北京市朝陽(yáng)區(qū)2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）VIP

北京市朝陽(yáng)區(qū)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，則（

）A． B． C．3 D．53．如圖，八面體的每個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)八面體的表面積為（

）A．8 B．16 C． D．4．已知，是平面外的兩條不同的直線，若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在中，，，，則（

）A． B． C． D．6．李華統(tǒng)計(jì)了他爸爸2024年5月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次，他按每次通話時(shí)間長(zhǎng)短進(jìn)行分組（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫(huà)出了如圖所示的頻率分布直方圖．則每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．277．已知向量，不共線，，，若與同向，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C．3 D．或38．近年來(lái)，我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體穩(wěn)定，延續(xù)回升向好態(tài)勢(shì)．下圖是我國(guó)2023年4月到2023年12月規(guī)模以上工業(yè)增加值同比增長(zhǎng)速度（以下簡(jiǎn)稱(chēng)增速）統(tǒng)計(jì)圖．注：規(guī)模以上工業(yè)指年主營(yíng)業(yè)務(wù)收入2000萬(wàn)元及以上的工業(yè)企業(yè)．下列說(shuō)法正確的是（

）A．4月，5月，6月這三個(gè)月增速的方差比4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的方差大B．4月，5月，6月這三個(gè)月增速的平均數(shù)比4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的平均數(shù)小C．連續(xù)三個(gè)月增速的方差最大的是9月，10月，11月這三個(gè)月D．連續(xù)三個(gè)月增速的平均數(shù)最大的是9月，10月，11月這三個(gè)月9．在梯形中，，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．10．已知，，若動(dòng)點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A，M共面，且滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2二、填空題11．已知某學(xué)校漢服社、書(shū)法社、詩(shī)歌社、曲藝社四個(gè)學(xué)生社團(tuán)的人數(shù)比為，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從這四個(gè)社團(tuán)中抽取20人擔(dān)任志愿者，則從曲藝社抽取的人數(shù)為．12．袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸到球的標(biāo)號(hào)大于3的概率是；若從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率是．13．在中，點(diǎn)D，E滿足，．若，則．14．在中，，，若存在且唯一，則的一個(gè)取值為．15．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量滿足，且．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，．

16．在正四棱錐中，與所成的角的大小為α，PA與底面所成的角的大小為β，側(cè)面與底面所成的角的大小為，二面角的大小為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求點(diǎn)到平面的距離．18．生成式人工智能（AIGC）工具正處于蓬勃發(fā)展期，在對(duì)話系統(tǒng)、機(jī)器翻譯、文本摘要等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用．為了解學(xué)生對(duì)生成式人工智能工具的使用情況，某校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：經(jīng)常使用20人偶爾使用30人從未使用50人用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)該校學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；(2)假設(shè)每名學(xué)生使用生成式人工智能工具的情況相互獨(dú)立，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，估計(jì)這兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；(3)從這100名學(xué)生中抽取5次，每次隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記第次抽取的10名學(xué)生中，有名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，有名學(xué)生偶爾使用或者從未使用過(guò)生成式人工智能工具．將，，，，的方差記為，，，，，的方差記為，比較，的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．在中，．(1)求；(2)若的面積是，求的最小值．20．如圖1，在中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，得到四棱錐，如圖2．(1)求證：；(2)若M是線段上的點(diǎn)，平面與線段交于點(diǎn)N．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．使點(diǎn)M唯一確定，并解答問(wèn)題．（?。┣笞C：為的中點(diǎn)；（ⅱ）求證：平面．條件①；條件②；條件③．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分，如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．21．設(shè)是由個(gè)非負(fù)整數(shù)組成的行列的數(shù)表，記，，，，設(shè)，，…，的平均數(shù)為，若，則稱(chēng)數(shù)表為“階數(shù)表”．(1)判斷如下兩個(gè)數(shù)表是否為“4階H數(shù)表”；說(shuō)明理由；，(2)證明：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)，不存在“階數(shù)表”，使得對(duì)任意的，都成立；(3)對(duì)任意的“階數(shù)表”，是否存在，，滿足，使得?說(shuō)明理由．

