河南省南陽(yáng)市六校聯(lián)盟體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市六校聯(lián)盟體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A2.已知在中，且，則的值為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】因，則，故，則，所以．故選：D3.以下變換中，能將函數(shù)的圖象變?yōu)楹瘮?shù)的圖象的是（）A.每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍【答案】B【解析】對(duì)于A，變換后的函數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，變換后的函數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，變換后的函數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，變換后的函數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：B4.已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，則，所求投影向量的坐標(biāo)為．故選：B.5.已知函數(shù)①，②，③，④，⑤，則下列選項(xiàng)中同時(shí)滿足（1）是偶函數(shù)，（2）最小正周期是，（3）對(duì)稱軸相同這三個(gè)條件的是（）A.①②⑤ B.①③④ C.②③⑤ D.③④⑤【答案】B【解析】結(jié)合三角函數(shù)圖象與圖象變換，依次畫出①②③④⑤的函數(shù)圖象，由圖象可知，②⑤不是周期函數(shù)，故②⑤不符合；①③④均為偶函數(shù)，最小正周期為，對(duì)稱軸為，符合所有條件.故選：B6.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知，且有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榍?，有兩解，所以，得．故選：C7.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由題，則，即，又為上的增函數(shù)，且，所以所求函數(shù)值域?yàn)?；函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)在上的減區(qū)間，所以，解得所求單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D8.已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出圖形如圖所示，扇形，設(shè)半徑為1，，設(shè)，，由圖可知，又，所以，所以，由，，得．，，故．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.周期函數(shù)不一定有最小正周期B.時(shí)針走了1小時(shí)40分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角是C.若角滿足，，則一定為第四象限角D.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)是周期函數(shù)，但沒(méi)有最小正周期，故A正確；對(duì)于B，易知分針轉(zhuǎn)過(guò)的角是，故B正確；對(duì)于C，由，可得：，，所以一定為第三象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可知是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確．故選：ABD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.在中，若，，則C.已知向量，，與夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.已知，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，則“”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄坑蟹较?，所以不能像?shí)數(shù)一樣比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由即解得，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理，可知，故D正確．故選：BCD.11.已知是表示不超過(guò)的最大整數(shù)（比如：，），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是B.函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是C.若函數(shù)，則的值域是D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有5個(gè)【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榈淖钚≌芷谑?，即，所以，所以函?shù)是周期函數(shù)，最小正周期是，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，所以不是函數(shù)的最小正周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，所以，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)，其中，函數(shù)是周期為1的函數(shù)，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象如下，由圖象可知，它們?cè)趦?nèi)有6個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量，的夾角為，則向量，的夾角為_(kāi)_____．【答案】或【解析】由已知，，所以，又，，所以，，，設(shè)向量，的夾角為，所以．又因?yàn)?，所?所以向量，的夾角為．故答案為：.13.已知關(guān)于的方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，則，原方程可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上有解，分離參變量得：，即等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點(diǎn)．又因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即．故答案為：.14.如圖，在梯形中，，，是邊所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，若該梯形的面積為，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】16【解析】取的中點(diǎn)，作，垂足為，則，因?yàn)樵撎菪蔚拿娣e為，且，，則，即，可得，所以的最小值為16.故答案為：16.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）已知向量，，若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知向量，，，若，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以由，解得．?）因?yàn)椋?，．所以．因?yàn)椋?，即，解得，即，所以?6.已知某扇形的周長(zhǎng)是8．（1）當(dāng)該扇形的面積最大時(shí)，求其圓心角的大?。唬?）在（1）的條件下，求該扇形中所含弓形的面積．（注：弓形是指在圓中由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形．）．解：（1）設(shè)該扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)該扇形的面積，，其圓心角，故所求圓心角．（2）由（1）知，．又因?yàn)閮砂霃脚c圓心角所對(duì)弦構(gòu)成的三角形面積，所以所求弓形的面積，故所求弓形的面積是．17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間和其圖象的對(duì)稱中心．解：（1）由的部分圖象知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，．因?yàn)?，所以，則．因?yàn)榍?，得，故．?）將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，得的圖象．令，整理得，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，．令，則，故圖象對(duì)稱中心為，．18.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知是銳角，向量，，且．（1）若，求實(shí)數(shù)的值．（2）已知．（i）求面積的最大值；（ii）在（i）的條件下，判斷的形狀．解：（1）因?yàn)槭卿J角，且，，所以，解得或（舍去），所以，由余弦定理得，又，則，結(jié)合，所以．（2）（i）由（1）知，，由余弦定理得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即面積的最大值為.（ii）由（i）可知，取得最大值時(shí)，，又，所以為等邊三角形．19.我市某大型綜合商場(chǎng)門前有條長(zhǎng)120米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形），路的一側(cè)劃有24個(gè)長(zhǎng)5米，寬2.5米的停車位（如矩形）．由于停車位不足，高峰期時(shí)段道路擁堵，該商場(chǎng)郭經(jīng)理提出一個(gè)改造方案：在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過(guò)壓縮道路旁邊的綠化帶及改變停車位的方向來(lái)增加停車位．記綠化帶被壓縮的寬度米，停車位相對(duì)道路傾斜的角度，其中．（1）若，求和的長(zhǎng)；（2）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（3）若，按照郭經(jīng)理的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加了多少個(gè)？解：（1）由題意得米，米，，則，即．由，且，，可得，，則米，米．（