平面與平面垂直高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6

空間直線、平面的垂直課時4

平面與平面垂直1.借助長方體，通過直觀感知，理解空間中平面與平面的垂直關系.（直觀想象）2.了解二面角的相關概念，平面與平面垂直的定義.（數(shù)學抽象）3.歸納出平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.（邏輯推理）1.二面角的定義是什么？[答案]

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.2.二面角的平面角的定義是什么？

4.面面垂直是怎樣定義的？[答案]

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.5.面面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？[答案]

如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.6.面面垂直的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？[答案]

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.1.判斷下列結論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）

二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.(

)

√（2）

組成二面角的平面角的兩邊所在直線確定的平面與二面角的棱垂直.(

)

√

√（4）

若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則該直線也垂直于另一個平面.(

)

√

CA.平行

B.可能重合

C.垂直

D.相交但不垂直

平行

.

探究1

二面角的概念

隨手打開一本書，每兩頁書之間所在的平面都形成一個角度；修水壩時，為了使水壩堅固耐用，必須使水壩面與水平面成適當?shù)慕嵌?問題1:

根據(jù)上述問題，你發(fā)現(xiàn)兩個半平面形成的角有何特點？[答案]

可以是零角、銳角、直角、鈍角、平角.

問題3:

二面角的平面角的大小是否與角的頂點在棱上的位置有關？

1.二面角的定義:從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形.相關概念:①這條直線叫作二面角的____；②兩個半平面叫作二面角的____.兩個半平面棱面2.二面角的畫法:

首先根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，然后解三角形，求二面角的余弦值.

方法總結

求二面角的大小關鍵是作出該二面角的平面角，求二面角的大小的步驟:（1）找出這個平面角；（2）證明這個角是二面角的平面角；（3）作出這個角所在的三角形，解這個三角形，求出角的大小.

探究2

平面與平面垂直的判定

建筑工地上，泥水匠砌墻時，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直.問題1:

由上述可知,當直線與平面垂直時，過此直線可作無數(shù)個平面，那么這些平面與已知平面有何關系？[答案]

垂直.問題2:

若要判斷兩個平面是否垂直，根據(jù)上述問題能否得出一個方法？[答案]

可以，只需在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面即可.

垂線

（3）圖形語言:特別提醒:平面與平面垂直的判定定理告訴我們，證明兩個平面垂直的問題可以轉化為證明直線與平面垂直的問題，進而轉化為證明線線垂直的問題.通常我們將其記為“若線面垂直，則面面垂直”.

方法總結

證明面面垂直的方法

（1）定義法:證明兩個半平面所成的二面角是直二面角.

（2）判定定理法:在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”.

（3）性質(zhì)法:若兩個平行平面中的一個平面垂直于第三個平面，則另一個平面也垂直于此平面.

探究3

平面與平面垂直的性質(zhì)

教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.問題1:

在黑板上任意畫的一條線與地面垂直嗎？[答案]

不一定，也可能平行、相交（不垂直）.問題2:

怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直？[答案]

只要保證所畫的線與兩平面的交線垂直即可.問題3:

如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有什么位置關系呢？如果直線和它們的交線垂直，那么這條直線和另一個平面垂直嗎？[答案]

平行或相交；如果直線和它們的交線垂直，那么這條直線和另一個平面垂直.

平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果____________有一直線垂直于這兩個平面的______，那么這條直線與另一個平面______符號語言___________________________________________

一個平面內(nèi)交線垂直圖形語言_______________________________作用線面續(xù)表

方法總結

證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮使用面面垂直的性質(zhì)定理.

利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問