的周期，又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因此，，所以。考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式.【詳解】原式.故答案為：本小題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】分析：先求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求極大值.詳解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的極大值是.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.15、【解析】

利用概率之和為求得的值.解，求得的值，將對(duì)應(yīng)的概率相加求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)，解得.解得或，故所求概率為.本小題主要考查分布列的概率計(jì)算，考查含有絕對(duì)值的方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意計(jì)算出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線知識(shí)求出的值，即可得到漸近線方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的半焦距，解得，故其漸近線方程為，即.本題考查了求雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意分別計(jì)算出焦點(diǎn)坐標(biāo)和的值，然后可得漸近線方程，較為基礎(chǔ)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（i）（ii）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）將代入解析式，并求得導(dǎo)函數(shù)及，由求得極值點(diǎn)并判斷出單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性可求得的最小值，由即可證明在上單調(diào)遞增，從而由即可證明不等式成立；（Ⅱ）（i）由極值點(diǎn)意義可知有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，并求得，分類討論的符號(hào)及單調(diào)情況，即可確定的最小值，進(jìn)而由函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況確定的取值范圍；（ii）由（i）中的兩個(gè)交點(diǎn)可得，代入解析式并求得且令，分離參數(shù)可得并代入中，求得，從而證明在上單調(diào)遞增，即可由單調(diào)性證明不等式成立.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，由解得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，原不等式得證.（Ⅱ）（i）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)根，又顯然不是方程的根，所以方程有兩個(gè)根.令，，當(dāng)時(shí)，，且，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，且，，用直線截此圖象，所以當(dāng)，即時(shí)滿足題意.（ii）證明：由（i）知，，∴，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.原題得證.本題考查了由導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)和最值的綜合應(yīng)用，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，函數(shù)極值點(diǎn)與零點(diǎn)、函數(shù)圖像交點(diǎn)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，屬于難題.18、（1）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6和第7項(xiàng)，，（2），常數(shù)項(xiàng)為【解析】

（1）根據(jù)條件求出的值，然后判斷第幾項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，并求之；（2）常數(shù)項(xiàng)其實(shí)說(shuō)明的指數(shù)為，根據(jù)這一特點(diǎn)，利用項(xiàng)數(shù)與第幾項(xiàng)的關(guān)系求解出的值.【詳解】解：（1）由已知整理得，顯然則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6和第7項(xiàng)（2）設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，為整數(shù)，則有，所以，或當(dāng)時(shí)，；時(shí)，（不合題意舍去），所以常數(shù)項(xiàng)為對(duì)于形如的展開(kāi)式，展開(kāi)后一共有項(xiàng)，若為奇數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有項(xiàng)，分別為項(xiàng)，為若為偶數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有項(xiàng)，即為項(xiàng)（也可借助楊輝三角的圖分析）.19、(1).(2).(3).【解析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，是方程的兩個(gè)不等正根，韋達(dá)定理得到關(guān)系，將化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；（3）將恒成立問(wèn)題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，分類討論，求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，且，故所以函數(shù)在處的切線方程為（2）由，可得因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)不等正根，即的兩個(gè)不等正根為所以，即所以令，故，在上單調(diào)遞增，所以故得取值范圍是（3）據(jù)題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立.令，則①若，當(dāng)時(shí)，，故符合題意；②若，（i）若，即，則，在上單調(diào)贈(zèng)所以當(dāng)時(shí)，，故符合題意；（ii）若，即，令，得（舍去），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，與題意矛盾，所以不符題意.③若，令，得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減.首先證明：要證：，即要證：，只要證：因?yàn)椋裕仕云浯巫C明，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都成立令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，則所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都成立所以當(dāng)時(shí)，即，與題意矛盾，故不符題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，涉及到的解題思想是分類討論，注意思路清晰是解題的關(guān)鍵.20、（1），，；（2），證明見(jiàn)解析【解析】

（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項(xiàng)公式（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即由（1）知即證當(dāng)時(shí)命題成立；由①②可證成立.本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項(xiàng)公式.21、(1).(2).【解析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，求出，D，M四點(diǎn)的坐標(biāo)寫出對(duì)于的向量坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的夾角公式求解即可；（2）先根據(jù)坐標(biāo)系求