2026版《優(yōu)化設(shè)計大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計新高考版）第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點(diǎn)20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.古典概型、排列組合T3T6

T5T5T13T3T14T142.二項(xiàng)式定理

T13

3.正態(tài)分布、相互獨(dú)立

T8T6

T13

T12T9

4.概率分布列、期望、方差

T18T21

T19T21

T18優(yōu)化備考策略考情分析:從近五年高考試題及新的試卷結(jié)構(gòu)來看,對本章的考查多為“1小1大”,若解答題考查統(tǒng)計案例,則本章知識多命制兩道小題;從考查內(nèi)容上看,選擇、填空題中主要考查排列組合、二項(xiàng)式定理、古典概型、條件概率等,側(cè)重基礎(chǔ)性考查.試題以探索創(chuàng)新情境和生活實(shí)踐情境為主,解答題常結(jié)合排列組合知識考查離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征等,其中獨(dú)立事件、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布更是考查的重點(diǎn).綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).復(fù)習(xí)策略:1.概率統(tǒng)計部分是新教材與舊教材差別最大的一部分內(nèi)容,將條件概率問題前置,增加了全概率公式、貝葉斯公式,細(xì)化了超幾何分布的相應(yīng)內(nèi)容.要結(jié)合新教材與高考試題變化的規(guī)律特點(diǎn),以教材為抓手,立足基本概念、基本原理、基本模型的系統(tǒng)復(fù)習(xí).2.本部分題目多以實(shí)際問題為背景,要加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀技能、數(shù)學(xué)運(yùn)算技能以及數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模能力.抓住材料本質(zhì),提煉關(guān)鍵內(nèi)容,通過數(shù)學(xué)建模達(dá)到處理題目信息的目的.3.提升運(yùn)算正確率,理清幾種特殊分布,尤其是二項(xiàng)分布和超幾何分布,平時多注意數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練,力求會的題目做對.課標(biāo)解讀1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”.2.能利用兩個原理解決一些簡單的實(shí)際問題.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識梳理兩個計數(shù)原理

類類獨(dú)立,不重不漏

步步相依,步驟完整名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N=

種不同的方法

完成這件事共有N=

種不同的方法

依據(jù)能否獨(dú)立完成整件事能否逐步完成整件事m+nm×n名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理推廣完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法[教材知識深化]1.分類加法計數(shù)原理中,完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的.從集合角度看,如果完成一件事有A,B兩類方案,集合A與B的交集為空集,在A中有m1個元素(m1種方法),在B中有m2個元素(m2種方法),則完成這件事的不同方法的種數(shù)即為集合A∪B中元素的個數(shù),即m1+m2.2.分步乘法計數(shù)原理中,必須且只需連續(xù)完成n個步驟后才能完成這件事,各個步驟之間不重復(fù)、不遺漏.自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的每種方法都能直接完成這件事.(

)(2)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)√√×2.(人教B版選擇性必修第二冊3.1.1節(jié)練習(xí)B第3題改編)已知n是一個小于10的正整數(shù),且由集合A={x|x∈N*,x≤n}中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共20個,則n的值為

.5解析

第一步:排十位上的數(shù),有n種方法.第二步:排個位上的數(shù),有(n-1)種方法.由n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去),故n的值是5.二、連線高考3.(2023·全國乙,理7)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A.30種

B.60種

C.120種 D.240種C

4.(2015·四川,理6)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A.144個 B.120個

C.96個

D.72個B

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理例1(1)甲、乙、丙三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有(

)A.4種

B.6種

C.10種

D.16種B解析

分兩類:甲第一次踢給乙時,有3種滿足條件的傳遞方式(如圖);同理,甲第一次踢給丙時,滿足條件的也有3種傳遞方式,由分類加法計數(shù)原理,可知不同傳遞方式的種數(shù)為3+3=6.故選B.(2)(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)將一顆正方體骰子連續(xù)拋擲三次,向上的點(diǎn)數(shù)依次為x1,x2,x3,則x1≤x2≤x3的樣本點(diǎn)共有

個.56解析

考慮取定x1的值,分類統(tǒng)計事件“x1≤x2≤x3”所含的樣本點(diǎn)數(shù),將x2,x3對應(yīng)的值作為一個數(shù)組,列表如下.(x2,x3)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)當(dāng)x1=1時,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有6+5+4+3+2+1=21(個);當(dāng)x1=2時,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有5+4+3+2+1=15(個);當(dāng)x1=3時,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有4+3+2+1=10(個);當(dāng)x1=4時,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有3+2+1=6(個);當(dāng)x1=5時,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有2+1=3(個);當(dāng)x1=6時,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有1個.由分類加法計數(shù)原理,滿足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)共有21+15+10+6+3+1=56(個).

10解析

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以m>n,以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類,分為四類.當(dāng)m=5時,使m>n,n有4種選擇;當(dāng)m=4時,使m>n,n有3種選擇;當(dāng)m=3時,使m>n,n有2種選擇;當(dāng)m=2時,使m>n,n有1種選擇.由分類加法計數(shù)原理,符合條件的橢圓共有4+3+2+1=10(個).考點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理例2(1)(2023·全國甲,理9)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(

)A.120種 B.60種

C.30種

D.20種B

(2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項(xiàng)目,每項(xiàng)恰好報一人,且每人至多參加一項(xiàng),則共有

種不同的報名方法.120解析

每項(xiàng)限報一人,且每人至多參加一項(xiàng),因此可由項(xiàng)目選人,第一個項(xiàng)目有6種選法,第二個項(xiàng)目有5種選法,第三個項(xiàng)目有4種選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有6×5×4=120(種).變式探究1本例(2)中若將條件“每項(xiàng)恰好報一人,且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每人恰好參加一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限”,則有多少種不同的報名方法?解

每人都可以從這三個比賽項(xiàng)目中選報一項(xiàng),各有3種不同的報名方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有36=729(種).變式探究2本例(2)中若將條件“每項(xiàng)恰好報一人,且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)恰好報一人,但每人參加的項(xiàng)目不限”,則有多少種不同的報名方法?解

每人參加的項(xiàng)目不限,因此每一個項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參加,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有63=216(種).考點(diǎn)三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1

與數(shù)字有關(guān)的問題例3(2024·山東聊城模擬)從0~6這7個數(shù)字中取出4個數(shù)字,試問:(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?(2)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(3)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且個位不是5的四位數(shù)?解

(1)第一步:千位不能為0,有6種選擇;第二步:百位可以從剩余數(shù)字中選,有6種選擇;第三步:十位可以從剩余數(shù)字中選,有5種選擇;第四步:個位可以從剩余數(shù)字中選,有4種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,能組成6×6×5×4=720(個)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(2)要使四位數(shù)為偶數(shù),則其個位為0,2,4,6.第一類:當(dāng)個位數(shù)字是0時,沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有6×5×4=120(個);第二類:當(dāng)個位數(shù)字是2時,千位不能為0,沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有5×5×4=100(個);第三類:當(dāng)個位數(shù)字是4時,千位不能為0,沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有5×5×4=100(個);第四類:當(dāng)個位數(shù)字是6時,千位不能為0,沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有5×5×4=100(個).根據(jù)分類加法計數(shù)原理,能組成120+100+100+100=420(個)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).(3)當(dāng)個位是0時,有6×5×4=120(種)排法;當(dāng)個位不是0時,有5×5×5×4=500(種)排法,由分類加法計數(shù)原理,可得符合