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D2．【答案】B【詳解】向量，，則，所以.故選B.3．【答案】C【分析】先計(jì)算出每個(gè)面的面積，再乘以8即為表面積；【詳解】每個(gè)面的面積為，所以該圖形的表面積為.故選：C4．【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面間的關(guān)系分析判斷即可.【詳解】因?yàn)椋瞧矫嫱獾膬蓷l不同的直線，，所以當(dāng)時(shí)，可能與垂直，可能與平行，也可能與相交不垂直，當(dāng)時(shí)，成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.【詳解】在中，由，，得，由正弦定理，得.故選：C6．【答案】B【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率即可得解.【詳解】觀察頻率分布直方圖，得每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為：，則，所以每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為21.故選：B7．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】由向量與同向，得，即，而向量不共線，則，又，解得，所以實(shí)數(shù)t的值為.故選：A8．【答案】A【分析】根據(jù)給定的折線圖，計(jì)算平均數(shù)、方差逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于AB，4月，5月，6月這三個(gè)月增速的平均數(shù)為，4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的平均數(shù)為，B錯(cuò)誤；4月，5月，6月這三個(gè)月增速的方差為，4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的方差為，A正確；對(duì)于CD，9月，10月，11月這三個(gè)月增速的平均數(shù)為，10月，11月，12月這三個(gè)月增速的平均數(shù)為，D錯(cuò)誤；9月，10月，11月這三個(gè)月增速的方差為，10月，11月，12月這三個(gè)月增速的方差為，C錯(cuò)誤.故選：A9．【答案】D【分析】首先根據(jù)題干計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，再根據(jù)余弦定理計(jì)算出，再計(jì)算，最后代入夾角公式即可.【詳解】設(shè)與交于，因?yàn)椋?，，所以，，又因?yàn)?，，所以，，，，所以，，由余弦定理得，即，，即，，所?故選：D10．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡，由此設(shè)其坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，由，得點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，由，得點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，能取到所有等號(hào)，所以的最大值為1.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值處理是解題的關(guān)鍵.11．【答案】6【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意直接求解即可.【詳解】由題意得從曲藝社抽取的人數(shù)為.故答案為：612．【答案】/0.25【分析】利用古典概型，結(jié)合列舉法求出概率即可.【詳解】從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸到球的標(biāo)號(hào)大于3的概率是；從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球的樣本空間，共6個(gè)，摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的事件，共2個(gè)，所以摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率.故答案為：；13．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】在中，向量不共線，由，，得，而，因此，所以.故答案為：14．【答案】5（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.【詳解】在中，，，由正弦定理，得，由存在且唯一，知或且，解得或，而，所以的一個(gè)取值為5.故答案為：515．【答案】0，或【分析】建立平面直角坐標(biāo)系得到、的坐標(biāo)可得；設(shè)，根據(jù)，且．建立關(guān)于的方程組求出可得的坐標(biāo)，再由的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以；設(shè)，則，且，所以且，由，解得，或，所以，或，所以，或.

故答案為：①0；②，或.16．【答案】①③④【分析】做出四個(gè)角，利用三角函數(shù)用邊來(lái)表示，然后在逐一判斷選項(xiàng).【詳解】如圖：為底面的中心，分別為的中點(diǎn)，連接，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為，顯然，因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角，即，并且，，因?yàn)槠矫妫詾榕c平面所成的角，即，并且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以為平面與平面所成角的平面角，即，且，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由側(cè)面三角形全等可知，所以為二面角的平面角，即，，且，因?yàn)椋?，即為鈍角，所以最大，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，綜上所述，所以，故①正確；，，故②錯(cuò)誤；，故③正確；，而，即，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是做出4個(gè)平面角，然后通過(guò)用邊來(lái)表示這些角的三角函數(shù)，沒(méi)有具體數(shù)據(jù)，所以運(yùn)算比較抽象并且運(yùn)算量較大，在運(yùn)算過(guò)程中，需要注意邊之間的等量關(guān)系.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）令，由三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.（2）利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.（3）過(guò)作于，由（2）的結(jié)論，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)推理計(jì)算即得.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，令，則為中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，矩形中，，則矩形為正方形，，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（3）在中，過(guò)作于，由平面平面，平面平面，平面，因此平面，顯然，，在中，，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概型計(jì)算即得.（2）利用（1）的結(jié)論，利用獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即得.（3）利用平均數(shù)、方差的定義計(jì)算判斷即得.【詳解】（1）依題意，這100名學(xué)生中有20名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，所以所求概率的估計(jì)值為.（2）設(shè)“第i名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”為事件，“從該校全體學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，至少有一名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”這事件，，依題意，與估計(jì)為，于是與估計(jì)為，所以所求概率估計(jì)為.（3）記，，，，的平均數(shù)為，，，，，的平均數(shù)為，依題意，，，，因此，，所以.19．【答案】(1)(2)【分析】（1）用余弦定理進(jìn)行邊角互化可解；（2）由面積公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.【詳解】（1），用余弦定理得到，，化簡(jiǎn)得到，則，,則.（2）由于,．由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.20．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)選擇條件，答案見(jiàn)詳解.【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）選擇條件①③，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得（?。?；利用線面垂直的判定推理得（ⅱ）.【詳解】（1）在中，由，得，由，分別為，的中點(diǎn)，得，則，所以，而平面，則平面，又平面，所以.（2）選條件①：，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，所以，則，而，所以，即為的中點(diǎn).（ii）因?yàn)椋桑╥）得，則，由（1）得，又平面，所以平面.選條件③：，由，得，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，所以，則，而，所以，即為的中點(diǎn).（ii）因?yàn)椋桑╥）得，則，由（1）得，又平面，所以平面.條件②，，由（1）可得平面，則過(guò)直線的平面與平面相交，所得交線均與平行，給定條件為上述交線，所以這樣的點(diǎn)M不唯一確定.21．【答案】(1)不是“4階數(shù)表”；數(shù)表是“4階數(shù)表”.(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）計(jì)算有即可判斷數(shù)表，計(jì)算即可判斷數(shù)表；（2）利用反證法，根據(jù)定義有，證明出，則與假設(shè)矛盾，即證明出原命題；（3）設(shè)，然后分和兩大類(lèi)討論即可.【詳解】（1）數(shù)表不是“4階數(shù)表”，數(shù)表是“4階數(shù)表”，理由如下：在數(shù)表中，，因此數(shù)表不是“4階數(shù)表”.在數(shù)表中，，因此數(shù)表是“4階數(shù)表”.（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)的“階數(shù)表”