八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)資料

目錄

第1講全等三角形的性質(zhì)與判定..............................2

第2講角平分線的性質(zhì)與判定................................16

第3講軸對稱與軸對稱變換..................................22

第4講等腰三角形..........................................31

第5講等邊三角形.........................................42

第06講實數(shù)............................................48

第7講變量與函數(shù)..........................................54

第8講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).................................61

第9講一次函數(shù)與方程、不等式..............................72

第10講一次函數(shù)的應(yīng)用...................................78

第11講第的運算...........................................106

第12講整式的乘除.......................................111

第13講因式分解與其應(yīng)用.................................117

第14講分式的概念?性質(zhì)與運算............................124

第15講分式的化簡求值與證明...........................132

第16講分式方程與其應(yīng)用.................................139

第17講反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)...........................149

第18講反比例函數(shù)的應(yīng)用.................................160

第19講勾股定理..........................................166

第20講平行四邊形.........................................180

第21講菱形與矩形.........................................189

第22講正方形.............................................206

第23講梯形..........................................218

第24講數(shù)據(jù)的分析........................................229

模擬測試卷（一）...........................................245

模擬測試卷（二）.............................................252

模擬測試卷（三）...........................................255

第1講全等三角形的性質(zhì)與判定

考點-方法?破譯

1.能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大

小完全相同；

2.全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；②全等

三角形對應(yīng)高、角平分線、中線相等；③全等三角形對應(yīng)周長相等，面積

相等；

3.全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,對于兩個直角三角形

全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；

4.證明兩個三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法

中的三個條件，具體分析步驟是先找出兩個三角形中相等的邊或角，再

根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對它

們進行證明；

5..證明兩個三角形全等，根據(jù)條件，有時能直接進行證明，有時要

證的兩個三角形并不全等，這時需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造

全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取等

等.

經(jīng)典?考題.賞析

［例1］如圖，AB〃EF〃DC,NABC=90°,AB=CD,則圖中有全等三角

形（）

A.5對B.4對C.3對D.2對

【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一對全等三

角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出第二對，第三對

全等三角形.這種逐步推進的方法常用到.

解：（DVAB/7EF/7DC,ZABC=90./.ZDCB=90.

在和中

AB=DC

?NABC=NDCBXAB（涇：./XDCB（SAS）ZJ=

BC=CB

⑵在和中

NA=ZD

<ZAED=ZDEC：.△仍陷XDCE：.BE=CE

AB=DC

⑶在RtXEFBa、RtXEFC中

:.RtXEFB叁RtXEFC故選C

【變式題組】

01.（天津）下列判斷中錯誤的是（）

A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等

02.（麗水）已知命題：如圖，點A.D.B.E在同一條直線上，且AD=

BE,ZA=ZFDE,則△ABCgADEF.判斷這個命題是真命題還是假

命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適

當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明.

03.（上海）已知線段AC與BD相交于點0,連接AB.DC,E為0B的中點,

F為0C的中點，連接EF（如圖所示）.

⑴添加條件NA=ND,Z0EF=Z（）FE,求證：AB=DC；

⑵分別將“NA=ND”記為①，“N0EF=N0FE”記為②，“AB=DC”記為③，添加①、

③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件②、③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是命題,

命題2是_______命題（選擇“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求證：AF=DE.

【解法指導(dǎo)】想證AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在

△AFB和4AEF中，而DE在4CDE和ADEF中，因而只需證明AABF也ADCE

或△AEFgaDFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.

證明：VFB=CE.?.FB+EF=CE+EF,即BE=CF

AB=DC

在△/龐和△戊方中，\AE=DF

BE=CF

：.(SSS)A/B=/C

AB=DC

在△力斷和△〃"中，＜ZB=ZC.??△力用也：.AF=DE

BF=CE

【變式題組】

01.如圖，AD.BE是銳角AABC的高，相交于點0,若BO=AC,BC=7,

CD=2,則A0的長為（）

42B.3C.4D.5

02.如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AE是過A點的一條直線，AE

_LCE于E,BD_LAE于D,DE=4cm,CE=2cm,則BD=.

03.(北京)已知：如圖，在aABC中，.ACB=90°,CD_LAB于點D,

點E在AC上，CE=BC,過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F.求證:

AB=FC.

［例3］如圖①，△ABCgZ\DEF,將△ABC和4DEF的頂點B和頂點E

重合，把4DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點0.

