河北省邯鄲市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題（教師版）

邯鄲市2022－2023學年第二學期質(zhì)量檢測高一數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計算出，從而得到虛部.【詳解】，復(fù)數(shù)z的故虛部為.故選：A2.已知兩條不同的直線，與兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B若且，則C.若，，則直線與是異面直線D.若，，，則直線與是異面直線【答案】B【解析】【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理，面面平行性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理逐個判斷即可.【詳解】若，，則與平行或異面，A錯；若且，則內(nèi)有垂直于的直線，故，B正確；若，，則直線與是相交，平行或異面直線，C錯；若，，，則直線與平行或異面，D錯.故選：B3.已知，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的相關(guān)知識直接列式計算求解.【詳解】因為，，所以，在上的投影向量為.故選：C4.為了解不同年級男、女學生對食堂飯菜的滿意程度，某中學采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從高一、高二、高三年級的所有學生中抽取樣本進行調(diào)查.該中學高一、高二、高三年級學生的比例與高一男、女生人數(shù)如圖所示，若抽取的樣本中有高一男生140人，則樣本容量為（）A.500 B.600 C.700 D.800【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的含義直接計算求解.【詳解】由柱狀圖可知，高一男生500人，女生400人，總共900人，若抽取的樣本中有高一男生140人，則抽取的高一總?cè)藬?shù)為人，又因為高一占總?cè)藬?shù)比例為36%，則抽取的總?cè)藬?shù)為人，即樣本容量為700.故選：C5.“黃梅時節(jié)家家雨，青草池塘處處蛙”，黃梅時節(jié)就是梅雨季節(jié)，每年6月至7月會出現(xiàn)持續(xù)天陰有雨的天氣，它是一種自然氣候現(xiàn)象.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計，長江中下游某地區(qū)在黃梅時節(jié)每天下雨的概率為.假設(shè)每天是否下雨互不影響，則該地區(qū)黃梅時節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用獨立重復(fù)試驗的概率求解.【詳解】解：因為長江中下游某地區(qū)在黃梅時節(jié)每天下雨的概率為，且每天是否下雨互不影響，所以該地區(qū)黃梅時節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為：，故選：A6.在中，，，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，且，點D為斜邊BC的中點，則的最小值為（）A.0 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出，表達出，利用三角換元求出最小值.【詳解】以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，設(shè)，因為，則，且，故，所以，令，則，則，因為，所以，，故，所以的最小值為，當且僅當時取得.故選：D7.武靈叢臺位于邯鄲市叢臺公園中心處，為園內(nèi)的主體建筑，是邯鄲古城的象征.某校數(shù)學興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點，，處分別測得點的仰角為，，，且，則武靈叢臺的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.22m B.27m C.30m D.33m【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，兩者相等即可解出答案.【詳解】由題知，設(shè)，則，，，又，所以在中，，①在中，，②聯(lián)立①②，解得.故選：B8.如圖，有質(zhì)地均勻的正四面體、正六面體和正八面體骰子各一個.首先拋擲正六面體骰子，向上的點數(shù)記為.若為奇數(shù)，則再拋擲正四面體骰子；若為偶數(shù)，則再拋擲正八面體骰子，記第二次向下的點數(shù)為.設(shè)事件；事件；事件；事件；事件，則下列說法錯誤的是（）A.與為互斥事件 B.與相互獨立C.與為互斥事件 D.與相互獨立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的知識進行分析，由此確定正確答案.【詳解】與不可能同時發(fā)生，為互斥事件，A選項正確.B選項，，所以，所以與相互獨立，B選項正確.與不能同時發(fā)生，為互斥事件，C選項正確.D選項，，所以，所以與不是相互獨立事件，D選項錯誤.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下圖為2022年2月至2023年2月建筑業(yè)和服務(wù)業(yè)的商務(wù)活動指數(shù)，該指數(shù)等于反映該行業(yè)經(jīng)濟與上月比較無變化，大于反映該行業(yè)經(jīng)濟比上月總體上升，小于反映該行業(yè)經(jīng)濟比上月總體下降，則下列說法正確的是（）A.2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟持續(xù)下降B.2022年9月至12月建筑業(yè)經(jīng)濟持續(xù)下降C.2022年5月建筑業(yè)經(jīng)濟上升幅度最小D.2023年2月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟上升幅度最大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)折線圖對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，根據(jù)服務(wù)業(yè)商務(wù)活動指數(shù)圖象可知，2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟持續(xù)下降，所以A選項正確.B選項，根據(jù)建筑業(yè)商務(wù)活動指數(shù)圖象可知，2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟持續(xù)上升，所以B選項錯誤.C選項，根據(jù)建筑業(yè)商務(wù)活動指數(shù)圖象可知，2022年5月建筑業(yè)經(jīng)濟上升幅度最小，所以C選項正確.D選項，根據(jù)服務(wù)業(yè)商務(wù)活動指數(shù)圖象可知，2023年2月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟上升幅度最大，所以D選項正確.