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云南省麗江市古城二中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為A. B. C. D.2.已知點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離是,則的值是()A. B. C. D.3.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子,骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為,,則滿足的概率為()A. B. C. D.4.已知橢圓(為參數(shù))與軸正半軸,軸正半軸的交點(diǎn)分別為,動(dòng)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn),則面積的最大值為()A. B. C. D.5.某市委積極響應(yīng)十九大報(bào)告提出的“到2020年全面建成小康社會(huì)”的目標(biāo),鼓勵(lì)各縣積極脫貧,計(jì)劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)中的杰出村代表,已知A,B兩個(gè)貧困縣各有15名村代表,最終A縣有5人表現(xiàn)突出,B縣有3人表現(xiàn)突出,現(xiàn)分別從A,B兩個(gè)縣的15人中各選1人,已知有人表現(xiàn)突出,則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是()A. B. C. D.6.將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A. B.C. D.7.復(fù)數(shù)滿足,且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知命題,,命題q:若恒成立,則,那么()A.“”是假命題 B.“”是真命題C.“”為真命題 D.“”為真命題9.一次考試中,某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布,若,則該班數(shù)學(xué)成績(jī)的及格(成績(jī)達(dá)到分為及格)率可估計(jì)為()A. B. C. D.10.已知集合2,,3,,則A. B. C. D.2,3,11.五個(gè)人站成一排,其中甲乙相鄰的站法有()A.18種 B.24種 C.48種 D.36種12.下列命題中不正確的是()A.空間中和兩條相交直線都平行的兩個(gè)平面平行B.空間中和兩條異面直線都平行的兩個(gè)平面平行C.空間中和兩條平行直線都垂直的兩個(gè)平面平行D.空間中和兩條平行直線都平行的兩個(gè)平面平行二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列,則的所有值為________.14.將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為_________.15.試寫出的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)_____.16.已知函數(shù),若對(duì)任意,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若,解關(guān)于的不等式.18.(12分)如圖,點(diǎn)在以為直徑的圓上,垂直與圓所在平面,為的垂心(1)求證:平面平面;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為,點(diǎn)與點(diǎn)分別為橢圓的上頂點(diǎn)與左焦點(diǎn),且的面積為(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求的方程;(2)直線過且與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,求面積的最大值.20.(12分)長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康,某校為了解A,B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng),分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)作為樣本數(shù)據(jù),繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字).如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)大于21小時(shí),則稱為“過度用網(wǎng)”(1)請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),分別估計(jì)A,B兩班的學(xué)生平均每周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)的平均值;(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù),求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率;(3)從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù),記“過度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為,寫出的分布列和數(shù)學(xué)期望E.21.(12分)(1)求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù);(2)某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口,每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù),要求寫出計(jì)算過程.22.(10分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:,,,據(jù)此可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.2、B【解析】
利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式,求解即可得出的值.【詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為,因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5.所以解得.故選:B.本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),還結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解.3、B【解析】
先化簡(jiǎn),得到或.利用列舉法和古典概型概率計(jì)算公式可計(jì)算出所求的概率.【詳解】由,有,得或,則滿足條件的為,,,,,,,,,所求概率為.故選B.本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,考查列舉法求得古典概型概率有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】分析:根據(jù)橢圓的方程算出A(4,1)、B(1,3),從而得到|AB|=5且直線AB:3x+4y﹣12=1.設(shè)點(diǎn)P(4cosθ,3sinθ),由點(diǎn)到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|,結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=(),由此結(jié)合三角形面積公式,即可得到△PAB面積的最大值.詳解:由題得橢圓C方程為:,∴橢圓與x正半軸交于點(diǎn)A(4,1),與y正半軸的交于點(diǎn)B(1,3),∵P是橢圓上任一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(4cosθ,3sinθ)(θ∈[1,2π])∴點(diǎn)P到直線AB:3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|,由此可得:當(dāng)θ=時(shí),dmax=()∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6().點(diǎn)睛:(1)本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力計(jì)算能力.(2)對(duì)于|sin﹣1|,不是sin=1時(shí),整個(gè)函數(shù)取最大值,而應(yīng)該是sin=-1,要看后面的“-1”.5、B【解析】
由古典概型及其概率計(jì)算公式得:有人表現(xiàn)突出,則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是,得解.【詳解】由已知有分別從,兩個(gè)縣的15人中各選1人,已知有人表現(xiàn)突出,則共有種不同的選法,又已知有人表現(xiàn)突出,且縣選取的人表現(xiàn)不突出,則共有種不同的選法,已知有人表現(xiàn)突出,則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選:B.本題考查條件概率的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意與古典概率模型的聯(lián)系.6、A【解析】
利用代入法,即可得到伸縮變換的曲線方程.【詳解】∵伸縮變換,∴xx′,yy′,代入曲線y=sin2x可得y′=3sinx′故選:A.本題考查代入法求軌跡方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).7、C【解析】
首先化簡(jiǎn),通過所對(duì)點(diǎn)在第四象限建立不等式組,得到答案.【詳解】根據(jù)題意得,,因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以,解得,故選C.本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)的幾何意義,難度不大.8、D【解析】
分別判斷命題的真假性,然后再判斷每個(gè)選項(xiàng)的真假【詳解】,即不存在,命題是假命題若恒成立,⑴時(shí),,即符合條件⑵時(shí),則解得,則命題為真命題故是真命題故選本題考查了含有“或”“且”“非”命題的真假判定,只需將命題的真假進(jìn)行判定出來即可,需要解答一元二次不等式,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
由題意得出正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱,由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得知所求概率為可得出結(jié)果.【詳解】由題意,得,又,所以,故選B.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算,解題時(shí)要充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率來計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.10、B【解析】