⑴當(dāng)ADEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B(E)、C.D在同一直線上時，ZAFD

與NDCA的數(shù)量關(guān)系是;

⑵當(dāng)aDEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，⑴中的結(jié)論成立嗎？請說明理

由.

圖①圖②

【解法指導(dǎo)】

⑵NAFD=NDCA理由如下：由aABC之△DEF,AAB=DE,BC=EF,Z

ABC=ZDEF,ZBAC=ZEDFAZABC-ZFBC=ZDEF-ZCBF,AZABF

=ZDEC

AB=DE

在△?!斷和△龐C中，.ZABF=ZDEC

BF=EC

：4\B2XDEC/BAF=/DEC:/BAC—/BAF=/EDF—/EDC,

:?/FAC=/CDFVZAOD=ZFAC+AAFD=ZCDF+ADCA

：.AAFD=ADCA

【變式題組】

01.（紹興）如圖，D.E分別為aABC的AC.BC邊的中點，將此三角形

沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.若NCDE=48°,則NAPD等于

（）

A.42°B.4S°C.52°D.58°

02.如圖，RtaABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF,下列

結(jié)論中錯誤的是（）

A.AABC^ADEFB.ZDEF=90°

C.AC=DFD.EC=CF

03.一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩

張三角形紙片擺成如下圖形式，使點BF、C.D在同一條直線上.

⑴求證：AB1ED；

⑵若PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并證明.

【例4】(第21屆江蘇競賽試題)已知，如圖，BD.CE分別是AABC的

邊.C和AB邊上的高，點P在BD的延長線，BP=AC,點Q在CE上，CQ=

AB.求證：.AP=AQ；⑵AP_LAQ

【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形

全等.經(jīng)觀察，證AP=AQ,也就是證4APD和AAOE,或AAPB和aQAC全等,

由已知條件BP=AC,CQ=AB,應(yīng)該證△APBgZ\QAC,已具備兩組邊對應(yīng)相

等，于是再證夾角N1=N2即可.證APJ_AQ,即證NPAQ=90°,ZPAD+

ZQAC=90°就可以.

證明：⑴???BD.CE分別是4ABC的兩邊上的高，

???/94=/或=90°,

B

.\Zl+ZBAD=90o,Z2+ZBAD=90°,AZI^><2.

在AAPBffAQAC中，JAAPB^AQAC,

：.AP=AQ

(2)VAAPB^AQAC,.*.ZP=ZCAQ,AZP+ZPAD=90°

VZCAQ+ZPAD=90°,AAP1AQ

【變式題組】

01.如圖，已知AB=AE,NB=NE,BA=ED,點F是CD的中點，求證：AF

±CD.

02.（湖州市競賽試題）如圖，在一個房間內(nèi)有一個梯子斜靠在墻上，

梯子頂端距地面的垂直距離MA為am,此時梯子的傾斜角為75°,如果梯

子底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時梯子頂端距地面的垂直距離NB

為bm,梯子傾斜角為45°,這間房子的寬度是（）

03.如圖，已知五邊形ABCDE中，ZABC=ZAED=90°,AB=CD=AE

=BC+DE=2,則五邊形ABCDE的面積為

演練鞏固-反饋提高

01.（海南）已知圖中的兩個三角形全等，則Na度數(shù)是（）

)

A.20°B.30°C.35°D.40°

03.（牡丹江）尺規(guī)作圖作NAOB的平分線方法如下：以。為圓心，任意長

為半徑畫弧交OA.OB于C.D,再分別以點C.D為圓心，以大于長為半徑

畫弧，兩弧交于點P,作射線OP,由作法得aocp經(jīng)aoDP的根據(jù)是

（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

04.（江西）如圖，已知AB=AD,則添加下列一個條件后，仍無法判

定△ABCgZ\ADC的是（）

A.CB=CD.......B.NBAC=NDAC

C.NBCA=NDCA….D.NB=ND=90°

05.有兩塊不同大小的等腰直角三角板4ABC和△BDE,將它們的一個

銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當(dāng)A.B.D不

在一條直線上時，下面的結(jié)論不正確的是（）

A.AABE^ACB.......B.NABE=NCBD

C.NABC=/EBD=45.....D.AC//BE

06.如圖，4ABC和共頂點A,AB=AE,Z1=Z2,NB=NE.BC交AD

于M,DE交AC于N,小華說：“一定有△ABCWZ\AED.”小明說：“ZXABM

g△AEN.”貝）

A.小華、小明都......B.小華、小明都不對

C.小華對、小明不.....D.小華不對、小明對

07.如圖，已知AC=EC,BC=CD,AB=ED,如果NBCA=119°,ZACD=98

。，則NECA的度數(shù)是.

