2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)學(xué)案含解析新人教B版必修5

PAGEPAGE12第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)利用等差數(shù)列性質(zhì)簡(jiǎn)化求和運(yùn)算.2.會(huì)利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求最值．學(xué)問點(diǎn)一等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)性質(zhì)1等差數(shù)列中依次k項(xiàng)之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列性質(zhì)2若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N＋)，則S2n－1＝(2n－1)an(an是數(shù)列的中間項(xiàng))，S奇－S偶＝an，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n－1,n)(S奇≠0)性質(zhì)3{an}為等差數(shù)列?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列思索若{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差數(shù)列？假如是，公差是多少？答案(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差為9d的等差數(shù)列．學(xué)問點(diǎn)二等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征1．公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)可化成關(guān)于n的表達(dá)式：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.當(dāng)d≠0時(shí)，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))確定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱軸的自然數(shù)時(shí)，Sn取到最值．1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和肯定是常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于n的二次函數(shù)．(×)2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差為2A.(√)3．若等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差為eq\f(d,2).(√)4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則{an}不是等差數(shù)列．(√)題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m；(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．解(1)方法一在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差數(shù)列中，eq\f(Sm,m)，eq\f(S2m,2m)，eq\f(S3m,3m)成等差數(shù)列，∴eq\f(2S2m,2m)＝eq\f(Sm,m)＋eq\f(S3m,3m).即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a9,\f(1,2)b1＋b9)＝eq\f(\f(9a1＋a9,2),\f(9b1＋b9,2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(7×9＋2,9＋3)＝eq\f(65,12).反思感悟等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，假如運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果．跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，求前110項(xiàng)之和．解設(shè)Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(102a＋10b＝100，,1002a＋100b＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(11,100)，,b＝\f(111,10).))∴Sn＝－eq\f(11,100)n2＋eq\f(111,10)n.∴S110＝－eq\f(11,100)×1102＋eq\f(111,10)×110＝－110.題型二求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題例2在等差數(shù)列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．解方法一∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋eq\f(99－1,2)d＝17×25＋eq\f(1717－1,2)d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝－2n＋27≥0，,an＋1＝－2n＋1＋27≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)，))又∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d＝－2.設(shè)Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函數(shù)f(x)＝Ax2＋Bx的對(duì)稱軸為x＝eq\f(9＋17,2)＝13，且開口方向向下，∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn取得最大值169.反思感悟(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最大(小)值的情形：①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即全部非負(fù)項(xiàng)之和．②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即全部非正項(xiàng)之和．(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法①找尋正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來找尋．②運(yùn)用二次函數(shù)求最值．跟蹤訓(xùn)練2已知等差數(shù)列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取得最大值？解(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)．(2)方法一由(1)知，a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋eq\f(nn－1,2)·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．方法二由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是遞減數(shù)列．令an≥0，則11－2n≥0，解得n≤eq\f(11,2).∵n∈N＋，∴n≤5時(shí)，an>0，n≥6時(shí)，an<0.∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．題型三求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和例3若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當(dāng)n≤4時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝13n＋eq\f(nn－1,2)×(－4)＝15n－2n2；當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(13＋1×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N＋，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N＋.))反思感悟等差數(shù)列的各項(xiàng)取肯定值后組成數(shù)列{|an|}．若原等差數(shù)列{an}中既有正項(xiàng)，也有負(fù)項(xiàng)，那么{|an|}不再是等差數(shù)列，求和關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)處的n值，再分段求和．跟蹤訓(xùn)練3已知等差數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2＝16，S4＝24，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.解設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S2＝16，S4＝24，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋\f(2×1,2)d＝16，,4a1＋\f(4×3,2)d＝24，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝16，,2a1＋3d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))所以等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n(n∈N＋)．由an≥0，解得n≤5eq\f(1,2)，則①當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5且n∈N＋，,n2－10n＋50，n≥6且n∈N＋.))用數(shù)形結(jié)合思想求解數(shù)列中的參數(shù)問題典例在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))解析方法一由當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn最大，知a8＞0且a9＜0，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＋7d＞0，,7＋8d＜0，))解得－1＜d＜－eq\f(7,8)，故d的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8))).