2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專練：圓的各性質(zhì)的綜合題（原卷版+解析）

壓軸題05圓的各性質(zhì)的綜合題

部盤重點(diǎn)?抓核心

圓這個(gè)考點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)中是“個(gè)性”比較明顯、容量比較大的一個(gè)重點(diǎn)，這個(gè)特點(diǎn)的表現(xiàn)是：首先圓

的性質(zhì)只能在圓中應(yīng)用，其次圓的性質(zhì)的小考點(diǎn)特別多，與其他重要幾何圖形的結(jié)合出題的可能性也非常

大。在其眾多考點(diǎn)中，常在壓軸題出現(xiàn)的考點(diǎn)有如下幾個(gè)：

1、三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)外接圓的圓心叫做三

角形的外心，三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；

2、垂徑定理及其推論：

垂徑定理：垂直于弦的直徑必平分弦，并且平分弦所對的??；

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；

推論2：平分弧的直徑垂直于弧所對的弦。

3、圓心角與圓周角定理：

圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半。

圓周角定理的重要推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓心角與圓周角定理的重要應(yīng)用：

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩個(gè)圓周角、兩條弧'兩條弦、兩條弦心距中有一對量相等，那

么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等。

（但在一些理論性問題中，注意弦所對的圓周角是有2種度數(shù)的，并且它們互補(bǔ)。）

4、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)（延伸應(yīng)用：圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于與它相鄰內(nèi)角的對角）

5、弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積計(jì)算公式：

r_"口外

弧長公式：W

扇形面積公式：扇形一與（廠一5r

圓錐與圓柱相關(guān)計(jì)算公式：

側(cè)面展開圖(9=y--360°

0/\

圓錐側(cè)面積SM=TtrZ

圓錐全面積S全=nrl+nr12

—2nr--------H

圓柱側(cè)面積SM=2EK——

v~'1

圓柱全面積S全=2江丁2+2k2____±

6、切線的判定與性質(zhì)：

直線與圓相切的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線；

切線的判定問題解決口訣：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直。

圓的切線的性質(zhì)：經(jīng)過切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線；

切線的性質(zhì)問題解決口訣：有切點(diǎn)，連半徑，得垂直。

7、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心,

三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；

壓軸題型一：垂徑定理及其應(yīng)用

\/滿分技法

圓的計(jì)算問題中，只要奉涉到長度的計(jì)算，首先想垂徑定理相關(guān)的“知二得三”模型，具

體內(nèi)容如下：

1.“知二得三”：

由圖可得以下5點(diǎn)：

①ABLCD；②AE=EB；③AD過圓心0；④助=&;⑤的）=而；

6以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意2個(gè)，剩余的3個(gè)都可以作為結(jié)論使用。

D

2.常?做輔助線：連半徑'作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角

1.（2024?武威三模）如圖，。。的半徑為5,弦A8=6,點(diǎn)C在弦A8上，延長CO交。。于點(diǎn)。，則CZ）

的取值范圍是（）

A.6WCOW8B.8WCDW10C.9<CD<10D.9WCDW10

2.（2024?柯橋區(qū)二模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小

敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、8、C、

。四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5aw,AB=4cm,CD=3cm.請你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑

為（)

A.4.8cmB.5cmC.5.2cmD.6cm

3.（2024?高青縣模擬）如圖，的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)尸是上的任意一點(diǎn)，PA

LPB,且B4、尸5與％軸分別交于A、8兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則A8的最大值為（）

A.13B.14C.12D.28

4.（2024?昆都侖區(qū)二模）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cW,則該半圓

C.4V5cmD.Gyjlcm

5.（2024?溫州模擬）某一公路單向隧道由一弧形拱與矩形組成，為了確定大貨車通過公路隧道的最大高度,

道路交通學(xué)習(xí)小組展開了以下研究.如圖1,經(jīng)測量得AB=4m,為了確定8c與弧形拱半徑的長度，學(xué)

習(xí)小組找到一根5加長的筆直桿子，將桿子一端置于點(diǎn)C處，另一端置于4。上點(diǎn)E處，AE^lm.如圖

2,調(diào)整桿子位置，直至一端在AB上的點(diǎn)G處，另一端在圓弧上點(diǎn)F處，F(xiàn)GLAB,GB=\m,如圖3,

某一集裝箱大貨車寬為24〃，則該大貨車的最大高度（包括貨物）m.

壓軸題型二：圓周角與圓心角

\/滿分技法

1、圓的計(jì)算問題中，如果是角度相關(guān)計(jì)算或證明，則立刻聯(lián)想圓周角與圓心角的相關(guān)定理

推論；

2、圓中最不缺的就是等腰三角形，所以圓的角度計(jì)算時(shí)，多想想有沒有等邊對等角，再結(jié)

合三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等等綜合思考。

1.（2024?重慶）如圖，A3是。。的弦，交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是O。上一點(diǎn)，連接B。，CD.若/

C.56°D.62°

2.（2024?西藏）如圖，AC為。。的直徑，點(diǎn)8,。在OO上，ZABD=60°,CD=2,則的長為（）

C.2V3D.4

3.（2024?海南）如圖，AQ是半圓。的直徑，點(diǎn)8、C在半圓上，且腦=瓶=前，點(diǎn)P在前上，若/

PCB=130°,則NP8A等于（）

A.105°B.100°C.90°D.70°

4.（2024?陜西）如圖，AB為O。的直徑，AC^AD,NA=53°,則NB的度數(shù)是.

