上海市虹口區(qū)復(fù)興高級(jí)中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

上海市虹口區(qū)復(fù)興高級(jí)中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．2．定積分的值為()A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A．5 B．6 C．7 D．84．兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.255．設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A．i B． C． D．6．已知函數(shù)與函數(shù)，下列選項(xiàng)中不可能是函數(shù)與圖象的是A． B．C． D．7．下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．“”是“”的充分不必要條件.B．命題“若，則”的逆否命題是“若，則”C．若命題“”，則“”.D．若“”為真命題，則均為真命題.8．下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成．通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)第10個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是（）A．30 B．31 C．32 D．349．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．510．給出下列命題：①命題“若，則方程無(wú)實(shí)根”的否命題；②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；③命題“若，則”的逆否命題；④“若，則的解集為”的逆命題；其中真命題的序號(hào)為（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③11．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A． B． C． D．12．某校開(kāi)設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中、、三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位學(xué)生選修三門，則每位學(xué)生不同的選修方案種數(shù)是()A．70 B．98 C．108 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)開(kāi)____；14．已知，直線：和直線：分別與圓：相交于、和、，則四邊形的面積為_(kāi)_________．15．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________．16．若實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則的最大值為_(kāi)____________；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，是平面的斜線，為斜足平面，為垂足，是平面上的一條直線，于點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求和平面所成的角的大小.18．（12分）設(shè)為關(guān)于的方程的虛根，虛數(shù)單位．（1）當(dāng)時(shí)，求、的值；（2）若，在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，試求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）20．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)z，滿足|z|=，且復(fù)數(shù)（1+3i）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.(I)求復(fù)數(shù)z(II)若復(fù)數(shù)+m2(1+i)-2i十2m-5為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.22．（10分）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)分別是橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，的邊上的中線長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)直線分別交直線于兩點(diǎn)，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

通過(guò)cosA=sinB=1【詳解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π本題主要考查解三角形的綜合應(yīng)用，難度不大.2、C【解析】

根據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C本題考查微積分基本定理，屬于較易題.3、A【解析】，故輸出.4、A【解析】解：因?yàn)榛貧w模型中擬合效果的好不好，就看相關(guān)指數(shù)是否是越接近于1，月接近于1，則效果越好．選A5、D【解析】

先化簡(jiǎn)，結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)可求.【詳解】，，故選D.本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，逆用二項(xiàng)式定理要注意配湊出定理的結(jié)構(gòu)形式.6、D【解析】

對(duì)進(jìn)行分類討論，分別作出兩個(gè)函數(shù)圖象，對(duì)照選項(xiàng)中的圖象，利用排除法,可得結(jié)果.【詳解】時(shí)，函數(shù)與圖象為：故排除；，令，則或，當(dāng)時(shí)，0為函數(shù)的極大值點(diǎn),遞減，函數(shù)與圖象為：故排除；當(dāng)時(shí)，0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，遞增，函數(shù)與圖象為：故排除；故選.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7、D【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，逆否命題的定義、含有量詞的命題的否定以及復(fù)合命題的真假關(guān)系依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案。【詳解】對(duì)于A,由可得或，即“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)逆否命題的定義可知命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故B正確；對(duì)于C,由全稱命題的否定是存在命題，可知若命題“”，則“”，故C正確；對(duì)于D,根據(jù)復(fù)合命題的真值表可知若“”為真命題，則至少一個(gè)為真命題，故D錯(cuò)誤。故答案選D本題考查命題真假的判定，涉及到逆否命題的定義、充分條件與必要條件的判斷、含有量詞的命題的否定以及復(fù)合命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解析】每個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3.其數(shù)列依次為4,7,10,13,…,所以第10個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為.9、D【解析】

題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得.【詳解】∵故選D.本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題..10、A【解析】

