江蘇吳江青云中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

江蘇吳江青云中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足，函數(shù).若函數(shù)與的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，記作，則的值為A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)()有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)()，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線,則的圖象的頂點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A． B． C． D．6．已知：，且，，則A． B． C． D．7．在等差數(shù)列中，，則為（）A．2 B．3 C．4 D．58．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．9．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．與的值有關(guān)10．集合，那么（）A． B． C． D．11．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)12．直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為____________．14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，則__________．15．若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為_____16．若的展開式中的第項(xiàng)等于，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知過點(diǎn)的橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上的任意一點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).若是的極值點(diǎn).(1)求在上的最小值；(2)若不等式對任意都成立,其中為整數(shù),為的函數(shù),求的最大值.20．（12分）已知在上有意義，單調(diào)遞增且滿足.(1)求證：；(2)求的值；(3)求不等式的的解集21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為棱的中點(diǎn)，，，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知，使不等式成立.（1）求滿足條件的實(shí)數(shù)t的集合T；（2），使不等式成立，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：根據(jù)題意求解，的對稱中心點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，即兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的關(guān)系，即可解得答案詳解：函數(shù)滿足，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱函數(shù)即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱函數(shù)與的圖象共有個(gè)交點(diǎn)即在兩邊各有個(gè)交點(diǎn)，則共有組，故，故選點(diǎn)睛：本題結(jié)合函數(shù)的對稱性考查了函數(shù)交點(diǎn)問題，在解答此類題目時(shí)先通過化簡求得函數(shù)的對稱中心，再由交點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合圖像左右各一半，然后求和，本題有一定難度，解題方法需要掌握。2、B【解析】

函數(shù)()有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，即為在上有兩個(gè)不同的解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)()有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不同的解，即2ax＋ex＝0在上有兩解，即直線y＝－2ax與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象相切，切點(diǎn)為(x0，y0)，作函數(shù)y＝ex的圖象，因?yàn)閯t，所以，解得x0＝1，即切點(diǎn)為(1，e)，此時(shí)k＝e，由圖象知直線與函數(shù)y＝ex的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有即－2a＞e，解得a＜，故選B.本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的問題，解決此類問題的方法是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再通過數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題．3、A【解析】

設(shè)，則，由圖可知，從而可得頂點(diǎn)在第一象限.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過原點(diǎn)，所以可設(shè)，，由圖可知,，則函數(shù)的頂點(diǎn)在第一象限，故選A.本題主要考查導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，考查了直線與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來判斷即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，若，不能推出，不滿足充分性；當(dāng)，則，有，滿足必要性；所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．本題考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的情況，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?，故第一步?yīng)驗(yàn)證的情況，即.故選：.本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的理解和掌握.6、C【解析】分析：由題目條件，得隨機(jī)變量x的均值和方差的值，利用即可得出結(jié)論．．詳解：由題意，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題，正態(tài)分布涉及到連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度，是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，也是自然界最常見的一種分布．7、A【解析】

由等差數(shù)列性質(zhì)，得，問題得解.【詳解】是等差數(shù)列，，，解得.故選：A本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

化簡二項(xiàng)式的展開式，令的指數(shù)為零，求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，故常數(shù)項(xiàng)為，故選C.本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得，從而求出即可.詳解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線的對稱軸是，，而與關(guān)于對稱，由正態(tài)曲線的對稱性得：，故.故選：A.點(diǎn)睛：解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.10、D【解析】

把兩個(gè)集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．本題考查學(xué)生理解并集的定義掌握并集的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，屬基礎(chǔ)題．11、A【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),求使得導(dǎo)函數(shù)小于零的自變量的范圍，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間.【詳解】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(0，1).故答案為A.這個(gè)題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0，解得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間；注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間的形式.12、B【解析】分析：由于已知曲線函數(shù)中含有絕對值符號，將x以0為分界進(jìn)行分類討論，當(dāng)x≥0時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)x<0時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，進(jìn)而在坐標(biāo)系中作出直線與曲線的圖像，從而可得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，詳解：當(dāng)x≥0時(shí)，方程化為；當(dāng)x<0時(shí)，化為，所以曲線是由半個(gè)雙曲線和半個(gè)橢圓組成的圖形，結(jié)合圖像可知，直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2故答案選B點(diǎn)晴：本題主要考查了學(xué)生對直線與圓錐曲線相交的掌握情況，熟練掌握橢圓，雙曲線的區(qū)別，然后利用數(shù)形結(jié)合即可解決本題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：因?yàn)椋瑘A錐的側(cè)面積為，底面積為，所以，解得，，所以，該圓錐的體積為．考點(diǎn)：圓錐的幾何特征點(diǎn)評：簡單題，圓錐之中，要弄清r,h,l之間的關(guān)系，熟練掌握面積、體積計(jì)算公式．14、【解析】分析：詳解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù))關(guān)于(2,0)中心對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得到函數(shù)的周期為：4，故答案為：0.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了函數(shù)的對稱性和周期性，對于抽象函數(shù)，且要求函數(shù)值的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知表達(dá)式的區(qū)間上，將轉(zhuǎn)化后的自變量代入解析式即可.15、7【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡為的形式，由此求得共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而求得共軛復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】，，故虛部為.本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的知識(shí).16、【解析】

先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得,然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求和,再求極限即可得到答案.【詳解】由的展開式的通項(xiàng)公式,得,依題意可得,解得,所以.故答案為:1本題考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的求和公式,求極限,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)或.【解析】試題分析：（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出a、c的關(guān)系，再根據(jù)橢圓C過點(diǎn)A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），根據(jù)題意知x1=﹣2，y1=0；聯(lián)立方程消去y，由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x2、y2，由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范圍．試題解析：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，由橢圓定義得，∴；又橢圓：（）過點(diǎn)，∴；∴，解得，；∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得：；依題意：恒過點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，∴，，①由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，；②可得；③由①②③，解得，；由點(diǎn)在以為直徑的圓外，得為銳角，即；由，，∴；即，整理得，，解得：或.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)，常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.18、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1),．則(2)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以且．由，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）2；（2）2.【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.詳解：（1），由是的極值點(diǎn)，得，.易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所有當(dāng)時(shí)，在上取得最小值2.(2)由(1)知，此時(shí)，，令，，，令，，在單調(diào)遞增，且，，在時(shí)，，，由，，又，且，所以的最大值為2.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題.20、(1)證明見解析；(2)0；(3).【解析】分析：(1)令y=x，得，（2）令y=x=1，得的值；（3）先探求，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式組，解得結(jié)果.詳解：(1)∵(大前提)∴2)＝＝．(結(jié)論)(2)∵＝12)＝2，(小前提)∴.(結(jié)論)(3)∵，(小前提)且函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，(大前提)∴解得(結(jié)論)點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).21、（1）見證明；（2）【解析】

（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，則有，再利用勾股數(shù)及等腰三角形可得，可證得平面，即證得結(jié)論.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則.由題知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面為矩形，故平面，所以，在中，，，則.因?yàn)?，所以，，即△CDP為等腰三角形，又F為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋云矫?，即平?（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.由題知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得.因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.本題考查