八年級數(shù)學下冊專題195 一次函數(shù)的應用（舉一反三）（人教版）

專題19.5一次函數(shù)的應用【八大題型】

【人教版】

【逑型1行程問題】............................................................................1

【題型2工程問題】............................................................................2

【題型3利潤最大問題】........................................................................4

【題型4費用最低問題】........................................................................6

【題型5調運問題】............................................................................7

【題型6體積問題]............................................................................9

【題型7幾何圖形問題】.......................................................................10

【題型8其他問題】...........................................................................11

。。%二十一火三

【題型1行程問題】

【例I】（2022春?大足區(qū)期末）甲、乙兩車分別從A,8兩地同時相向勻速行駛，當乙車到達A地后，繼

續(xù)保持原速向遠離8的方向行駛，而甲車到達8地后立即掉頭，并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過12

小時后兩車同時到達距A地3co千米的C地（中途休息時間忽略不計）.設兩車行駛的時間為工（小時），

兩車之間的距離為），（千米），），與x之間的函數(shù)關系如圖所示，則當乙車到達A地時，甲車距A地150

千米.

【變式1-1]（2022?前進區(qū)校級開學）甲、乙兩車從佳木斯出發(fā)前往哈爾濱，甲車先出發(fā)，1萬以后乙車出

發(fā)，在整個過程中，兩車離開佳木斯的距離.y（AM）與乙車行駛時間x（力）的對應關系如圖所示：

（1）直接寫出佳木斯、哈爾濱兩城之間距離是多少公〃？

（2）求乙車出發(fā)多長時間追上甲車？

（3）直接寫出甲車在行駛過程中經(jīng)過多長時間，與乙車相距1詼〃2.

【變式1-2]（2022秋?舞鋼市期末）甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地出發(fā)相向勻速而行，已知

甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回人地，乙繼續(xù)向八地前行，約定

先到4地者停止運動就地休息.若甲、乙兩人相距的路程），（米）與甲行走的時間x（分鐘：之間的關系

如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘，乙的速度是80米/分鐘：②甲出發(fā)30分鐘時，兩人

在。地相遇：③乙到達A地時，甲與A地相距450米，其中正確的說法有（）

【變式1?3】（2022春?南川區(qū)期末）甲、乙兩運動員在直線跑道.上同起點、同終點、同方向勻速跑步560

米，先到終點的運動員原地休息.已知甲先出發(fā)1秒，兩運動員之間的距離y（米）與乙出發(fā)的時間x

（秒）之間的關系如圖所示.給出以下結論：①。=7；②力=63；③c=80.其中正確的是（）

c.(D?D.(D?

【題型2工程問題】

[例2]（2022?李滄區(qū)一模）李滄區(qū)海綿工程建設過程中，需要將某小區(qū)內兩段長度相等的人行道改造為

透水人行道，人行道綠籬改造為下沉式綠籬.現(xiàn)分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工.如圖是反映

所鋪設人行道的長度y（米）與施工時間x（時）之間關系的部分圖象，請解答下列問題：

（1）求乙隊在2WxW6的時叵段內，），與x的函數(shù)關系式：

（2）若甲隊施工速度不變，乙隊在施工6小時后，施工速度增加到12米/時，結果兩隊同時完成了任務,

求甲隊從開始施工到完成，所鋪設的人行道共是多少米.

【變式2?1】（2022春?華容縣期末）某乳品公司向某地運輸?批牛奶，由鐵路運輸每千克需運費0.60元，

由公路運輸，每千克需運費0.30元，另需補助600元.

（1）設該公司運輸?shù)倪@批牛處為x千克，選擇鐵路運輸時，所需運費為N元，選擇公路運輸時，所需運

費為L元，請分別寫出巾、”與x之間的關系式；

（2）若公司只支出運費1500元，則選用哪種運輸方式運送的牛奶多？若公司運送1500千克牛奶，則選

用哪種運輸方式所需用較少？

【變式2-2]（2022春?廬江縣期末）甲、乙兩工程隊維修同一段路面，甲隊先清理路面，乙隊在甲隊清理

后鋪設路面.乙隊在中途停工了一段時間，然后按停工前的工作效率繼續(xù)工作.在整個工作過程中，甲

隊清理完的路面長），（米）與時間x（時）的函數(shù)圖象為線段04,乙隊鋪設完的路面長y（米）與時間x

（時）的函數(shù)圖象為折線8C???！?如圖所示，從甲隊開始工作時計時.

