第08講直線與橢圓雙曲線拋物線精講（原卷版）

第08講直線與橢圓、雙曲線、拋物線目錄TOC\o"12"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系 4高頻考點二：根據(jù)直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系求參數(shù) 5高頻考點三：相切問題 6高頻考點四：由中點弦確定直線方程 6高頻考點五：由中點弦確定曲線方程（離心率） 8高頻考點六：弦長問題 9高頻考點七：三角形面積（周長）問題 12高頻考點八：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題 14第四部分：數(shù)學(xué)文化題 16第一部分：知識點必背知識點一：直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．知識點二：直線與雙曲線的位置關(guān)系代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；知識點三：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)時,直線與拋物線相切,有一個切點;當(dāng)時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.知識點四：直線與圓錐曲線的相交的弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；第二部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．2．（2023·全國（甲卷文理）·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．3．（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）若直線被圓所截的弦長不小于2，則與下列曲線一定有公共點的是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定例題3．（2023·高二課時練習(xí)）過點P（4，4）且與雙曲線只有一個交點的直線有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條練透核心考點1．（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┲本€與曲線的公共點的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條3．（2023春·上海虹口·高二上海市復(fù)興高級中學(xué)校考期中）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條4．（2023·高二課時練習(xí)）拋物線的焦點為F，A為準線上一點，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能高頻考點二：根據(jù)直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）已知實數(shù)，滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5例題2．（多選）（2023春·江蘇南通·高二期末）雙曲線的離心率為，若過點能作該雙曲線的兩條切線，則可能取值為（

）．A． B． C． D．2例題3．（2023春·湖北武漢·高二武漢市吳家山中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍為.練透核心考點1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）若方程有解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與橢圓有且只有一個交點，則的值是(

)A． B． C． D．3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為F，點，若直線AF與C只有一個交點，則．高頻考點三：相切問題典型例題例題1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標系中，橢圓方程為，為橢圓上的動點，直線的方程為：，則點到直線的距離的最小值為.例題3．（2022秋·高二課時練習(xí)）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是.（寫出符合條件的一個方程即可）練透核心考點1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線與曲線交于不同的兩點，那么的取值范圍是A．（） B．（） C．（） D．（）2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓上點P(1,1)處的切線方程是．3．（2022·高二課時練習(xí)）曲線上點到直線距離的最小值為．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為．高頻考點四：由中點弦確定直線方程典型例題例題1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀E圓內(nèi)有一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標為，則直線的斜率為.例題3．（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與拋物線交于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.例題4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，圓：，雙曲線：．(1)直線與圓有公共點，求的取值范圍；(2)若直線與交于，兩點，且點為的中點，若存在，求出方程，若不存在，請說明理由．練透核心考點1．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）若橢圓的弦AB被點平分.則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）已知拋物線，直線交該拋物線于兩點．若線段的中點坐標為，則直線斜率為（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點作拋物線的弦AB，恰被點Q平分，則弦AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023·高二課時練習(xí)）雙曲線的一條弦的中點為，則此弦所在的直線方程為.5．（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：（）上任意一點到兩個焦點的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于，兩點，點為線段的中點，求直線的方程．高頻考點五：由中點弦確定曲線方程（離心率）典型例題例題1．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標為，則此雙曲線的方程是.練透核心考點1．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，且線段中點的縱坐標為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為.3．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┤魴E圓的中心在原點，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為．4．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為3，則雙曲線的離心率為.高頻考點六：弦長問題典型例題例題1．（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且短軸長為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，求線段的長.例題2．（2023春·浙江杭州·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓的方程為，短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與圓相切，且與橢圓交于，兩點，且，求直線的方程．例題3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎p曲線的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，且恰好為線段的中點，求直線的方程及弦的長.例題4．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上第一象限的一點到其焦點的距離為2．(1)求拋物線的方程和點坐標；(2)過點的直線交拋物線于、，若的角平分線與軸垂直，求弦的長．練透核心考點1．（2023春·山東青島·高二青島二中?？奸_學(xué)考試）若橢圓：過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點.(1)求橢圓的方程；(2)直線過點，且被橢圓截得的線段長為，求直線的方程.2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知雙曲線的焦點為，且其漸近線為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過左焦點作斜率為的弦，求的周長.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考二模）已知拋物線，點為其焦點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．(1)求拋物線的方程；(2)過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點和，點分別為的中點，求的最小值．4．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為4.(1)求實數(shù)的值；(2)若直線過的焦點，與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.高頻考點七：三角形面積（周長）問題典型例題例題1．（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，，離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點，且點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．例題2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，點在軸上滑動，點在軸上滑動，、兩點間距離為．點P滿足，且點的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上的不同兩點，直線斜率存在且與曲線相切，若點為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的一條漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點，，過點的直線交軸于點，若為坐標原點，且面積是面積的倍，求直線的方程例題4．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，圓，過C上一點作的切線，該切線經(jīng)過點．(1)求的方程；(2)若與相切的直線，與相交于，兩點，求面積的最大值．練透核心考點1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，連接并交橢圓于另一點，若的面積為，求直線的方程.2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l交雙曲線于P，Q兩點（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當(dāng)時，求直線l的方程．3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，且，求與面積之和的最小值.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，直線交拋物線于兩點，，，且.(1)求坐標原點到直線的距離的取值范圍；(2)設(shè)直線與軸交于點，過點作與直線垂直的直線交橢圓：于，兩點，求四邊形的面積的最小值.高頻考點八：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題典型例題例題1．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎?，為橢圓的左、右頂點，為橢圓上異于，的一點，直線與直線的斜率之積為，且橢圓C過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線，分別與直線相交于，兩點，且直線與橢圓交于另一點，證明：，，三點共線．例題2．（2023春·海南·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：的離心率為，點，，分別是橢圓的左、右、上頂點，是的左焦點，坐標原點到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