浙江省之江教育評(píng)價(jià)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

浙江省之江教育評(píng)價(jià)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合為，樣本中心點(diǎn)為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（）A． B． C． D．2．若均為單位向量，且，則的最小值為（）A． B．1 C． D．3．若函數(shù)為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，則的一個(gè)值為（）A． B． C． D．4．若6名男生和9名女生身高（單位：）的莖葉圖如圖，則男生平均身高與女生身高的中位數(shù)分別為()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，1685．若均為非負(fù)整數(shù)，在做的加法時(shí)各位均不進(jìn)位（例如，），則稱(chēng)為“簡(jiǎn)單的”有序?qū)ΓQ(chēng)為有序數(shù)對(duì)的值，那么值為2964的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是（）A．525 B．1050 C．432 D．8646．設(shè)全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，則實(shí)數(shù)a的值為()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或87．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．8．設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，圓心為C，若為直角三角形，則（）A．0 B．2 C．4 D．0或49．某公司的班車(chē)在7:30，8:00，8:30發(fā)車(chē)，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是A． B． C． D．10．等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若則=A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或1011．若函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的值為（）A．和 B．和 C． D．12．在市高二下學(xué)期期中考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，已知，則從全市理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績(jī)小于110分的概率為（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.85二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．5本不同的書(shū)全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為_(kāi)_____.14．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）．15．已知直線的一個(gè)法向量，則直線的傾斜角是_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；16．已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位,則的值是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集是，求的取值范圍.18．（12分）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．19．（12分）一輛汽車(chē)前往目的地需要經(jīng)過(guò)個(gè)有紅綠燈的路口.汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過(guò)），遇到紅燈的概率為（必須停車(chē)）.假設(shè)汽車(chē)只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值.（1）求汽車(chē)在第個(gè)路口首次停車(chē)的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日銷(xiāo)量（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格（單位：元千克）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷(xiāo)售價(jià)格為元/千克時(shí)，每日可售出該商品千克.（1）求的值：（2）若該商品的成本為元千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍．22．（10分）如圖所示是豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇．若有一條豎直線段的為第一層，第二條豎直線段的為第二層，以此類(lèi)推，現(xiàn)有一顆小球從第一層的通道向下運(yùn)動(dòng)，在通道的交叉處，小球可以落入左右兩個(gè)通道中的任意一個(gè)，記小球落入第層的第個(gè)豎直通道（從左向右計(jì)）的不同路徑數(shù)為．（1）求，，的值；（2）猜想的表達(dá)式（不必證明），并求不等式的解集．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，可得，然后代值計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時(shí)，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

∴則當(dāng)與同向時(shí)最大，最小，此時(shí)=，所以=-1，所以的最小值為，故選A點(diǎn)睛：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，考查向量模的求解，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，求出，表示出，由表達(dá)式可判斷當(dāng)與同向時(shí)，最小.3、D【解析】由題意得，∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，故．當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不合題意．當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，符合題意．選D．4、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】6名男生的平均身高為,9名女生的身高按由低到高的順序排列為162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位數(shù)為168.故選:C.本題考查由莖葉圖求平均數(shù)和中位數(shù),難度容易.5、B【解析】分析：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，第一位取法兩種為0，1，2，第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7種，0，1，2，3，4，5，6第四為有5種，0，1，2，3，4根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，第一位取法兩種為0，12第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7種，0，1，2，3，4，5，6第四為有5種，0，1，23，4根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有3×10×7×5=1050個(gè)故答案為：B.點(diǎn)睛：解答排列、組合問(wèn)題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類(lèi)”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無(wú)限制等；(3)“分類(lèi)”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類(lèi)，然后逐類(lèi)解決；(4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問(wèn)題，然后逐步解決．6、D【解析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.詳解：由，且，又集合，實(shí)數(shù)的值為或，故選D.點(diǎn)睛：本題考查補(bǔ)集的定義與應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.7、B【解析】分析：利用乘法分步計(jì)數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點(diǎn)睛：(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．8、D【解析】

