2022年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)仿真卷C(教師版)

2022年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)仿真卷C滿分100分，考試時(shí)間80分鐘一、選擇題(本大題共18小題，每小題3分，共54分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分。)1．集合，用列舉法可以表示為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)條件列舉即可.【詳解】解：因?yàn)?，可?故選：B2．下列函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和解析式判斷.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù)，選項(xiàng)B：函數(shù)與的關(guān)系式相同，定義域相同，故是同一函數(shù)，選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，函數(shù)，則，故不是同一函數(shù)，選項(xiàng)D：因?yàn)?，而，故不是同一函?shù)，故選：B．3．（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的除法運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】故選：A.4．已知圓內(nèi)一點(diǎn)P(2，1)，則過(guò)P點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心，由圓的對(duì)稱性可知過(guò)點(diǎn)與垂直的直線被圓所截的弦長(zhǎng)最短【詳解】由題意可知，當(dāng)過(guò)圓心且過(guò)點(diǎn)時(shí)所得弦為直徑，當(dāng)與這條直徑垂直時(shí)所得弦長(zhǎng)最短，圓心為，，則由兩點(diǎn)間斜率公式可得，所以與垂直的直線斜率為，則由點(diǎn)斜式可得過(guò)點(diǎn)的直線方程為，化簡(jiǎn)可得，故選：B5．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積(單位：)是（）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由三視圖還原幾何體直觀圖，可知其由一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)直三棱柱組合構(gòu)成，利用柱體、錐體的體積公式，即可求幾何體的體積【詳解】由三視圖可知：幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)直三棱錐組合而成，如下圖示，∴幾何體的體積.故選：B6．設(shè)x，y為正數(shù)，則的最小值為（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)閤，y為正數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)），因此，故選：B7．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是（）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：把轉(zhuǎn)化為，平移直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)縱截距最小，此時(shí)最小.故選：C8．直線與直線平行，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得直線的斜率，再根據(jù)兩直線平行求解.【詳解】直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故選：D9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c若A=45°，B=60°，a=2，則b=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理計(jì)算．【詳解】由得．故選：A．10．已知，，是三個(gè)不同的平面，，.則下列命題成立的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)線面以及面面關(guān)系，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)A，平面和可以相交，對(duì)B，根據(jù)定理，一個(gè)平面和另外兩個(gè)平行平面相交，則交線平行，故B正確；對(duì)C，平面內(nèi)的一條直線和令一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直，不能證明線面垂直，即不能證明面面垂直，故C錯(cuò)誤，對(duì)D，若兩個(gè)面垂直，第三個(gè)平面和該兩個(gè)面相交，交線并不一定垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B11．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】時(shí)，，充分的，但時(shí)，也有，因此不必要．故是充分不必要條件．故選：A．12．函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致形狀是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，討論當(dāng)0<x<1時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，利用排除法進(jìn)行判斷即可.【詳解】的定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故排除A、C.當(dāng)時(shí)，有，所以，，所以，故排除B.故選：D13．在等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，數(shù)列也是等比數(shù)列，可得，解得，即可得出．【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，數(shù)列也是等比數(shù)列，，即，化為：，解得．則．故選：．14．如圖，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的中位線做出異面直線所成角，然后利用余弦定理計(jì)算即可.【詳解】如圖所示:連接A1C,交AC1于D,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則DE//A1B,∴為異面直線A1B和AC1所成的角或其補(bǔ)角.由題意，可設(shè)該正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，易得,則AE=,∴,∴異面直線A1B和AC1所成的角的余弦值為，故選：B.15．已知，是非零向量且滿足，，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由、是非零向量且滿足，，利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得，進(jìn)而得到，即可得出．【詳解】、是非零向量且滿足，，，，，．是等邊三角形，故選：B16．已知實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C．D．【答案】A【分析】作出圖象，令，數(shù)形結(jié)合，可得時(shí)有1個(gè)根，時(shí)有2個(gè)根，將所求轉(zhuǎn)化為，結(jié)合題意，可得兩根的范圍，解不等式，即可得答案.【詳解】作出圖象，如圖所示，令，當(dāng)時(shí)，與圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)根，則關(guān)于的方程轉(zhuǎn)化為，由題意得，解得，方程的兩根為，因?yàn)殛P(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，則，解得，滿足題意.故選：A17．