直接根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?,,3,,所以,根據(jù)交集的定義可得,故選B.研究集合問題,一定要抓住元素,看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí),關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系,本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.11、C【解析】
將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他元素進(jìn)行排列,再乘即可得出結(jié)論.【詳解】五個(gè)人站成一排,其中甲乙相鄰,將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他3人進(jìn)行排列,再考慮甲乙順序?yàn)?,故共種站法.故選:C.本題考查排列組合的應(yīng)用,求排列組合常用的方法有:元素優(yōu)先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等,解決排列組合問題對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高,本題屬于簡(jiǎn)單題.12、D【解析】
作出幾何體,根據(jù)圖像,結(jié)合線面、面面間的關(guān)系,即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖,m∥n,且m,n與底面α、左面β都平行,但α、β相交,所以,D不正確.由面面平行的判定可知A、B、C都正確.故選D本主要考查空間中,直線、平面間的位置關(guān)系,熟記線面、面面位置關(guān)系,即可求出結(jié)果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3,4【解析】
先設(shè)等差數(shù)列公差為,根據(jù)題意求出公差,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,因?yàn)椋?,,成等比?shù)列,所以,即,解得或.所以或.故答案為3,4本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算,熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】
試題分析:由題意得,,所以直角坐標(biāo)為故答案為:考點(diǎn):極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.15、【解析】
Tr+1=(﹣1)rx7﹣2r,r必須為偶數(shù),分別令r=0,2,4,6,經(jīng)過比較即可得出【詳解】,r必須為偶數(shù),分別令r=0,2,4,6,其系數(shù)分別為:1,,,經(jīng)過比較可得:r=4時(shí)滿足條件,故答案為:.本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先將對(duì)任意,恒成立,轉(zhuǎn)化為,利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性,分別研究對(duì)任意恒成立,和對(duì)任意恒成立,即可求出結(jié)果.【詳解】等價(jià)于,即,①先研究對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立,∵,當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào),∴;②再研究對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立,∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,∴;綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.本題主要考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍,熟記基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可,屬于??碱}型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
本題是含有參數(shù)的解不等式,可以先將不等式轉(zhuǎn)化為的形式,再通過分類討論參數(shù)得出解.【詳解】時(shí),且;時(shí),等價(jià)于因?yàn)?,所以,所以不等式可化?jiǎn)為當(dāng)時(shí),或.當(dāng)時(shí),,或綜上所述,時(shí),且;0時(shí)或時(shí),或}在解含有參數(shù)的不等式的時(shí)候,一定要注意參數(shù)的取值范圍并進(jìn)行分類討論.18、(1)見解析(2).【解析】試題分析:(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn),由重心性質(zhì)及中位線性質(zhì)可得,再結(jié)合圓的性質(zhì)得,由已知,可證平面,進(jìn)一步可得平面平面(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),,,方向分別為,,軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),利用二面角與二個(gè)半平面的法向量的夾角間的關(guān)系可求二面角的余弦值.試題解析:(1)如圖,延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)闉榈闹匦?,所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.因?yàn)槭菆A的直徑,所以,所以.因?yàn)槠矫?,平面,所?又平面,平面=,所以平面.即平面,又平面,所以平面平面.(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),,,方向分別為,,軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,則,.平面即為平面,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則令,得.過點(diǎn)作于點(diǎn),由平面,易得,又,所以平面,即為平面的一個(gè)法向量.在中,由,得,則,.所以,.所以.設(shè)二面角的大小為,則.點(diǎn)睛:若分別二面角的兩個(gè)半平面的法向量,則二面角的大小滿足,二面角的平面角的大小是的夾角(或其補(bǔ)角,需根據(jù)觀察得出結(jié)論).在利用向量求空間角時(shí),建立合理的空間直角坐標(biāo)系,正確寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量是解題的關(guān)鍵.19、(1);(2)見解析.【解析】分析:(1)由題意得,,即可求出答案;(2)設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線方程與橢圓方程,由韋達(dá)定理表述出,,又,化簡(jiǎn)整理即可.詳解:(1)∵的面積為,∴,即.又∵橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為,∴,即.∴,∴∴,∴的方程為.(2)由題意可知,點(diǎn)為的中點(diǎn),則.設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,∴,∴∴設(shè),則∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),取得最大值.點(diǎn)睛:有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)、面積問題的求解方法(1)涉及弦長(zhǎng)的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng);涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算;涉及過焦點(diǎn)的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解.(2)面積問題常采用S△=×底×高,其中底往往是弦長(zhǎng),而高用點(diǎn)到直線距離求解即可,選擇底很重要,選擇容易坐標(biāo)化的弦長(zhǎng)為底.有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置,靈活選擇其面積表達(dá)形式.若求多邊形的面積問題,常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解.(3)在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時(shí),應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.20、(1)19小時(shí);22小時(shí).(2)(3)分布列見詳解;.【解析】
(1)根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式,分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可;(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求得;(3)根據(jù)題意寫出的取值范圍,再根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得對(duì)應(yīng)概率,寫出分布列,根據(jù)分布列求得期望.【詳解】(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為,由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間19小時(shí);B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為,由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間22小時(shí).(2)因?yàn)閺腁班的6個(gè)樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)的數(shù)據(jù),為“過度用網(wǎng)”的概率是,根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式:從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回的抽取2個(gè)的數(shù)據(jù),恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率:.(3)的可能取值為0,1,2,3,4.,,,,.的分布列是:01234P.本題考查根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的平均值,離散型隨機(jī)變量的分布列求解以及根據(jù)分布列求解數(shù)學(xué)期望,屬綜合中檔題.21、(1)56;(
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