（1）直接寫出乙隊鋪設完的路面長），（米）與時間x（時）的函數(shù)關系式：

（2）當甲隊清理完路面時，乙隊還有多少米的路面沒有鋪設完？

【變式2?3】（2022?無錫模擬）甲，乙兩人同時各接受了300個零件的加工任務，甲比乙每小時加工的數(shù)

量多，兩人同時開工，其中一人因機器故障停止加工若干小時后又繼續(xù)按原速加工，直到他們完成任務.如

〃的值分別為、;

（3）釣友會根據(jù)自己的釣魚技能和魚塘的回魚標準選擇不同的魚塘垂釣，請幫釣友們分析選擇在哪家魚

塘釣魚更劃算？

【變式3-1］（2022春?武漢期末；某商店銷售一種產品，該產品成本價為6元/件，售價為8元/件，銷售人

員對該產品一個月（30天）銷售情況記錄繪成圖象.

圖中的折線OOE表示日銷量）（件）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關系，若線段OE表示的函數(shù)關系

中，時間每增加1天，日銷量減少5件.

（1）第25天的日銷量是件，這天銷售利潤是元；

（2）求），與x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）口銷化:利潤不低于640元的天數(shù)共有多少天？銷售期間口銷售最大利潤是多少元？

【變式3-2］（2022?濟寧二模）其商店購進了4“兩種家用電器，相關信息如下表：

家用電器進價（元/件）售價（元/件）

A機+2001800

Bm170）

已知用6000元購進的4種電器件數(shù)與用5000元購進的B種電器件數(shù)相同.

（1）求表中m的值.

（2）由7A,B兩種家用電器熱銷，該商店計劃用不超過23000元的資金再購進人，8兩種電器總件數(shù)

共20件，且獲利不少于13300元.請問：有幾種進貨方案？哪一種方案才能獲得最大利潤？最大利潤是

多少？

【變式3-3］（2022?長垣市模擬）某營業(yè)廳銷售3部A型號手機和2部8型號手機的營業(yè)額為10800元,

銷售4部A型號手機和1部8型號手機的營業(yè)額為10400元.

（1）求每部4型號手機和B型號手機的售價；

（2）該營業(yè)廳計劃一次性購進兩種型號手機共50部，其中8型號手機的進貨數(shù)最不超過人型號手機數(shù)

量的3倍.已知A型手機和B型手機的進貨價格分別為1500元/部和1800元/部，設購進A型號手機a

部，這50部手機的銷售總利潤為卬元.

①求W關于。的函數(shù)關系式；

②該營業(yè)廳購進4型號和B型號手機各多少部時，才能使銷售總利潤最大，最大利潤為多少元？

【題型4費用最低問題】

【例4】（2022春?前郭縣期末）共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向3?10切?的出行市場現(xiàn)

有4、B品牌的共享電動車，收費與騎行時間之間的函數(shù)關系如圖所示，其中A品牌收費方式時應》，B

品牌的收費方式對應”.

（1）請求出兩個函數(shù)關系式.

（2）如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車

為平均行駛速度均為20燈〃〃?，小明家到工廠的距離為6km,那么小明選擇哪個品牌的共享電動車更省錢

呢？

（3）直接寫出第幾分鐘，兩種收費相差1.5元.

【變式4-1]（2022春?碑林區(qū)校級期末）某校張老師寒假準備帶領他們的“三好學生”外出旅游，甲、乙

兩家旅行社的服務質量相同，且報價都是每人400元，經(jīng)協(xié)商，甲旅行社表示：“如果帶隊張老師買一

張全票，則學生可半價”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折優(yōu)惠.”則：

（1）設學生數(shù)為x（人），甲旅行社收費為y甲（元），乙旅行社收費為y乙（元），兩家旅行社的收費

各是多少？

（2）哪家旅行社收費較為優(yōu)惠？

【變式4-2]（2022春?灤南縣期末）某人因需要經(jīng)常去及印資料，甲及印社直接按每次印的張數(shù)計費，乙

復印社可以加入會員，但需按月付一定的會員費.兩更印社每月收費情況如圖所示，根據(jù)圖中提供的信

息解答下列問題：

（1）乙復印社要求客戶每月支付的會員費是元；甲復印社每張收費是元；

（2）求出乙復印社收費情況），關于復印頁數(shù)x的函數(shù)解析式，并說明一次項系數(shù)的實際意義;

（3）當每月復印多少頁時，兩復印社實際收費相同；

（4）如果每月復印200頁時，應選擇哪家復印社？

【變式4-3］（2022春?石河子期末）某種黃金飾品在甲、乙兩人商店銷售，甲店標價280元/克，按標價出

售，不優(yōu)惠，乙店標價30（）元/克，但若買的黃金飾品重量超過3克，則超出部分可打八折出售.