08.如圖，△ABC會AADE,BC延長線交DE于F,ZB=25°,ZACB=

105°,ZDAC=10°,則NDFB的度數(shù)為.

09.如圖，在RtZXABC中,NC=90°.DE_LAB于D.BC=BD.AC=3,則

AE+DE=

10.如圖，BA_LAC.CD〃AB.BC=DE,且BC_LDE,若AB=2.CD=6,貝I]AE

*

11.如圖.AB=CD.AB〃CD.BC=12cm,同時有P、Q兩只螞蟻從點C出

發(fā),沿CB方向爬行，P的速度是0.Icm/s.Q的速度是0.2cm/s.求爬行時

間t為多少時，AAPB^AQDC.

12.如圖，ZXABC中，NBCA=90°,AC=BC,AE是3c邊上的中線，過C作CF_LAE,垂

足為F,過B作BDJ_BC交CF的延長線于D.

⑴求證：AE=CD；

⑵若AC=12cm,求BD的長.

13.（吉林）如圖，AB=AC,AD±BC于點D,AD等于AE,AB平分/DAE交DE于點F,請

你寫出圖中一:對全等三角形，并選取其中一對加以證明.

14.如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線1上，從另

兩個頂點A、B分別作1的垂線，垂足分別為D、E.

⑴找出圖中的全等三角形，并加以證明；

⑵若DE=a,求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補形法）

15.如圖,AC±BC,AD1BD,AD=BC,CE1AB,DF±AB,垂足分別是E、

F.求證：CE=DF.

16.我們知道，兩邊與其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不

一定全等，則在什么情況下，它們會全等？

⑴閱讀與證明：

對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋?/p>

對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證明它們?nèi)龋ㄗC明略）；

對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；

已知△ABC、AA1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1,BC=B1C1,ZC=

NC1.求證：△ABC也△A1B1C1.（請你將下列證明過程補充完整）

⑵歸納與敘述：由⑴可得一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論.

培優(yōu)升級-奧賽檢測

01.如圖，在△ABC中，AB=AC,E、F分別是AB.AC上的點，且AE=

AF,BF、CE相交于點0,連接A0并延長交BC于點D,則圖中全等三角

形有（)

A.4對B.5對C.6對D.7對

02.如圖，在AABC中，AB=AC,0C=0D,下列結(jié)論中：①NA=N

B②DE=CE,③連接DE,則0E平分NA0B,正確的是（）

A.①②B.（2）@Q（1X3）D.①②③

03.如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC=CE,Z1=Z2=Z3,貝ijDE的

長等于（）

A.D....B.B.....C.A............D.AE-f-AC

04.下面有四個命題，其中真命題是（）

A.兩個三角形有兩邊與一角對應(yīng)相等,這兩個三角形全等

B.兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

D.兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

05.在AABC中，高AD和BE所在直線相交于H點，且BH=AC,則NABC=

06.如圖，EB交AC于點M.交FC于點D.AB交FC于點N,NE=NF=

90°,NB=NC.AE=AF.給出下列結(jié)論：①/1=N2；②BE=CF.③AACN

也△ABM.④CD=DB,其中正確的結(jié)論有.（填序號）

07.如圖，AD為在aABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F,且有

BF=AC,FD=CD.

⑴求證：BE±AC；

⑵若把條件"BF=AC”和結(jié)論“BEJ_AC”互換，這個命題成立嗎？證

明你的判定.

08.如圖，D為在△ABC的邊BC上一點，且CD=AB,ZBDA=ZBAD,

AE是AABD的中線.求證：AC=2AE.

09.如圖，在凸四邊形ABCD中，E為4ACD內(nèi)一點，滿足AC=AD,AB

=AE.NBAE+NBCE=90°.NBAC=NEAD.求證：NCED=900.

10.（沈陽）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放,

其中NACB=NDEB=90°,ZA=ZD=30°,點E落在AB上，DE所在

直線交AC所在直線于點F.

