2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第六章§6.4數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題（含答案或解析）

§6.4數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題重點(diǎn)解讀數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過(guò)構(gòu)造新的數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題型一待定系數(shù)法命題點(diǎn)1an+1＝pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an+1＝4an+6，則an＝.命題點(diǎn)2an+1＝pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝2an－n+1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S8＝.命題點(diǎn)3an+1＝pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝an+1－2n+1，a1＝2，則an＝.思維升華形式構(gòu)造方法an+1＝pan+q引入?yún)?shù)c，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an－c}an+1＝pan+qn+c引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an+xn+y}an+1＝pan+qn兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列a跟蹤訓(xùn)練1(多選)已知數(shù)列{an}，下列結(jié)論正確的有()A.若a1＝2，2(n+1)an－nan+1＝0，則an＝n·2nB.在數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1+3(n≥2，且n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n+1－3C.若a1＝2，an＝13an－1+13n(n≥D.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+n－1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－n+1題型二取倒數(shù)法和取對(duì)數(shù)法命題點(diǎn)1取倒數(shù)法例4已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝anan+3(n∈N*)，則a命題點(diǎn)2取對(duì)數(shù)法例5(2025·岳陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝10，an+1＝10an2，則an＝思維升華(1)形如an+1＝tansan+r的遞推公式，兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為1an+1＝rt·1an+st(2)形如an+1＝panq的遞推公式，兩邊同取以p為底的對(duì)數(shù)，得logpan+1＝qlogpan+1，將logpan看成整體，運(yùn)用待定系數(shù)法求得logpan的表達(dá)式，再得出a跟蹤訓(xùn)練2(1)在數(shù)列{bn}中，b1＝－1，bn+1＝bn3bn+2，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝10，an>0，且an＝an?12(n≥2)，則an

答案精析例17×4n－1－2解析因?yàn)閍n+1＝4an+6，所以an+1+2＝4an+8＝4(an+2)，又因?yàn)閍1+2＝5+2＝7≠0，所以an+1所以數(shù)列{an+2}是以7為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an+2＝7×4n－1?an＝7×4n－1－2.例2291解析設(shè)an+1+λ(n+1)+u＝2(an+λn+u)，所以an+1＝2an+λn+u－λ，又an+1＝2an－n+1，所以λ＝?1,所以an+1－(n+1)＝2(an－n)，又a1－1＝1，因此數(shù)列{an－n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故an－n＝2n－1，因此an＝n+2n－1，所以S8＝(1+2+…+8)+(20+21+…+27)＝8+20×例3(n+1)2n－1解析因?yàn)镾n＝an+1－2n+1，Sn－1＝an－2n(n≥2)，兩式相減得Sn－Sn－1＝(an+1－2n+1)－(an－2n)，即an+1＝2an+2n.兩邊同除以2n+1可得an+12n+1又S1＝a2－22＝2，得a2＝6，滿足a2所以數(shù)列an2n是首項(xiàng)為公差為12故an2n即an＝(n+1)2n－1.跟蹤訓(xùn)練1AB[∵2(n+1)an－nan+1＝0，∴an∴ann是首項(xiàng)為a公比為2的等比數(shù)列，∴ann＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故由an＝2an－1+3(n≥2)，得an+3＝2(an－1+3)，即an+3又a1+3＝1+3＝4，∴數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，∴an+3＝4×2n－1，即an＝2n+1－3，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n+1－3，故B正確；根據(jù)題意，an＝13an－1+?an13n－a又a113＝6，∴a公差為1的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；設(shè)an+1+k(n+1)+b＝2(an+kn+b)，∴an+1＝2an+kn+b－k，由an+1＝2an+n－1，得k＝1,∴an+1即{an+n}是首項(xiàng)為a1+1＝2，公比為2的等比數(shù)列.∴an+n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D錯(cuò)誤.]例42解析因?yàn)閍n+1＝anan+3(n所以1an設(shè)1an+1+t所以3t－t＝1，解得t＝12所以1an+1+1又1a1+12所以數(shù)列1an+12是以32為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以1an+12＝32例510解析由an+1＝10an2可得anlgan+1＝lg(10an2)＝2lgan故lgan+1+1＝2(lgan+1)，又lga1+1＝2，故數(shù)列{lgan+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則lgan+1＝2n，故an＝102跟蹤訓(xùn)練2(1)1解析bn+1＝bn得1bn+1＝因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2則1bn+3＝2·2n－1＝2可得bn＝12(2)10解析∵an>0，且an＝an兩邊取對(duì)數(shù)有l(wèi)gan＝lgan?12＝2lga∴l(xiāng)ganlgan?1∴數(shù)列{lgan}是以lga1＝1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴l(xiāng)gan＝2n－1，∴an＝102