是等腰三角形，若為直角三角形，則，求出圓心到直線的距離，則．【詳解】圓心為，半徑為，，∵為直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故選：D.本題考查直線與圓的位置關(guān)系．在直線與圓相交問(wèn)題中垂徑定理常常要用到．9、B【解析】試題分析：由題意，這是幾何概型問(wèn)題，班車(chē)每30分鐘發(fā)出一輛，到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)間總長(zhǎng)度為40，等車(chē)不超過(guò)10分鐘的時(shí)間長(zhǎng)度為20，故所求概率為，選B.【考點(diǎn)】幾何概型【名師點(diǎn)睛】這是全國(guó)卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是確定“測(cè)度”,常見(jiàn)的測(cè)度有長(zhǎng)度、面積、體積等.10、B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列即（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20），代入可求．【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比數(shù)列，且公比為∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即解=20或-10（舍去）故選B．本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)（若Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不為0，則其成等比數(shù)列）的應(yīng)用，注意隱含條件的運(yùn)用11、A【解析】由得函數(shù)一條對(duì)稱(chēng)軸為,因此,由得,選A.點(diǎn)睛：求函數(shù)解析式方法：(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.（4）由求對(duì)稱(chēng)軸12、D【解析】

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性得出，于是可計(jì)算出，于此可得出結(jié)果．【詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可得，因此，，故選D.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性將所求概率轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間概率進(jìn)行計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240.【解析】

先把5本書(shū)取出兩本看做一個(gè)元素，這一元素和其他的三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)，相當(dāng)于在四個(gè)位置全排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】從5本書(shū)中取出兩本看做一個(gè)元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.14、60【解析】，它展開(kāi)式中的第項(xiàng)為，令，則，的系數(shù)為，故答案為.15、【解析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角?！驹斀狻恐本€的一個(gè)法向量，則直線的一個(gè)方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：。本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數(shù)值域是。16、5【解析】分析：先將復(fù)數(shù)z右邊化為形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算詳解：因?yàn)樗?5點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)計(jì)算時(shí)要把復(fù)數(shù)化為形式，以防止出錯(cuò).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）.【解析】試題分析：（1）函數(shù)去絕對(duì)值號(hào)化為分段函數(shù)即可求解；（2）分離參數(shù)得：在上恒成立，利用絕對(duì)值性質(zhì)即可得到m范圍內(nèi).試題解析：（1）由題意，令解得或，∴函數(shù)的定義域?yàn)榛颍?），∴，即.由題意，不等式的解集是，則在上恒成立.而，故.點(diǎn)睛：恒成立問(wèn)題是常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般可考慮分離參數(shù)處理，分離參數(shù)后問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值，可考慮均值不等式、函數(shù)最值，絕對(duì)值的性質(zhì)、三角函數(shù)等方法來(lái)處理.18、（1）8；（2）.【解析】

⑴觀察可知，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開(kāi)式中的第項(xiàng)，即通項(xiàng)公式，將第一問(wèn)的代入，并整理，令的次數(shù)為，解出，得到答案【詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項(xiàng)展開(kāi)式中的第項(xiàng)為T(mén)r＋1＝，令＝0，得r＝2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為＝28.本題主要考的是利用賦值法解決展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題，考查了利用二次展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二次展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題。19、（1）;（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】

（1）汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)是指汽車(chē)在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)的概率．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）由題意知汽車(chē)在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)的概率為：．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數(shù)學(xué)期望．本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.20、(1)(2)當(dāng)元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲最大利潤(rùn)【解析】

（1）銷(xiāo)售價(jià)格為元/千克時(shí)，每日可售出該商品千克代入函數(shù)解得.（2）求出利潤(rùn)的表達(dá)式，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性計(jì)算函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）當(dāng)元/千克時(shí)，解得（2）設(shè)商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)為，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以當(dāng)元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲最大利潤(rùn)本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）.【解析】（Ⅰ）．若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對(duì)于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)