如圖，已知橢圓和雙曲線在軸上具有相同的焦點(diǎn)，，設(shè)雙曲線與橢圓的上半部分交于A，兩點(diǎn)，線段與雙曲線交于點(diǎn).若，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可得，為則雙曲線的實(shí)半軸），，又，，則，即可求橢圓的離心率．【詳解】解：如圖，設(shè)，則，，，，為則雙曲線的實(shí)半軸），根據(jù)雙曲線定義可得，，在△中，滿足，，則，則橢圓的離心率是．故選：C．18．正三棱錐中為的中點(diǎn)，為上的任意上點(diǎn)，設(shè)與所成的角的大小為，與平面所成的角的大小為，二面角的大小為，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意作出示意圖，分別通過(guò)線段長(zhǎng)度表示出的正切值，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度比較的正切值的大小，由此確定出的大小關(guān)系.【詳解】如圖所示，記在底面的投影點(diǎn)為點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，顯然過(guò)點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以二面角的平面角為，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以與平面所成角即為，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可知，因?yàn)?，所以與所成的角為，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，又，所以，所以，所以，當(dāng)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)增大，減小，所以增大，所以增大，綜上可知：，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于理解異面直線所成角、線面角以及二面角的概念以及通過(guò)線段長(zhǎng)度表示出每個(gè)角的正切值，將不直觀的角度大小關(guān)系通過(guò)比值的形式直觀表示出來(lái).二、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分。)19．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若，，則________，________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有，解方程組即可求、.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：，.20．平面向量滿足，，，則_____．【答案】【分析】，展開即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，考查學(xué)生基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.21．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)左焦點(diǎn)且與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，且滿足，則雙曲線的離心率為________．【答案】【分析】設(shè)，先利用雙曲線的定義建立起與的關(guān)系，再借助余弦定理建立起與的關(guān)系，最后利用離心率的計(jì)算公式求解．【詳解】解：令，則．連接，由雙曲線的定義可知，，，所以．因?yàn)?，所以．由余弦定理可得，所以，得，又，所以雙曲線的離心率，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的離心率，考查考生的運(yùn)算求解能力．22．已知，若關(guān)于x的方程僅有一解，則a的取值范圍是_______．【答案】【分析】可判斷a≠0,從而由分段函數(shù)判斷方程的解的個(gè)數(shù)即可.【詳解】若，則方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，故；或（舍去）,或或關(guān)于x的方程僅有一解，在上無(wú)解，綜_上所述,a的取值范圍是.故答案為：三、解答題(本大題共3小題，共31分。)23．(本題10分)已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）求當(dāng)時(shí)函數(shù)的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將化為，然后解出不等式即可；（2）當(dāng)時(shí)，，然后可求出答案.【詳解】（1）令，可得所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，，所以即24．(本題10分)已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．（1）求拋物線的方程；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于四點(diǎn)，且點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，求的面積的最小值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）.【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得，由此得到拋物線方程；（2）根據(jù)拋物線焦半徑公式可構(gòu)造方程求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可求得結(jié)果；（3）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線互相垂直可同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式表示出后，根據(jù)，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，即，解得：拋物線的方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義得：，解得：，點(diǎn)在拋物線上，把代入，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）由題意知：直線的斜率存在，且不為零，可設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，，由消去整理得：，由一元二方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，即，，同理可得：，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立），的面積的最小值等于．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的三角形或四邊形面積最值（取值范圍）問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用面積公式表示出所求圖形的面積；④將所求面積表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求解出最值（范圍）.25．(本題11分)已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，函數(shù).（i）若，證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】（1）或（2）（i）證明見解析（ii）【分析】（1）對(duì)底數(shù)分類討論，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果；（2）（i）若，則，令，則，所以，，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的中點(diǎn)值之間的關(guān)系求出最大值，對(duì)最大值配方可證不等式成立；（ii）若，則，令，則，所以，，分類討論對(duì)稱軸可得的最值,比較最值的絕對(duì)值與端點(diǎn)值的絕對(duì)值的大小可得結(jié)果.【詳解】（1