（1）分別寫出到甲、乙商店購買該種黃金飾品所需費用（元）和重量x（克）之間的函數(shù)關系，并寫

出定義域;

（2）李阿姨要買一條重量不超過10克的此種黃金飾品，到哪個商店購買最合算？請說明理由.

【題型5調運問題】

【例5】（2022?賀蘭縣模擬）云南某縣境內發(fā)生地震，某市積極籌集救災物資260噸從該市區(qū)運往該縣甲、

乙兩地，若用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性運完這批物資.已知這兩種貨車的載重量分別為

16噸/輛和1（）噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如下表：

車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）

運往地

大貨車72080()

小貨車500650

（1）求這兩種貨車各用多少輛？

（2）如果安排9輛貨華前往甲地，具余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨華為。輛，前往甲、乙兩地的

總運費為卬元，求出卬與。的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍）：

（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于132噸，請你設計出使總運費最少的貨車調配方案，

并求出最少總運費.

【變式5-1］（2022春?扎魯特旗期末）某農機租賃公司共有50臺收割機，其中甲型20臺，乙型30臺，現(xiàn)

將這50臺聯(lián)合收割機派往A,B兩地區(qū)收割水稻，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)，兩地區(qū)與

該農機公司商定的每天租賃價格如表:

每臺甲型收割機的租金每臺乙型收割機的租金

A地區(qū)1800元1600元

3地區(qū)1600元1200元

（1）設派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y元，求），關

卜工的函數(shù)關系式；

（2）試問有無可能一天獲得總租金是80050元？若有可能，請寫出相應的調運方案；若無可能，請說明

理由.

【變式5-2]（2022春?海淀區(qū)校級期末）某市A,8兩個蔬菜基地得知四川C,。兩個災民安置點分別急

需蔬菜240/和260/的消息后，決定調運蔬菜支援災區(qū)，已知A蔬菜基地有蔬菜2001，8蔬菜基地有蔬菜

300/,現(xiàn)將這弊蔬菜全部調運C,。兩個災民安置點從A地運往C,。兩處的費用分別為每噸20元和25

元，從B地運往C,。兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從B地運往C處的蔬菜為x噸.

（1）請?zhí)顚懴卤?，并求兩個蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時x的值：

CD總計〃

,4__________________200

BX—300

總訂〃240260500

（2）設A,B兩個蔬菜基地的總運費為w元，求出卬與x之間的函數(shù)關系式，并求總運費最小的調運方

案；

（3）經(jīng)過搶修，從8地到。處的路況得到進一步改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少〃?無（機＞0）,

其余線路的運費不變，試討論總運費最小的調動方案.

【變式5-3]（2022春?巴南區(qū)月考）某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛，現(xiàn)要調往A縣

10輛，調往B縣8輛，已知調運一輛農用車的費用如表：

縣名

費用AB

倉庫

甲4080

乙3（）5（）

（1）設從乙倉庫調往A縣農用車工輛，求總運費），關于x的函數(shù)關系式.

（2）若要求總運費不超過900元.共有哪幾種調運方案？

（3）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少元？

【題型6體積問題】

［例6］（2022秋?祁江區(qū)月考）某水池的容積為90//P,水池中已有水10加,現(xiàn)按8,3h的流量向水池注

水.

（1）寫出水池中水的體積y（相）與進水時間/（A）之間的函數(shù)表達式，并寫出自變量/的取值范圍；

（2）當/=1時，求y的值;當y=50時,求/的值.