故選：ACD10.對于非零復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A.若和互為共軛復(fù)數(shù)，則為實數(shù) B.若為純虛數(shù)，則C.若，則 D.若，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算即可判斷A；根據(jù)純虛數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的模和乘法運算即可判斷B；舉出反例即可判斷C；先求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程，進而可判斷D.【詳解】設(shè)且不同時為，對于A，若和互為共軛復(fù)數(shù)，則，故為實數(shù)，故A正確；對于B，若為純虛數(shù)，則，，故B錯誤；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，設(shè)且不同時為，則，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點到原點的距離，原點到圓心的距離為，所以點到原點的距離的最大值為，即的最大值為，故D正確.故選：AD.11.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則下列說法正確的是（）A.若，則有兩組解B.若，則有兩組解C.若為銳角三角形，則D.若為等腰三角形，則或【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，可判斷三角形有幾個解所要滿足的條件，結(jié)合正余弦定理及三角形形狀判斷各項正誤.【詳解】A選項，∵，∴有一解，故A錯誤；B選項，∵，∴有兩解,故B正確；C選項，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；D選項，∵為等腰三角形，則或或，當，則故得；當，則故，得，綜上，或或，故D錯誤.故選：BC12.在棱長為4的正方體中，動點在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.線段長度的最小值為B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角正弦值的取值范圍為D.若動點在線段上，則線段長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于,利用面面平行，確定點在線段在線段上，當時，線段長度的最??；對于,三棱柱體積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)線面平行可知，點到平面的距離為定值，即可判斷；對于,點是的中點，直線與所成角為，可排除；對于，線段長度可轉(zhuǎn)化為直線與之間的距離，在轉(zhuǎn)化為線面距，即可求解.【詳解】對于,如下圖所示，連接,易得平面,所以平面,同理，平面,又所以平面平面,又平面平面,故可知動點在線段上，則時，線段長度的最小，此時是的中點，易求所以正確；對于,平面，故點到平面的距離為定值，又的面積也為定值，則為定值，即三棱錐的體積為定值，所以正確；對于因為直線與所成角即為異面直線與所成角，又為等邊三角形，當位于的中點時，，即直線與所成角為，其正弦值為故錯誤；對于,由題意，異面直線與之間的距離，即為線段長度的最小值，連接平面故平面,則異面直線與之間的距離即為到平面距離，即點到平面的距離，設(shè)為又即即則正確.故選：三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得角C，再利用正弦定理，建立方程，可得答案.【詳解】由三角形內(nèi)角和定理，可得，由正弦定理，可得，解得.故答案為：.14.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得到，求出，再利用夾角公式求出答案.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：15.已知某圓臺的高為4，母線長為5，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為_________.【答案】【解析】【分析】先求出圓臺的上下底面半徑，然后由體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓臺上下底面圓的半徑分別為.則母線，高，構(gòu)成一個直角三角形，母線為斜邊，高為直角邊，由勾股定理得到，即.圓臺的側(cè)面積公式，所以，，所以圓臺的體積為：.故答案為：.16.在中，，為的中點，，沿將折起.當時，三棱錐的外接球半徑為_________；當，且時，過點作三棱錐外接球的截面，則截面圓的面積的最小值為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】先證明平面，當時，易得為等邊三角形，再確定外接球的球心，再利用勾股定理即可求得半徑，當，且時，易得為等腰直角三角形，確定外接球的球心，再利用勾股定理即可求得半徑，當點為截面圓的圓心時，截面圓的半徑最小，進而可得出答案.