方法二Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.對(duì)稱軸為eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2))))＝eq\f(1,2)－eq\f(a1,d)，∵n＝8時(shí)，Sn取最大值．∴7.5＜eq\f(1,2)－eq\f(a1,d)＜8.5，即－8＜eq\f(7,d)＜－7，∴d∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8))).[素養(yǎng)評(píng)析]利用數(shù)形結(jié)合抓住事物本質(zhì)，解決問題才能思路清楚，方法簡(jiǎn)捷，等差數(shù)列{an}(a1>0，d<0或a1<0，d>0)中，an＝dn＋(a1－d)，其圖象為y＝dx＋(a1－d)上的一系列點(diǎn)，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x軸最近的兩個(gè)點(diǎn)；Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，其圖象為y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上的一系列點(diǎn)．要求Sn的最大(小)值，只需找出距對(duì)稱軸最近的點(diǎn).1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()A．13B．35C．49D．63答案C解析S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝7·eq\f(a2＋a6,2)＝7·eq\f(3＋11,2)＝49.2．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7等于()A．12B．13C．14D．15答案B解析∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故選B.3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B解析∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6－S3，S9－S6構(gòu)成等差數(shù)列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，則Sn取得最小值時(shí)n的值為()A．5B．6C．7D．8答案B解析由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，得eq\f(a1,d)＝－eq\f(17,3).又a9>a5，所以d>0，a1<0.因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,2)－eq\f(a1,d)＝eq\f(1,2)＋eq\f(17,3)＝eq\f(37,6)，取最接近的整數(shù)6，故Sn取得最小值時(shí)n的值為6.5．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，則ap－aq＝________.答案20解析由Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝2n2＋3n知公差d＝4，∴ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，有下面幾種常見變形(1)Sn＝n·eq\f(a1＋an,2)；(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n；(3)eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差為\f(d,2)的等差數(shù)列)).2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要留意n∈N＋，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定n的值，更加直觀．(2)通項(xiàng)法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時(shí)，Sn取得最小值．3．求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的肯定值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).一、選擇題1．已知數(shù)列{an}滿意an＝26－2n，則使其前n項(xiàng)和Sn取最大值的n的值為()A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案D解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋25n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))2＋eq\f(625,4).∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大，故選D.2．等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此數(shù)列前20項(xiàng)的和為()A．160B．180C．200D．220答案B解析由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.3．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1答案B解析∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的形式為Sn＝An2＋Bn，∴λ＝－1.4．在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S2011＝S2024，Sk＝S2008，則正整數(shù)k為()A．2024 B．2024C．2024 D．2024答案C解析因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以由二次函數(shù)的對(duì)稱性及S2011＝S2016，Sk＝S2008，可得eq\f(2011＋2016,2)＝eq\f(2008＋k,2)，解得k＝2019.故選C.5．若數(shù)列{an}滿意：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A．6B．7C．8D．9答案B解析因?yàn)閍n＋1－an＝－3，所以數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè)前k項(xiàng)和最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3k＋1≤0，))即eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3).因?yàn)閗∈N＋，所以k＝7.故滿意條件的n的值為7.6．已知{an}為項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為()A.eq\f(2n＋1,n)B.eq\f(n＋1,n)C.eq\f(n－1,n)D.eq\f(n＋1,2n)答案B解析S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)，S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).7．已知等差數(shù)列{an}中，a1009＝4，S2024＝2024，則S2024等于()A．－2024 B．2024C．－4038 D．4038答案C解析因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S2018＝1009(a1＋a2018)＝1009(a1009＋a1010)＝2018，則a1009＋a1010＝2.又a1009＝4，所以a1010＝－2，則S2019＝eq\f(2019a1＋a2019,2)＝2019a1010＝－4038.8．設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若對(duì)隨意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，則k的值為()A．22B．21C．20D．19答案C解析二、填空題9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，則它的通項(xiàng)公式是______________________．答案an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2，n∈N＋))解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2，n∈N＋.))10．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4＝1，S5＝10，則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為________．答案4或5解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝1，,S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝－1，))∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同時(shí)最大．∴n＝4或5.11．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)(n∈N＋)，則eq\f(a7,b7)＋eq\f(a9,b11)＝________.答案eq\f(46,3)解析設(shè)An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，則n≥2，n∈N＋時(shí)，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，則eq\f(a7,b7)＝eq\f(k14×7＋38,k2×7＋2)＝eq\f(17,2)，eq\f(a9,b11)＝eq\f(k14×9＋38,k2×11＋2)＝eq\f(41,6)，所以eq\f(a7,b7)＋eq\f(a9,b11)＝eq\f(17,2)＋eq\f(41,6)＝eq\f(46,3).三、解答題12．設(shè)等差數(shù)列{an}滿意a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的自然數(shù)n的值．解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n，n∈N＋.(2)由(1)知，Sn＝na1＋