⑴求證：AF+EF=DE;

（2）若將圖①中aDBE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)角Q,且0°VQV60

°,其他條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）

中結(jié)論是否仍然成立；

⑶若將圖①中^DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角6,且60°<P<

180。，其他條件不變，如圖③你認(rèn)為（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立,

寫出證明過程；若不成立，請寫出此時AF、EF與DE之間的關(guān)系，并

說明理由。

11.（竦州市高中提前招生考試）⑴閱讀理解；課外興趣小組活動

時，老師提出了如下問題：在aABC中，AB=5,AC=13,求BC邊上的

中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,

使得DE=AD,再連接BE,把AB.AC.2AD集中在aABE中，利用三角形

的三邊關(guān)系可得2VAEV8,則1VADV4.

感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮

中線加倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中

到同一個三角形中.

⑵問題解決：受到⑴的啟發(fā)，請你證明下面命題:如圖，在ZkABC中，D是BC邊上

的中點，DEXDF,DE交AB于點匚，DF交AC于點F,連接EF.

求證：BE+CF>EF；

⑶問題拓展：如圖，在四邊形ABDC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=120°,

以D為頂點作一個60。角，角的兩邊分別交AB.AC于E、F兩點，連接EF,探索線段

BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

12.（北京）如圖，已知aABC.

⑴請你在BC邊上分別取兩點D.E（BC的中點除外），連接AD.AE,寫出使

此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等

的三角形；

⑵請你根據(jù)使⑴成立的相應(yīng)條件，證明：AB+AOAD+AE.

13.如圖，AB=AD,AC=AE,NBAD=NCAE=180°.AHJ_AH于H,

HA的延長線交DE于G.求證：GD=GE.

14.己知，四邊形ABCD中，AB_LAD,BC±CD,BA=BC,ZABC=120°,

ZMBN=60°,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD.DC（或它們的延長

線）于E、F.

當(dāng)NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時，如圖1,易證：AE+CF=EF；（不需

證明）

當(dāng)NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AEWCF時，如圖2和圖3中這兩種情況下，上

述結(jié)論是否成立若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

第2講角平分線的性質(zhì)與判定

考點?方法?破譯

1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

2.角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點在這個角

的平分線上.

3.有角平分線時常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖，已知0D平分NAOB,在OA.OB邊上截取OA=OB,PM1

BD,PN_LAD.求證：PM=PN

【解法指導(dǎo)】由于PMJLBD,PN_LAD.欲證FM=PN只需N3=N4,證N3

=N4,只需N3和N4所在的△OBD與AOAD全等即可.

證明：?.?OD平分NAOBAZ1=Z2

在△OBD與△OAD中，AAOBD^AOAD

???N3=N4VPM1BD,PN1AD所以PM=PN

【變式題組】

01.如圖，CP、BP分別平分AABC的外角NBCM、NCBN.求證：點P在N

BAC的平分線上.

02.如圖，BD平分NABC,AB=BC,點P是BD延長線上的一點，PM±

AD,PN_LCD.求證：PM=PN

【例2】（天津競賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CE

J_AB于點E,且AE=（AB+AD）,如果ND=120°,求NB的度數(shù)

【解法指導(dǎo)】由已知/1=N2,CE±AB,聯(lián)想到可作CFJ_AD于F,得CE=CF,AF=AE,

又由AE=（AB十AD）得DF=EB,于是可證△CFDqACEB,則Z：B=/CDF=60".或者在AE上

截取AM=AD從而構(gòu)造全等三角形.

解：過點C作CFLAD于點F.〈AC平分NBAD,CE1AB,點C是AC

上一點

???CE=CF

在RtACFA和RtACEA中,ARtAACF^RtAACEAAF=AE

又?.?AE=(AE+BE+AF—DF),2AE=AE+AF+BE—DF,ABE=DF

VCF1AD,CE1AB,AZF=ZCEB=90°

在4CEB和aCFD中，，1?△CEB四Z\CFD

AZB=ZCDFXVZADC=120°,AZCDF=60°,即NB=

60°.

【變式題組】

01.如圖，在^ABC中,CD平分NACB,AC=5,BC=3.求

02.(河北競賽)在四邊形ABCD中，已知AB=a,AD=b.且BC=DC,對

角線AC平分NBAD,問a與b的大小符合什么條件時，有NB+ND=180

。，請畫圖并證明你的結(jié)論.

【例3】如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分NABC,CE

JLBE.求證:CE=BD

【解法指導(dǎo)】由于BE平分NABC,因而可以考慮過點D作BC的垂線或

延長CE從而構(gòu)造全等三角形.