①寫出其否命題，再判斷真假；②寫出其逆命題，再判斷真假；③根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，直接判斷原命題的真假即可；④寫出其逆命題，再判斷真假.【詳解】①命題“若，則方程無(wú)實(shí)根”的否命題為：“若，則方程有實(shí)根”,為真命題，所以正確.②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題為：“若為等邊三角形，則”為真命題，所以正確.③命題“若，則”為真命題，根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，所以正確.④“若，則的解集為”的逆命題為：“若的解集為，則”當(dāng)時(shí)，不是恒成立的.當(dāng)時(shí),則解得：，所以正確.故選：A本題考查四種命題和互化和真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】分析：對(duì)所給的復(fù)數(shù)分子、分母同乘以，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理出實(shí)部和虛部即可．詳解：∵∴復(fù)數(shù)的虛部為故選D.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，一般需要分子和分母同時(shí)除以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．12、B【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、從A,B,C三門中選出1門,其余7門中選出2門,有種選法，②、從除A,B,C三門之外的7門中選出3門,有種選法；故不同的選法有63+35=98種；故選：B.點(diǎn)睛：（1）解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

首先根據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算，由結(jié)合可求得，由可求得，進(jìn)而可求得的解析式，由分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，且，當(dāng)，則，解得，當(dāng)，則，解得，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故的值域?yàn)?故答案為：本題是一道考查不等式的題目，考查了分段函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)解析式，屬于基礎(chǔ)題.14、8【解析】由題意，直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圓心（a，1），且互相垂直，∴四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABCD的面積為4×8，故答案為：8.15、【解析】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)任意的x∈R,滿足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=?f(x)，則f(x+2)=?f(x+1)=f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，據(jù)此可得：16、8【解析】分析：先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示直線，平移可得最大值取法.詳解：作可行域，則直線過(guò)點(diǎn)A（2，1）時(shí)取最大值8.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）推導(dǎo)出，，由此能證明平面．（2）設(shè)，推導(dǎo)出，，，從而，由平面，得是和平面所成的角，由此能求出和平面所成的角．【詳解】（1）是平面的斜線，為斜足，平面，為垂足，是平面上的一條直線，，又，且，平面．（2）設(shè)，于點(diǎn)，，．平面，，，，，平面，是和平面所成的角，，，，和平面所成的角為．本題考查線面垂直的證明、線面角的求法、空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、（1）,（2）【解析】

（1）,則,則可確定方程兩根為,由韋達(dá)定理即可求得;（2）可確定,為方程的兩根,設(shè),由韋達(dá)定理可得,即,,,用兩點(diǎn)間距離公式可表示出,用三角函數(shù)的知識(shí)求得其范圍.【詳解】（1）當(dāng),則方程的兩根分別為:,即,（2）當(dāng)時(shí)，方程為,為方程的兩根設(shè)，則，設(shè)，，故復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,可得根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式:其中，即的取值范圍為:.本題考查復(fù)數(shù)的定義,幾何意義的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過(guò)方程的一個(gè)虛根確定方程兩根,利用韋達(dá)定理建立等量關(guān)系.19、（1）當(dāng)時(shí)，只有增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間⑵問(wèn)題等價(jià)于，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果詳解：（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，只有增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）等價(jià)于.令，而在單調(diào)遞增，且，.令，即，，則時(shí)，時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.即.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)求出含有參量的函數(shù)單調(diào)區(qū)間，在證明不等式成立時(shí)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到新函數(shù)，然后再求導(dǎo)，這里需要注意當(dāng)極值點(diǎn)求不出時(shí)，可以選擇代入計(jì)算化簡(jiǎn)。20、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由題可得，將代入求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程．（Ⅱ）設(shè)，則，由導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性進(jìn)，而得出答案．（Ⅲ）題目等價(jià)于，易求得，利用單調(diào)性求出的最小值，列不等式求解．【詳解】（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為，且的對(duì)稱軸所以.由(Ⅱ)知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，因此，的取值范圍是.導(dǎo)數(shù)是高考的重要考點(diǎn)，本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用單調(diào)性解決函數(shù)的恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題等，屬于一般題．21、(1).(2)【解析】

分析：（1）設(shè)，先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模得解方程組可得，（2）先化成復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念列方程組，解得實(shí)數(shù)m的值.詳解：(1)設(shè)，由，得又復(fù)數(shù)=在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.則，即又，所以，則(2)=為純虛數(shù),所以可得點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