河北省普通高校2025屆招生考試精準(zhǔn)預(yù)測卷（三）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省普通高校2025屆招生考試精準(zhǔn)預(yù)測卷（三）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于集合，因?yàn)?，所以，又，則，則，故選：C．2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，則，故選：C．3.若（其中）是偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】由題意知：，則，化簡為，則，解得．故選：A．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，顯然，所以，則，則，解得或（舍去），所以，則．故選：B．5.已知函數(shù)的最小正周期為，且．則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，則，解得．因?yàn)?，所以時(shí)，取最大值，則，取，則，時(shí)，，所以，則的取值范圍為，故選:D．6.已知直線，直線，若與交點(diǎn)為，且，則的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】可變形為由可得，則恒過定點(diǎn)，同理可得恒過定點(diǎn)，且有，則，此時(shí)的軌跡是以為直徑的圓：．因，由圖知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的值最小，其最小值為.故選：A．7.已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限）且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則當(dāng)時(shí)，的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)，則有，化簡為，則，則，則，解得時(shí)，，代入解得，則．故選：B．8.已知的最小值為0，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則令，令，則；令，則，且時(shí)，，則的取值范圍為.則的最小值為0，即的最小值為0，即，則時(shí)，，則．故選：A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，且向量的夾角為，下列說法正確的是（）A.B.C.向量和的夾角為D.若，則【答案】BD【解析】因?yàn)?，且向量的夾角為，對于選項(xiàng)A：，則A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：要使得，則它們的數(shù)量積為0.即，則B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，則C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，解得，則D正確．故選：．10.已知有甲?乙兩個(gè)盒子，甲中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球．從甲中取出一個(gè)球放入乙中，再從乙中取出一個(gè)球放入甲中．記事件“從甲中取出的球?yàn)榘浊颉?；事件“從乙中取出的球?yàn)榘浊颉?；事件“甲中最后?個(gè)白球”．下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A中，由，所以A正確；對于B中，由全概率公式，可得，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，則，所以D正確.故選：ACD．11.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，實(shí)軸長為到漸近線的距離為為雙曲線右支上一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的虛軸長為2B.若構(gòu)成三角形，則的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為2C.若，則的面積為4D.若，則的最大值為【答案】BC【解析】雙曲線的一條漸近線為，即，則，解得．實(shí)軸長為4，則有，則，對于選項(xiàng)A：虛軸長為，則A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：如圖，不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊分別切于的內(nèi)心為，則，又，則，解得，則，則B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，則，則，解得，則，則，則C正確；對于選項(xiàng)D：由于，則直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，由，則D錯(cuò)誤．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12.已知函數(shù)，則在處的切線方程為__________．【答案】【解析】，且，則，則切線方程為，即為．.故答案為：.13.已知等差數(shù)列中，是的前項(xiàng)和，且滿足，則__________．【答案】【解析】設(shè)公差為，則，解得，則.故答案為：.14.已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】由于時(shí)，，即函數(shù)圖像關(guān)于對稱，因此，故．又，則，即為，則，故．由于，所以，則．令，則在上單調(diào)遞減，，，則的取值范圍為．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟．15.在中，角對應(yīng)的邊長分別為，且有．（1）求角；（2）若，且為銳角三角形，求的面積的最大值．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可化簡為，即，因?yàn)?，所以解得，?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，又，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)銳角三角形，所以．16.如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，．（1）證明：；（2）若二面角為，且，求與平面所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，且，所以平面，平面．所以.（2）解：由（1）得，，所以為二面角的平面角，即，，則，又，則，因?yàn)椋傻?，又，且平面，平面，則平面，則兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，則，設(shè)平面的法向量，則，即為，取，設(shè)平面與所成角為，則，，故平面與所成角的余弦值為．17.2024年奧運(yùn)會(huì)，我國射擊項(xiàng)目收獲頗豐，現(xiàn)有甲?乙兩位射擊愛好者來到靶場射擊．已知甲每次射擊上靶的概率為，乙每次射擊上靶的概率為，甲?乙兩人每次射擊是否上靶相互獨(dú)立．（1）若甲?乙兩人各自射擊3次，求甲?乙兩人共上靶至少2次的概率；（2）若甲?乙兩人各自射擊2次，上靶得一分，不上靶得零分，記甲?乙兩人得分的差的絕對值為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)甲上靶次數(shù)為，乙上靶次數(shù)為，且則；（2）的可能取值為，有，，，的分布列為012．18.已知圓，圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切，若圓的圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)（在軸上方），且曲線與軸交于兩點(diǎn)（在點(diǎn)左側(cè)），記直線的斜率分別為，請問是否為定值，如果是請求出定值；如果不是，請說明理由．解：（1）設(shè)，則，則在圓內(nèi)部，則，即為，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)曲線的方程為：，則，解得，故，則的方程為；（2）如圖,令，則，易知直線斜率不為0，設(shè)直線，則化簡得，則，，同理，且，則，，所以是定值，該定值為．19.已知，且在處取得極小值．（1）求的值；（2）若，且在處取得極大值，求的取值范圍；（3）證明：對于任意的，有恒成立．（1）解：，則，解得，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又由，可知當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，對求導(dǎo)，得到，可知單調(diào)遞增，有mx>e-π6-12>0可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又由，可知當(dāng)時(shí)，，由①②可知時(shí)，函數(shù)在處取得極小值；（2）解：，則，對求導(dǎo)得到，①當(dāng)時(shí)，若x∈0,π2,px>0,g'②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由①知不可能是的極大值點(diǎn)，若時(shí)，存在，使當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，可知當(dāng)