河南省南陽(yáng)地區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)地區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一、二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若數(shù)列滿足，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，所以.故選：A2.某運(yùn)動(dòng)物體的位移（單位：米）關(guān)于時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，有，故該物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為米/秒.故選：D.3.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)有，令，得，則有，即的系數(shù)為.故選：B.4.若是正項(xiàng)無(wú)窮的等差數(shù)列，且，則的公差的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，得，因?yàn)槭钦?xiàng)無(wú)窮的等差數(shù)列，所以，所以，得，即的公差的取值范圍是.故選：D5.已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，若切線長(zhǎng)為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為Q，則|CQ|=1,|PQ|=26則PC=設(shè)Px,y，則由兩點(diǎn)間距離公式得到(x-4)解得，因?yàn)閥2=8x≥0，所以，因?yàn)榈臏?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離PE為3--2=5.故選：A.6.已知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．令，得，所以直線與的圖象相切時(shí)的切點(diǎn)為，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．故選：A.7.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換對(duì)方投籃.已知甲每次投籃的命中率均為0.8，乙每次投籃的命中率均為0.7，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5，則第三次投籃的人是甲的概率為（）A.0.35 B.0.525 C.0.575 D.0.595【答案】C【解析】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，設(shè)，依題可知，，則，即，設(shè)，解得，則，又，則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，．則第次投籃的人是甲的概率為.當(dāng)時(shí)，故選：C.8.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的3個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等比數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.現(xiàn)有下列3個(gè)命題：①數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；②數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；③數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】對(duì)于①，由于從數(shù)列中刪去兩項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)可被平均分為組，能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列，故①正確；對(duì)于②，由于從數(shù)列中刪去兩項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)可被平均分為組，都能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列，故②正確；對(duì)于③，由于從數(shù)列中刪去兩項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)可被平均分為組，都能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列，故③正確；所以真命題有個(gè).故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為普及航天知識(shí)，弘揚(yáng)航天精神，某學(xué)校舉辦了一次航天知識(shí)競(jìng)賽.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，學(xué)生成績(jī)（滿分100分），其中不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，且優(yōu)秀率為.若從全校參與競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)選取5人，記選取的5人中知識(shí)競(jìng)賽及格的學(xué)生人數(shù)為，則（）A.該知識(shí)競(jìng)賽的及格率為 B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)A：由題意可得，則，即，故A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由題意可得，則，故C正確；對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列可能為常數(shù)列B.數(shù)列可能為等比數(shù)列C.若，則D.若，記是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值為【答案】ABD【解析】A.當(dāng)時(shí)，，得或（舍），此時(shí)為常數(shù)列，故A正確；B.，，，若時(shí)，此時(shí)，不是等比數(shù)列，若時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；C.若，，所以，故C錯(cuò)誤；D.若，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若有極小值，則B.若在上單調(diào)遞增，則C.對(duì)任意的存在唯一零點(diǎn)D.若恒成立，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，所以，即．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B正確．對(duì)于C，令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即存在唯一零點(diǎn)，故C正確．對(duì)于D，由，得，即．令，則．，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在直線的上方，則當(dāng)曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______________【答案】【解析】曲線與直線平行的切線切點(diǎn)到直線距離最短，令，則，令，即，解得或（舍），，即切點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.13.已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_________，內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)_________.【答案】；【解析】第一空，將代入中，，即，，則橢圓方程為，離心率為：.第二空，如圖所示，易得，則，，，因?yàn)?為三角形周長(zhǎng)，為內(nèi)切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：；.14.設(shè)的個(gè)位數(shù)為，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為_(kāi)_______________，從數(shù)列的前100項(xiàng)中任選2項(xiàng)，則這2項(xiàng)中至少有1項(xiàng)是質(zhì)數(shù)的概率為_(kāi)_______________.【答案】500；【解析】，……，可以發(fā)現(xiàn)為周期為4的數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)和；的前100項(xiàng)中有25個(gè)7，25個(gè)9，25個(gè)3，25個(gè)1，由于1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，3,7為質(zhì)數(shù)，9為合數(shù)，任選2項(xiàng)，共種情況，其中這2項(xiàng)中至少有1項(xiàng)是質(zhì)數(shù)的情況為，故這2項(xiàng)中至少有1項(xiàng)是質(zhì)數(shù)的概率為故答案為：500，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，.（1）證明：為直角三角形.（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題可得，，則，故，故為直角三角形；（2），，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，則有，則直線與平面所成角正弦值為.16.某地五一假期舉辦大型促銷活動(dòng)，匯聚了各大品牌新產(chǎn)品的展銷．現(xiàn)隨機(jī)抽取7個(gè)品牌產(chǎn)品，得到其促銷活動(dòng)經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與銷售額（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：品牌代號(hào)1234567促銷活動(dòng)經(jīng)費(fèi)1246101320銷售額12204440566082若將銷售額與促銷活動(dòng)經(jīng)費(fèi)的比值稱為促銷效率值，當(dāng)時(shí)，稱為“有效促銷”，當(dāng)時(shí)，稱為“過(guò)度促銷”．（1）從這7個(gè)品牌中隨機(jī)抽取4個(gè)品牌，求取出的4個(gè)品牌中“有效促銷”的個(gè)數(shù)比“過(guò)度促銷”的個(gè)數(shù)多的概率；（2）從這7個(gè)品牌中隨機(jī)抽取3個(gè)，記這3個(gè)品牌中“有效促銷”的個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．解：（1）根據(jù)題意計(jì)算得，7個(gè)品牌中“有效促銷”的品牌是1，2，3號(hào)品牌，共有3個(gè)，“過(guò)度促銷”的品牌是6，7號(hào)品牌，共有2個(gè)．設(shè)“取出的4個(gè)品牌中‘有效促銷’的個(gè)數(shù)比‘過(guò)度促銷’的個(gè)數(shù)多”為事件，則．（2）由（1）知，7個(gè)品牌中有3個(gè)品牌是“有效促銷”，所以的可能取值是0，1，2，3，因?yàn)?，，，，所以的分布列為?123所以．17.已知數(shù)列an滿足且.（1）求an的通項(xiàng)公式（2）設(shè)an的前項(xiàng)和為，x表示不大于的最大整數(shù).①求；②證明：當(dāng)時(shí)，為定值.解：（1）由，則，即，則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，故，即；（2）①由，則，，則，故；②令，則，則，故數(shù)列bn為單調(diào)遞減數(shù)列，又，故當(dāng)時(shí)，，故，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即為定值.18.已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.（1）求雙曲線的方程；（2）若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.解：（1）設(shè)雙曲線焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以該焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又雙曲線實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，故，即，故雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)閯?dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，得，設(shè)動(dòng)直線與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，聯(lián)立，得，同理得，則，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)椋?，即，故的面積為定值，且定值為.19.若函數(shù)滿足對(duì)任意