【變式6-1］（2（）22春?北京期末）如圖，有一個裝水的容器，容器內的水面高度是10?！?水面面積是10（）c〃P.現(xiàn)

向容器內注水，并同時開始計時.在注水過程中，水面高度以每秒0.2o〃的速度勻速增加.容器注滿水

之前，容器內水面的高度爪注水量V隨對應的注水時間，的變化而變化，則/?與，，V與，滿足的函數(shù)

關系分別是（）

A.正比例函數(shù)關系，正比例函數(shù)關系

B.正比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

C.一次函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

D.一次函數(shù)關系，正比例函數(shù)關系

【變式6-2］（2022春?梁子湖區(qū)期末）水龍頭關閉不嚴會造成漏水浪費，已知漏水量與漏水時間之間滿足

一次函數(shù)關系，八年級同學進行了以下實驗：在漏水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器，每10分鐘

記錄一次容器中的水量.下表是一位同學的記錄結果，老師發(fā)現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)記錄有較大偏差，它是（）

組別12345

時間t010203040

(min)

水量w12.43.85.26.8

(ml)

A.第2組B.第3組C.第4組D.第5組

【變式6-3］（2022?宣城模擬）某容器有一個進水管和一個出水管，從某時刻開始的前4分鐘內只進水不

出水，在隨后的8分鐘內既進水又出水，12分鐘后關閉進水管，放空容器中的水.已知進水管進水的速

度與出水管出水的速度是兩個常數(shù)，容器內水量），（升）與時間x（分鐘）之間的關系如圖所示.則每分

鐘的出水量為（）

C.9升D.?升

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【題型7幾何圖形問題】

【例7】（2022春?交城縣期末）菜農張大叔要用63米的籬笆圍一個矩形的菜地，已知在菜地的一邊48邊

上留有1米寬的入口.設A8邊的長為-BC邊的長為6則），與x之間的函數(shù)關系式是（）

C.y=63-2xcD.y=-63--1x

【變式7-1］（2022春?阿榮旗期末）已知等腰三角形周長為20

（1）寫出底邊長），關于腰長x的函數(shù)解析式（x為自變量）；

（2）寫出自變量的取值范圍;

（3）在直角坐標系中，畫出函數(shù)圖象.

【變式7-2］（2022秋?富民縣校級期末）如圖，正方形/WCO的邊長為6cm,動點P從A點出發(fā)，在正方

形的邊上由A=3=C=O運動，設運動的時間為，（s）,戶。的面積為S（。層），S與I的函數(shù)圖象如

圖所示，請回答下列問題:

（1）點P在48上運動的速度為,在C。上運動的速度為

（2）求出點戶在CO上時S與/的函數(shù)關系式;

（3），為何值時，△APD的面積為lOcm2?

【變式7-3]（2022春?泰和縣期末）如圖1是一個大型的圓形花壇建筑物（其中AB與CD是一對互相垂

直的直徑），小川從圓心。出發(fā)，按圖中箭頭所示的方向勻速散步，并保持同一個速度走完下列三條線

珞：①線段OA、②圓弧A-Q-B-C、③線段CO后，回到出發(fā)點.記小川所在的位置距離出發(fā)點的距

離為），（即所在位置與點。之間線段的長度）與時間，之間的圖象如圖2所示，（注：圓周率兀取近似

值3）

（1）a=,b=.

（2）當fW2時，試求出），關于，的關系式：

（3）在沿途某處小川遇見了他的好朋友小翔并聊了兩分鐘的時間，然后繼續(xù)保持原速回到終點。，請回

答下列兩小問：

①小川渝小翔的聊天地點位于哪兩點之間？并求出此時他距離終點。還有多遠；

②求他此行總共花了多少分鐘的時間.

【題型8其他問題】

【例8】（2022春?昌平區(qū)期末）某旅客攜帶上（公斤）的行李乘飛機，登機前，旅客可選擇托運或快遞行

李，托運費V（元）與行李質量x（公斤）的對應關系由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定，下表列出了快

遞費”（元）與行李質量上（公斤）的對應關系，

行李的質量x（公斤）快遞費

不超過1公斤10元

超過I公斤但不超過5公斤的3元/公斤

部分

超過5公斤但不超過15公斤的5元/公斤

部分

（1）如果旅客選擇托運，求可攜帶的免費行李的最大質量為多少公斤？

（2）如果旅客選擇快遞，當時，求快遞費》（元）與行李質量x（公斤）的函數(shù)關系式；

（3）某旅客攜帶25公斤的行李，設托運〃？（公斤）行李（10W，〃V24,為正整數(shù)），剩下的行李選

擇快遞，加為何值時，