證明：延長CE交BA的延長線于F,VZ1=Z2,BE=BE,NBEF=N

BEC

!,

/.△BEF^ABECfASA]ACE=EF,.\CE=CFVZ1+ZF=Z3+ZF=9Oz

AZ1=Z3

在AABD和4ACF中，，.?.△ABDg^ACF

：.BD=CF：.CE=-BD

2

【變式題組】

01.如圖,已知AC〃BD,EA.EB分別平分NCAB.NDBA,CD過點A求證:AB=AC+BD.

02.如圖，在AABC中，NB=60°,AD.CE分另IJ是NBAC.NBCA的平

分線，AD.CE相交于點F.

⑴請你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理曰；

⑵求證：AE+CD=AC.

演練鞏固-反饋提高

01.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,BD平分NABC交AC于D,若

CD=n,AB=m,則4ABD的面積是（）

A.innB.innC.mnD.2mn

02.如圖，已知AB=AC,BE=CE,下面四個結(jié)論：①BP=CP；②AD_LBC；

③AE平分NBAC；④NPBC=NPCB.其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個

A.1B.2C.3D.4

03.如圖,在ZXABC中，P、Q分別是BC.AC上的點,作PRJLAB,PSJ_AC,垂

足分別是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,下列結(jié)論：①AS=AR；②PQ〃AR；

③△BRP名ACSP.其中正確的是（）

A.?@B.??C.①?D.①②③

04.如圖，AABC中，AB=AC,AD平分NBAC,DEIAB,DF1AC,垂足分

別是E、F,則下列四個結(jié)論中：①AD上任意一點到B.C的距離相等；

②AD上任意一點到AB.AC的距離相等；③ADLBC且BD=CD；@ZBDE

=NCDF.其中正確的是（）

A.②③B.②④C.②③④D.①②

③④

05.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,NACB的平分

線與NABC的外角平分線交于E點，則NAEB的度數(shù)為（）

A.50°B.45°C.40°D.35

O

06.如圖，P是4ABC內(nèi)一點，PD_LAB于D,PE_LBC于E,PFJ_AC于F,且

PD=PE=PF,給出下列結(jié)論：①AD=AF；②AB+EC=AC+BE；③BC+

CF=AB+AF；④點P是4ABC三條角平分線的交點.其中正確的序號是

（）

A.（D@③④B.①②③C.（D@④D.（2）@@

07.如圖，點P是△ABC兩個外角平分線的交點，則下列說法中不王確

的是（）

A.點P到AABC三邊的距離相等氏點P在NABC的平分線上

C.NP與NB的關(guān)系是:/P+/B=90°D.NP與NB的關(guān)系是:

NB=/P

08.如圖，BD平分/ABC,CD平分NACE,BD與CD相交于D.給出下列結(jié)

論：①點D到AE、AC的距離相等；②NBAC=2NBDC；③DA=DC；④

DB平分NADC.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4

個

09.如圖，^ABC中，ZC=90°AD是AABC的角平分線，DE_LAB于E,下

列結(jié)論中：①AD平分NCDE；②NBAC=/BDE；③DE平分NADB；④

AB=AC+BE.其中正確的個數(shù)有（）

A.3個B.2個C.1個D.4

個

10.如圖，已知BQ是NABC的內(nèi)角平分線，CQ是NACB的外角平分線，由

Q出發(fā)，作點Q到BC.AC和AB的垂線QM、QN和QK,垂足分別為M、N、

K,則QM、QN、QK的關(guān)系是

11.如圖，A1)是NBAC的平分線，DE_LAB于E,DF_AC于F,且DB=DC.求證:BE=CF

12.如圖，在AABC中，AD是NBAC的平分線，DE±AB于點E,DF_L

AC于點F.求證：AD_EF.

