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文檔簡介
第八章立體幾何初步8.6
空間直線、平面的垂直課時4
平面與平面垂直1.借助長方體,通過直觀感知,理解空間中平面與平面的垂直關系.(直觀想象)2.了解二面角的相關概念,平面與平面垂直的定義.(數(shù)學抽象)3.歸納出平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.(邏輯推理)1.二面角的定義是什么?[答案]
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.2.二面角的平面角的定義是什么?
4.面面垂直是怎樣定義的?[答案]
一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.5.面面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么?[答案]
如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直.6.面面垂直的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么?[答案]
兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)
二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.(
)
√(2)
組成二面角的平面角的兩邊所在直線確定的平面與二面角的棱垂直.(
)
√
√(4)
若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線也垂直于另一個平面.(
)
√
CA.平行
B.可能重合
C.垂直
D.相交但不垂直
平行
.
探究1
二面角的概念
隨手打開一本書,每兩頁書之間所在的平面都形成一個角度;修水壩時,為了使水壩堅固耐用,必須使水壩面與水平面成適當?shù)慕嵌?問題1:
根據(jù)上述問題,你發(fā)現(xiàn)兩個半平面形成的角有何特點?[答案]
可以是零角、銳角、直角、鈍角、平角.
問題3:
二面角的平面角的大小是否與角的頂點在棱上的位置有關?
1.二面角的定義:從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形.相關概念:①這條直線叫作二面角的____;②兩個半平面叫作二面角的____.兩個半平面棱面2.二面角的畫法:
首先根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角,然后解三角形,求二面角的余弦值.
方法總結
求二面角的大小關鍵是作出該二面角的平面角,求二面角的大小的步驟:(1)找出這個平面角;(2)證明這個角是二面角的平面角;(3)作出這個角所在的三角形,解這個三角形,求出角的大小.
探究2
平面與平面垂直的判定
建筑工地上,泥水匠砌墻時,為了保證墻面與地面垂直,泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,如圖,這樣就能保證墻面與地面垂直.問題1:
由上述可知,當直線與平面垂直時,過此直線可作無數(shù)個平面,那么這些平面與已知平面有何關系?[答案]
垂直.問題2:
若要判斷兩個平面是否垂直,根據(jù)上述問題能否得出一個方法?[答案]
可以,只需在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面即可.
垂線
(3)圖形語言:特別提醒:平面與平面垂直的判定定理告訴我們,證明兩個平面垂直的問題可以轉化為證明直線與平面垂直的問題,進而轉化為證明線線垂直的問題.通常我們將其記為“若線面垂直,則面面垂直”.
方法總結
證明面面垂直的方法
(1)定義法:證明兩個半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”.
(3)性質(zhì)法:若兩個平行平面中的一個平面垂直于第三個平面,則另一個平面也垂直于此平面.
探究3
平面與平面垂直的性質(zhì)
教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直.問題1:
在黑板上任意畫的一條線與地面垂直嗎?[答案]
不一定,也可能平行、相交(不垂直).問題2:
怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直?[答案]
只要保證所畫的線與兩平面的交線垂直即可.問題3:
如果兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有什么位置關系呢?如果直線和它們的交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直嗎?[答案]
平行或相交;如果直線和它們的交線垂直,那么這條直線和另一個平面垂直.
平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直,如果____________有一直線垂直于這兩個平面的______,那么這條直線與另一個平面______符號語言___________________________________________
一個平面內(nèi)交線垂直圖形語言_______________________________作用線面續(xù)表
方法總結
證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直,故可考慮使用面面垂直的性質(zhì)定理.
利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問
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