河南省安陽市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省安陽市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的周長為（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由，則，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形為以為圓心，為半徑的圓，故復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的周長為.故選：D.3.已知平行四邊形的對角線的交點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，.故選：C4.甲、乙兩人玩迷宮游戲，已知迷宮的入口編號為1，出口編號分別為2，3，4，5，6，7，兩人從入口進(jìn)入后，他們離開的出口編號之和為8的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】甲、乙兩人分別從6個(gè)出口中選擇1個(gè)出口有6種不同的選法，故共有種不同的基本事件，又他們離開的出口編號之和為8的包含的基本事件有共5個(gè)，所以他們離開的出口編號之和為8的概率為.故選：B.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，且，若的周長為20，則的實(shí)軸長為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以?根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于定值（）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線.對于點(diǎn)在雙曲線右支上，有，即，可得①.對于點(diǎn)在雙曲線右支上，有，則.已知的周長為，的周長，而.所以，即②.將①代入②中，得到，即，解得.根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的實(shí)軸長為.把代入，可得實(shí)軸長為.故選：C6.如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，又點(diǎn)為的重心，所以，則，，則，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：B7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則（）A.3 B.6 C.1015 D.2030【答案】A【解析】由，變形得到，即，故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，故①，則②，式子②-①得，則，，所以為等差數(shù)列，則，，即，解得，所以，則，，又，故.故選：A8.已知函數(shù)在時(shí)滿足恒成立，且在區(qū)間內(nèi)，僅存在三個(gè)數(shù)，，，使得，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時(shí)，，令，則當(dāng)時(shí)，，故要想在時(shí)滿足恒成立，需滿足，不妨取，，，畫出在上的圖象，如下：由圖象可知，，，則，故，兩式相加得，所以.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.定義：已知函數(shù)在其定義域上的最大值為，最小值為，若，則稱是“間距函數(shù)”，則下列函數(shù)是“間距函數(shù)”的有（）A， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】對于選項(xiàng)A，易知的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，，令，，當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，令，因?yàn)?，則，且，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，圓，則下列說法正確的是（）A.若，則的面積為2B.若，則直線被圓截得的弦長為C.若為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)D.若為與軸正半軸的交點(diǎn)，為圓的直徑（在第一象限），的中點(diǎn)為，（表示斜率），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】對于A，，設(shè)點(diǎn)P,記則因?yàn)?所以解得,所以的面積為，故A正確；對于B，若，則，所以，所以直線為，所以，又因?yàn)椋瑘A心到直線距離，所以直線被圓截得的弦長為，故B正確；對于C，由橢圓的性質(zhì)可知，即.若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，則滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；同理，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；故使得為等腰三角形的點(diǎn)共6個(gè)，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，則下列說法正確的是（）A.三棱柱的體積為4B.以為球心，體積為的球面與側(cè)面的交線的長度為C.若，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上，則的最小值為D.若空間中的一點(diǎn)滿足，則的最小值為【答案】AD【解析】對于A，由直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，所以，所以，故A正確；對于B，設(shè)體積為的球的半徑為，所以，解得，取中點(diǎn)，由，所以，，由直三棱柱的性質(zhì)可得平面，設(shè)為球面與側(cè)面的交線上的任一點(diǎn)，所以，所以，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故體積為的球面與側(cè)面的交線的長度為，故B錯(cuò)誤；對于C，取關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接交于線段的中點(diǎn)，又點(diǎn)在平面上，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為，此時(shí)的最小值為，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D，點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面，且，所以，又，所以在橢圓的短軸所在直線上，又，所以到橢圓的中心的距離為，所以的最小值為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，則公比為______________.【答案】【解析】設(shè)數(shù)列公比為q，因，則.又，則.故答案為：13.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了所有在職教師（只有一級教師和高級教師）的工資情況，其中一級教師80人，平均工資為4.5千元，方差為0.04，高級教師20人，平均工資為6.5千元，方差為0.44，則該校所有在職教師工資的方差為______________.【答案】0.76【解析】設(shè)一級教師的平均工資和方差為、，高級教師的平均工資和方差為、，因一級教師的占比，高級教師的占比，則全校教師的平均工資為(千元)，則教師工資的方差為.故答案為：0.7614.已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)____________，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為____________.【答案】①.；②.【解析】由可得令，則，故，解得，由可得，故得，化簡可得，解得或，故答案為：，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，點(diǎn)到直線的距離為，求的周長.解：（1）在中，，，則，而，，解得，則，所以.（2）由正弦定理得，不妨設(shè)，則，由余弦定理得，解得，由，得，解得，所以，即的周長為14.16.如圖，已知正方體的棱長為2，是棱上靠近的四等分點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由正方體的性質(zhì)可知平面，故是三棱錐的高，所以四面體的體積為，由題意知，，，所以，又，故點(diǎn)到平面的距離；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則.17.隨著網(wǎng)絡(luò)App的普及與發(fā)展，刷“抖音”成為了人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠?某地區(qū)隨機(jī)抽取了部分20～40歲的“抖音”用戶，調(diào)查他們?nèi)站ⅰ岸兑簟钡臅r(shí)間情況，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：性別日均刷“抖音”時(shí)間超過2小時(shí)日均刷“抖音”時(shí)間不超過2小時(shí)男性4872女性2456（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為日均刷“抖音”時(shí)間的長短與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從被調(diào)查日均刷“抖音”時(shí)間超過2小時(shí)的用戶中，按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取3名用戶參加抖音知識問答，已知男性用戶、女性用戶順利完成知識問答的概率分別為，，每個(gè)人是否順利完成知識問答相互獨(dú)立，求在有且僅有2人順利完成知識問答的條件下，這2人性別不同的概率.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意，列聯(lián)表如下：性別日均刷“抖音”時(shí)間超過2小時(shí)日均刷“抖音”時(shí)間不超過2小時(shí)合計(jì)男性4872120女性245680合計(jì)72128200零假設(shè)為：日均刷“抖音”時(shí)間的長短與性別無關(guān)，則，故依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)成立，即日均刷“抖音”時(shí)間的長短與性別無關(guān).（2）由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取男性用戶2人，女性用戶1人.記“有且僅有2人順利完成知識問答”為事件，“2人性別不同”為事件，則，，故.18.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，證明：.解：（1）由題可知，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，沒有極小值.（2）設(shè)，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，恒成立.又，若，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意，若，令，得或.若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，不符合題意，若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋栽谏铣闪?，要使在上也成立，只需，即，得，故的取值范圍?（3）由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，.又由（2）知當(dāng)時(shí)，，故可作出，在上的大致圖象如下，除了點(diǎn)，的圖象都在的圖象的下方，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為和，由圖可知19.設(shè)，是拋物線上除頂點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作的切線，兩條切線相交于點(diǎn).（1）若且，求直線的方程；（2）設(shè)，分別為直線，與軸的交點(diǎn)，證明：的外接圓過定點(diǎn)；（3）若的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，證明：點(diǎn)是的外心.附：拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.（1）解：根據(jù)對稱性可知在，兩點(diǎn)處的切線斜率為由得，從而，令，得，所以，所以直線的方程為.（2）證明：由題意可設(shè)直線，點(diǎn)，.因?yàn)?，所以直線，即，令，得，所以.同理，直線，令，得，所以聯(lián)立直線與的方程，得，消去整理得，則，.由解得所以因?yàn)?，，?/p>