培優(yōu)升級-奧賽檢測

01.如圖，直線11.12.13表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物

中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有()

A.一處B.二處C.三處D.四

處

02.已知RtZXABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于D,若BC=

32,且BD:CD=9:7,則D到AB邊的距離為()

A.18B.16C.14D.12

03.如圖，ZXABC中，NC=90°,AI)是aABC的平分線，有一個動點P從A向B運動.已知：

DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP的長為x(cm),則x的范圍是______

04.如圖,已知ABZ/CD,PE1AB,PF1BD,PG1CD,垂足分別為E、F、

G,且PF=PG=PE,則NBPD=

05.如圖，已知AB〃CD,()為NCAB.NACD的平分線的交點，0E1AC,且

0E=2,則兩平行線AB.CD間的距離等于

06.如圖，AD平分NBAC,EF_LAD,垂足為P,EF的延長線于BC的延長線相交于點G.求證：

ZG=(ZACB-ZB)

07.如圖,在aABC中,AB>AC,AD是NBAC的平分線,P為AC上任意一點.求證:AB-AODB

-DC

08.如圖，在aABC中，ZBAC=60°,ZACB=40°,P、Q分別在BC、AC

上，并且AP、BQ分別為NBAC、NABC的角平分線上.求證：BQ+AQ=AB

+BP

第3講軸對稱與軸對稱變換

考點-方法?破譯

1.軸對稱與其性質(zhì)

把一個圖形沿著某一條直線折槌，如果它能夠與另一個圖形重合，則

就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，這條直線叫對稱軸.

軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等

形；②對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于

某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，則交點在對稱軸上.

2.線段垂直平分線

線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)系：①位

置關(guān)系一一垂直；②數(shù)量關(guān)系一一平分.

性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平

分線上.

3.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求

幾條折線段的最小值等情況時，通?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形,

集中條件.

經(jīng)典?考題.賞析

【例1】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面

打3個洞，則紙片展開后是（）

【解法指導(dǎo)】對折問題即是軸對稱問題，折痕就是對稱軸,故選D.

【變式題組】

01.將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后鋪平，得到的圖形

是()

02.(荊州)如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點A落在點G

上，點D落在點？1上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點E上，點C

落在點F上，疊完后，剪一個直徑在BC上的半圓，再展開，則展開后

的圖形為()

【例2】(襄樊)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將4ABC向右平移兩個單位長度得

到4A'B'C',則與點B'關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是()

A.(0,-1)B.(1,1)C.(2,-1)D.(1,-1)

【解法指導(dǎo)】在aABC中，點B的坐標(biāo)為(-1,1),將AABC向右平

移兩個單位長度得到4A'B'C',由點的坐標(biāo)平移規(guī)律可得B'(—1+2,

1),即B'(1,1).由關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)的規(guī)律可得點夕關(guān)于x

軸對稱的點的坐標(biāo)是(1,-1),故應(yīng)選D.

【變式題組】

01.若點P(—2,3)與點Q(a,b)關(guān)于x軸對稱，則a、b的值分

別是()

A.-2,3B.2,3C.-2,~3D.2,~3

02.在直角坐標(biāo)系中，已知點P(—3,2),點Q是點P關(guān)于x軸的對稱點，將點Q向右

平移4個單位得到點R,則點R的坐標(biāo)是.

03.(荊州)已知點P(a+1,2a-l)關(guān)于x軸的對稱點在第一象限，

則a的取值范圍為.

［例3］如圖，將一個直角三角形紙片ABC(ZACB=90°),沿線段

CD折疊，使點B落在Bl處，若NACBl=70°,則NACD=()

A.30°B.20°C.15°D.10°

【解法指導(dǎo)】由折疊知NBCD=NB1CD.設(shè)NACD=x,則NBCD=NB1CD

=ZACB1+ZACD=7O0+x.又NACD+NBCD=NACB,B|Jx+（70°+x）

=90°,故x=10".故選D.

【變式題組】

01.（東營）如圖，把一個長方形紙片沿EF折登后，點D.C分別落在

點D'、C'的位置.若NEFB=65°,則NAED'等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

02.如圖，ZXABC中，ZA=30°,以BE為邊，將此三角形對折，其

次,又以BA為邊，再一次對折，C點落在BE上，此時NCDB=82°,

則原三角形中/B=.

03.（江蘇）⑴觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過

點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,展平紙片（如圖

①）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF,展平紙

片后得到4AEF（如圖②）.小明認(rèn)為4AEF是等腰三角形，你同意嗎？

請說明理由.

⑵實踐與運用：

將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折槌，使點A落在BC邊上的點F處,

折痕為BE（如圖③）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D'

處，折痕為EG（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）.求圖⑤中的大小.

［例4］如圖，在4ABC中，AD為NBAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF

交BC的延長線于點F,求正：ZB=ZCAF.

【解法指導(dǎo)】〈EF是AD的中垂線，則可得△AEFgaDEF,??.NEAF=

ZEDF.從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉(zhuǎn)化即可.