【詳解】在中，因為，所以，故，因為為的中點，，，則為等邊三角形，如圖，設(shè)為的中點，為外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在線段上，且，且平面，由題意得，又平面，所以平面，故，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即三棱錐的外接球半徑為，當，則，所以，所以為等腰直角三角形，則外接圓的圓心為的中點，設(shè)為點，則，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，則平面，故，，則三棱錐外接球的半徑為，由，得，在中，由余弦定理得，因為平面，平面，所以，則，當點為截面圓的圓心時，截面圓的半徑最小，此時截面圓的半徑，所以截面圓面積的最小值為.故答案為：；.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為了推進共同富裕，國家選擇在某省建設(shè)共同富裕示范區(qū)，為全國推動共同富裕提供范例.為了了解共同富裕示范區(qū)的建設(shè)成果，某統(tǒng)計機構(gòu)調(diào)查了該省某示范區(qū)100位居民2022年整年的可支配收入，整理后得到如下頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這100位居民可支配收入的眾數(shù)和分位數(shù)；（2）居民人均可支配收入的中位數(shù)和平均數(shù)的比值是衡量收入分配的指標之一，比值越大收入分配越公平.已知2022年全國居民的人均可支配收入為36883元，人均可支配收入的中位數(shù)是平均數(shù)的.請根據(jù)頻率分布直方圖說明該示范區(qū)是否起到了示范的作用（利用平均數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)的比值進行說明）.【答案】（1）5,9（2）該示范區(qū)起到了示范作用【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖估計眾數(shù)和分位數(shù)即可.（2）首先根據(jù)頻率直方圖估計中位數(shù)和平均數(shù)，在結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，人數(shù)最多的為，所以眾數(shù)為.的人數(shù)占比為，的人數(shù)占比為，的人數(shù)占比為，所以該示范區(qū)100位居民可支配收入的分位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)該示范區(qū)100位居民可支配收入的分位數(shù)為，則，解得，故該示范區(qū)100位居民可支配收入的分位數(shù)為9.【小問2詳解】該示范區(qū)居民可支配收入的平均數(shù)為（萬元元.設(shè)該示范區(qū)100位居民可支配收入的中位數(shù)為，則，解得（萬元）.，所以該示范區(qū)起到了示范作用.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）取的中點，連接，證明平面，即可找到與平面所成角，解三角形即可求得答案.【小問1詳解】連接交于點，連接，由于底面為正方形，故點O為中點，在中，分別為的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取的中點，連接，由可得，所以.因為底面，底面，故，因為，平面，所以平面，平面，所以.又因為平面，所以平面.因此，即為與平面所成角.設(shè)，則，，所以，所以與平面所成角的正切值為.19.在中，.（1）若，用表示；（2），線段交于點，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到，再將代入求解；（2）根據(jù)C，G，D三點共線，得到，再由E，G，B三點共線，得到，利用待定系數(shù)法求解.【小問1詳解】如圖所示，因為，，所以，所以，因為，所以.【小問2詳解】如圖所示，因為C，G，D三點共線，所以.因為E，G，B三點共線，所以.所以解得所以，，所以20.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，角的平分線與交于點，，求的面積.【答案】（1）2（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合正弦和角公式即可得到答案；（2）根據(jù)面積法求得，，再在兩個三角形中分別運用余弦定理，結(jié)合已知條件進行化簡計算得到，，再根據(jù)余弦定理計算得到，進而得到，最后根據(jù)三角形面積公式計算即可.【小問1詳解】因為，所以，由正弦定理得，，所以，由正弦定理得，【小問2詳解】設(shè)，因為，，所以，.在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，將，代入，得，即，又因為，所以，，得，代入上式得，，，所以，因為，所以，所以.21.五行，指金、木、水、火、土五個元素.五行學說用五行之間的生、克關(guān)系來闡釋事物之間的相互關(guān)系，是中國文化的重要組成部分，五行之間相生相克的關(guān)系如圖所示.現(xiàn)有一個不透明的盒子，盒子中有5個完全相同的小球，5個小球上分別標有“金、木、水、火、土”5個字，代表5個元素.現(xiàn)在甲、乙兩人各從盒子中隨機抽取一個球：①若甲抽到的元素克乙抽取的元素，則甲分；②若甲抽到的元素生乙抽取的元素，則甲分；③若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，則甲分；④若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，則甲分；⑤若甲抽到的元素與乙抽取的元素相同，則甲不計分.現(xiàn)有兩個游戲方案可供甲選擇：方案一,乙先從盒子中隨機抽取一個元素后放回，然后甲再從盒子中隨機抽取一個元素；方案二,乙先從盒子中隨機抽取一個元素不放回，然后甲再從盒子中隨機抽取一個元素.每次積完分后把所有小球放回盒子再進行下次游戲.（1）若按方案一進行兩次游戲，求兩次游戲后甲的積分之和為1分的概率；（2）現(xiàn)在要從方案一或方案二中選一個方案進行兩次游戲，若兩次游戲后甲的積分之和超過1分，則甲獲得勝利.為了盡可能獲勝，甲應(yīng)該選擇哪個方案，請說明理由.【答案】（1）（2）甲應(yīng)該選擇方案二，理由見解析【解析】【分析】（1）先由題意得出樣本空間及滿足條件的樣本點，由古典概型計算概率即可；（2）記兩次游戲后甲的積分和超過1分