6.4數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題重點(diǎn)解讀數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過(guò)構(gòu)造新的數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題型一待定系數(shù)法命題點(diǎn)1an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知數(shù)列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，則an=.

答案7×4n-1-2解析因?yàn)閍n+1=4an+6，所以an+1+2=4an+8=4(an+2)，又因?yàn)閍1+2=5+2=7≠0，所以an+1所以數(shù)列{an+2}是以7為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an+2=7×4n-1?an=7×4n-1-2.命題點(diǎn)2an+1=pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an-n+1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S8=.

答案291解析設(shè)an+1+λ(n+1)+u=2(an+λn+u)，所以an+1=2an+λn+u-λ，又an+1=2an-n+1，所以λ=?1,u所以an+1-(n+1)=2(an-n)，又a1-1=1，因此數(shù)列{an-n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故an-n=2n-1，因此an=n+2n-1，所以S8=(1+2+…+8)+(20+21+…+27)=8×(1+8)2命題點(diǎn)3an+1=pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，則an=.

答案(n+1)2n-1解析因?yàn)镾n=an+1-2n+1，Sn-1=an-2n(n≥2)，兩式相減得Sn-Sn-1=(an+1-2n+1)-(an-2n)，即an+1=2an+2n.兩邊同除以2n+1可得an+12n+1-an2又S1=a2-22=2，得a2=6，滿足a222-a所以數(shù)列an2n是首項(xiàng)為a12=1，公差為12的等差數(shù)列，故即an=(n+1)2n-1.思維升華形式構(gòu)造方法an+1=pan+q引入?yún)?shù)c，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an-c}an+1=pan+qn+c引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an+xn+y}an+1=pan+qn兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列a跟蹤訓(xùn)練1(多選)已知數(shù)列{an}，下列結(jié)論正確的有()A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，則an=n·2nB.在數(shù)列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-3C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥D.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-n+1答案AB解析∵2(n+1)an-nan+1=0，∴an+1n∴ann是首項(xiàng)為a11∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，即an+3又a1+3=1+3=4，∴數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-3，故B正確；根據(jù)題意，an=13an-1+?an13n-an?1又a113=6，∴an13n設(shè)an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，∴an+1=2an+kn+b-k，由an+1=2an+n-1，得k=1,b∴an+1即{an+n}是首項(xiàng)為a1+1=2，公比為2的等比數(shù)列.∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D錯(cuò)誤.題型二取倒數(shù)法和取對(duì)數(shù)法命題點(diǎn)1取倒數(shù)法例4已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，則an答案2解析因?yàn)閍n+1=anan+3(n所以1an+1=設(shè)1an+1+t所以3t-t=1，解得t=12所以1an+1+1又1a1+12=1+1所以數(shù)列1an+12是以32為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以1an+12所以an=23命題點(diǎn)2取對(duì)數(shù)法例5(2025·岳陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=10，an+1=10an2，則an=答案10解析由an+1=10an2可得anlgan+1=lg(10an2)=2lgan故lgan+1+1=2(lgan+1)，又lga1+1=2，故數(shù)列{lgan+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則lgan+1=2n，故an=102思維升華(1)形如an+1=tansan+r的遞推公式，兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為1an+1=rt·1an+st的形式，化歸為b(2)形如an+1=panq的遞推公式，兩邊同取以p為底的對(duì)數(shù)，得logpan+1=qlogpan+1，將logpan看成整體，運(yùn)用待定系數(shù)法求得logpan的表達(dá)式，再得出a跟蹤訓(xùn)練2(1)在數(shù)列{bn}中，b1=-1，bn+1=bn3bn+2，