證明：YEF是AD的中垂線，，AE=DE,ZAEF=ZDEF,EF=EF,，△

AEF^ADEF,AZ2H-Z4=Z3,.\Z3=ZB+Z1,AZ2+Z4=ZB+

Zl,VZ1=Z2,AZB=Z4

【變式題組】

01.如圖，點D在AABC的BC邊上，且BC=BD+AD,則點D在

的垂直平分線上.

02.如圖，Z^ABC中，ZABC=90°,ZC=15°,DEJ_AC于E,且AE=EC,

若AB=3cm,則DC=cm.

03.如圖，△ABC中，ZBAC=126°,DE、FG分別為AB.AC的垂直平

分線，則NEAG=.

04.4ABC中，AB=AC,AB邊的垂直平分線交AC于F,若AB=12cm,△

BCF的周長為20cm,則△ABC的周長是cm.

【例5】（眉山）如圖，在3X3的正方形格點圖中，有格點

DEF,且AABC和ADEF關(guān)于某直線成軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所

有這樣的ADEF.

【解法指導(dǎo)】在正方形格點圖中，如果已知條件中沒有給對稱軸，在

找對稱軸時，通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為

對稱軸.若以圖案居中的水平直線為對稱軸，所作的4DEF如圖①②③所

示；若以圖案居中的豎直直線為對稱軸，所作的aDEF如圖④所示；若以

圖案居中的斜線為對稱軸，所作的4DEF如圖⑤⑥所示.

【變式題組】

01.（泰州）如圖，在2X2的正方形格點圖中，有一個以格點為頂點

的aABC,請你找出格點圖中所有與AABC成軸對稱且也以格點為頂點的

三角形，這樣的三角形共有個.

02.（紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且

滿足下列條件：

⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；

⑵涂黑部分成軸對稱圖形.

如圖乙是一種涂法，請在圖1—3中分別設(shè)計另外三種涂法.（在所設(shè)

計的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種不同涂法，如圖乙與圖

丙）

【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水

后【可家，試問在何處飲水，所求路程最短？

【解法指導(dǎo)】⑴所求問題可轉(zhuǎn)化為CD上取一點M,使其AM+B.M為最小;

⑵本題利用軸對稱知識進行解答.

解:先作點A關(guān)于直線CD的對稱點Z,連接卜B交CD于點M,則點

M為所求，下面證明此時的AM+BM最小.

證明：在CD上任取與M不重合的點M',

???AA，關(guān)于CD對稱，???CD為線段AA，的中垂線，

AAM=A,M,M'=A'M',在AA'M'B中,有A'BVA'M'+BM',

???A'M+BMVA'M'+BM',.*.AM+BM<AM,+BM',

即AM+BM最小.

【變式題組】

01.（山西）設(shè)直線1是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到1

地距離分別為2千米、5千米，欲在1上的某點M處修建一個水泵站向

P、Q兩地供水.現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實線表示輔設(shè)的

管道，則鋪設(shè)的管道最短的是()

02.若點A、B是銳角ZM0N內(nèi)兩點,請在OM、0N上確定點C、點D,使

四邊形ABCD周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點.

演練鞏固-反饋提高

01.(黃岡)如圖，AABC與B'C'關(guān)于直線1對稱，且NA=78

°,NC'=48°,則/B的度數(shù)是().

A.48°B.54°C.74°D.78°

02.(泰州)如圖，把一張長方形紙片對折,折痕為AB,再以AB的中

點0為頂點把平角NA0B三等分，沿平角的三等分線折疊，將折福后的圖

形剪出一個以0為頂點的等腰三角形，則剪出的等腰三角形全部展開鋪平

后得到的平面圖形一定是()

A.正三角形E.正方形C.正五邊形D.正六邊形

03.圖1是四邊形紙片ABCD,其中NB=120°,ZD=50°,若將其右

下角向內(nèi)折出APCR,恰使CP〃AB,RC〃AD,如圖2所示，則NC=()

A.80°B.85°C.95°D.110°

04.如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對稱的圖形乂是關(guān)

于y軸成軸對稱的圖形，若點A的坐標(biāo)是(L3),則點M和點N的坐標(biāo)

分別是()

A.M(1,-3),N(-1,-3)B.M(-1,-3),N(~lt3)

C.M(~lf~3),N(1,-3)D.M(~lf3),N(1,-3)

05.點P關(guān)于x軸對稱的對稱點P'的坐標(biāo)是(一3,5),則點P關(guān)于

y軸對稱的對稱點的坐標(biāo)是()

A.(3,-5)B.(~5f3)C.(3,5)D.(5,

3)

06.已知2a+2）關(guān)于y軸對稱的點在第二象限，則a的取

值范圍是（）

A.B.—iWaWlC.a>lD.a>~1

07.（杭州）如圖，鏡子中號碼的實際號碼是.

08.（貴陽）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為

cm2.

09.已知點A（2a+3b,—2）和B（8,3a+2b）關(guān)于x軸對稱，則a+b

*

10.如圖，在aABC中，OE、OF分別是AB.AC中垂線，且NABO=20°,ZABC=45°,求N

BAC和/ACB的度數(shù).

11.如圖，C、D、E、F是一個長方形臺球桌的4個頂點，A、B是桌面

上的兩個球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞

擊B球？請畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法.

12.如圖，P為NABC的平分線與AC的垂直平分線的交點，PMLBC于

M,PN_LBA的延長線于N.求證：AN=MC.

13.（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個正方形圖案，拼

成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個，且使每個

正方形圖案都是軸對稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖.（畫出的兩個圖

案不能全等）

培優(yōu)升級-奧賽檢測

01.（浙江競賽試題）如圖，直線11與直線12

12

相交，NQ=60°,點P在N。內(nèi)（不在1112上）.小明用下面的方

法作P的對稱點：先以11為對稱軸作點P關(guān)于11的對稱點P1,再以

12為對稱軸作P1關(guān)于12的對稱點P2,然后再以11為對稱軸作P2關(guān)

于11的對稱點P3,以12為對稱軸作P3關(guān)于12的對稱點P4,……如

此繼續(xù)，得到一系列PLP2.P3……Pn與P重合,則n的最小值是（）

A.5B.6C.7D,8

02.在平面直角坐標(biāo)系中，直線1過點M（3,0）,且平行于y軸.

⑴如果AABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A（-2,0）,B（-1,0）,C（-

1,2）,Z\ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1,ZiAlBlCl關(guān)于直線

1的對稱圖形是4A2B2c2,寫出4A2B2c2的三個頂點的坐標(biāo)；

⑵如果點P的坐標(biāo)是（一a,0）,其中a>0,點P關(guān)于y軸的對稱點是點

P1,點P1關(guān)于直線1的對稱點是P2,求PP2的長.

03.（荊州）某住宅小區(qū)擬栽種12棵風(fēng)景樹，若想栽成6行，每行4

棵，且6行樹所處位置連成線后能組成精美的對稱圖案，請你仿照

舉例在下面方框中再設(shè)計兩種不同的栽樹方案.

04.（宜昌）已知：如圖,AF平分NBAC,BC_LAF,垂足為E,點D與點A關(guān)于點E對稱,PB

分別與線段CF、AF相交于P、M.

⑴求證：AB=CD；

⑵若NBAC=2NMPC,請你判斷NF與NMCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

05.在△ABC中，ZBAC=90°,點A關(guān)于BC邊的對稱點為A',點B

關(guān)于AC邊的對稱點為B',點C關(guān)于AB邊的對稱點為C',若$4

ABC=1,求SZ\A'B'C'.

06.（湖州市競賽試題）小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動中，給本小組出了這

樣一道“對稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線1,在直線1

兩邊各放一粒圍棋子A、B,使線段AB長a厘米，并關(guān)于直線1對

稱，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點b厘米、與直線1的距

離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P1點以A為對稱中心跳至

P2點；第2次，從P2點以1為對稱軸跳至P3點；第3次，從P3

點以B為對稱中心跳至P4點；第4次，從P4以1為對稱軸跳至P1

八占、、.，

⑴畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標(biāo)注出各點字母；(畫圖工具不限)

⑵棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設(shè)a=8,b=6,c=3,計算

這時它與A的距離是多少？

07.(湖州)如圖，己知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A

(2,-3),B(4,-1).

⑴若P(P,0)是x軸上的一個動點，則當(dāng)p=時，APAB

的周長最短；

⑵若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，則當(dāng)a=

時，四邊形ABCD的周長最短；

⑶設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M5,0)、

N(0,n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=,

n=(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.

第4講等腰三角形

考點-方法?破譯

1.等腰三角形與其性質(zhì)

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，

因此它的性質(zhì)有：⑴等腰