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式b答案1解析bn+1=bn得1bn+1=3bn+2因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2則1bn+3=2·2n-1=2n，可得bn=(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=10，an>0，且an=an?12(n≥2)，則an=答案10解析∵an>0，且an=an兩邊取對(duì)數(shù)有l(wèi)gan=lgan?12=2lga∴l(xiāng)ganlgan?1∴數(shù)列{lgan}是以lga1=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴l(xiāng)gan=2n-1，∴an=102課時(shí)精練(分值：70分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·瀘州模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+2，a1=1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A.an=1,B.an=1,C.an=3×2n-1-2D.an=3n-2答案C解析由an+1=2an+2，有an+1+2=2(an+2)，所以an+1+2an+2=2，又a1=1，所以數(shù)列{an+2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an+2=3×2n-1，即an=3×2n-1-22.在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=13，2anan+2=anan+1+an+1an+2，若ak=135，則A.18 B.24 C.30 D.36答案A解析由2anan+2=anan+1+an+1an+2且數(shù)列不存在為0的項(xiàng)，得2an+1=1所以數(shù)列1an是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1a1=1，公差為1a2-1a1=2，所以1an所以an=12由ak=12k?1=13.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，則a10等于()A.49?13 B.49+23答案B解析因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an+1-5an+4an-1=0，所以an+1-an=4(an-an-1)，又a1=1，a2=2，則a2-a1=1，所以{an+1-an}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an+1-an=4n-1，從而a10=(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a2-a1)+a1=48+47+…+40+1=1?491?44.(2025·佛山模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，滿足an+2Tn=1(n∈N*)，則T2024等于()A.-16132023C.14049 D.答案C解析由an+2Tn=1(n∈N*)，可得當(dāng)n=1時(shí)，a1+2T1=3a1=1，即有a1=13當(dāng)n≥2時(shí)，an=TnTn?1，可得2Tn化為1Tn-1即數(shù)列1Tn是首項(xiàng)為3，公差為可得1Tn=3+2(n-1)=2n+1，即Tn=可得T2024=12×2024+1二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.在數(shù)列{an}中，若a1=13，an+1=aA.數(shù)列1aB.數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為Tn=3C.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1D.數(shù)列{an}的最小值為1答案BC解析因?yàn)閍n+1=an3an+1，易知an≠0，所以1an+1=3an+1a由A知，1an=3+3(n-1)=3n，所以數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為Tn=n(3+3n)由B可知1an=3n，所以an=13因?yàn)閍1=13，a2=16<a1，故數(shù)列{an}的最小值不為13，故6.設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A.數(shù)列{Sn+n}為等比數(shù)列B.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1-1C.數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列D.Sn=2n-n答案AD解析∵Sn+1=2Sn+n-1，∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n)，又S1+1=2≠0，∴數(shù)列{Sn+n}是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；∴Sn+n=2n，∴Sn=2n-n，故選項(xiàng)D正確；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，不滿足上式，∴an=1,n=1,2∵an+1=2,n=1,2n?1,n≥2,∴a2+1a三、填空題(每小題5分，共10分)7.若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+2n+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.

答案n·2n解析在數(shù)列{an}中，由an+1=2an+2n+1，得an+12n+1=an2而a1=2，a12于是數(shù)列an2n是首項(xiàng)為1因此an2n=1+(n-1)×1=n，即an=n·8.(2025·南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

答案an=1解析在數(shù)列{