5.（2024?長春）如圖，A8是半圓的直徑，AC是一條弦，。是前的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)R

交AC于點(diǎn)G,連結(jié)AD給出下面四個(gè)結(jié)論：

?ZABD^ZDAC；

@AF=FG；

③當(dāng)。G=2,G8=3時(shí)，F(xiàn)G=~,

④當(dāng)皿=2冠，AB=6時(shí)，△。尸G的面積是百，

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有.

6.（2024?包頭）如圖，AB是。。的直徑，BC,8。是。。的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)。在A8的兩側(cè)，E是OB

上一點(diǎn)（OE>BE）,連接OC,CE,且N8OC=2/BCE.

（1）如圖1,若BE=1,CE=V5,求。。的半徑；

（2）如圖2,若BD=2OE,求證：80〃OC.（請用兩種證法解答）

圖1圖2

壓軸題型三：圓內(nèi)接四邊形

1.（2024?吉林）如圖，四邊形A3C。內(nèi)接于。。過點(diǎn)8作8E〃AD交CD于點(diǎn)E.若/BEC=50°,則

/ABC的度數(shù)是（）

2.（2024?濟(jì)寧）如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形A2C。的兩組對邊，延長線相交于點(diǎn)E,足若/E=54°41',

/尸=43°19',則/A的度數(shù)為（）

3.（2024?浙江）如圖，在圓內(nèi)接四邊形A2CD中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延長A。至點(diǎn)E,使AE=

AC,延長A4至點(diǎn)R連結(jié)ER使

（1）若NAFE=60°,CD為直徑，求NA8D的度數(shù).

（2）求證：①EF〃BC；

?EF=BD.

F

AB

壓軸題型四：三角形的外接圓與外心

（多選）1.（2024?濰坊）如圖，是△ABC的外接圓，AO//BC,連接C。并延長交OO于點(diǎn)D分別

1

以點(diǎn)A,。為圓心，以大于5AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點(diǎn)直線。”交5C于點(diǎn)連

C.ZAOD=ZBACD.四邊形AOCE為菱形

AB+AC

2.（2024?宜賓）如圖，△ABC內(nèi)接于5C為。0的直徑，AZ）平分NA4C交。0于。，則------的值

AD

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

3.（2024?河南）如圖，OO是邊長為4遮的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)。是我的中點(diǎn)，連接8。，CD.以

點(diǎn)。為圓心，8。的長為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

I/0\\

BC

D

B.4irD.161r

4.（2024?蘇州）如圖,△■BC中,AB=4V2,。為AB中點(diǎn)，ZBAC=ZBCD,cos/AZ)C=干，。。是4

ACD的外接圓.

（1）求BC的長；

（2）求。。的半徑.

壓軸題型五：切線的性質(zhì)

1.（2024?揚(yáng)州）如圖，已知兩條平行線/1、/2,點(diǎn)A是人上的定點(diǎn)，A8L/2于點(diǎn)2,點(diǎn)C、。分別是3h

上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC=BD,連接CD交線段A8于點(diǎn)E,于點(diǎn)“，則當(dāng)最大時(shí)，sinZ

BAH的值為

2.（2024?重慶）如圖，AB是。。的直徑，8c是。。的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn).連接AC交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是。。上一點(diǎn)，連接BE,DE,過點(diǎn)A作A/〃BE交的延長線于點(diǎn)￡若8C=5,CD=3,ZF=Z

ADE,則AB的長度是;的長度是

3.(2024?青島)如圖，△A8C中，BA=BC,以8C為直徑的半圓。分別交AB,AC于點(diǎn)。，E.過點(diǎn)E作

半圓。的切線，交AB于點(diǎn)M,交BC的延長線于點(diǎn)N.若ON=10,cos|,則半徑0c的長

為

4.(2024?涼山州)如圖，OM的圓心為M(4,0),半徑為2,P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

的切線，切點(diǎn)為。，則尸。的最小值為

NABO=30°,AB為。。的弦，直線MN與。。相切于點(diǎn)C.

(I)如圖①，若AB〃MN,直徑CE與AB相交于點(diǎn)。，求NAOB和NBCE的大小;

(II)如圖②，若OB〃MN,CG±AB,垂足為G,CG與08相交于點(diǎn)/，。4=3,求線段。尸的長.

圖①圖②

壓軸題型六：切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

V,滿分技法

1、圓的切線的判定，抓住本質(zhì)一一證垂直。故切線判定的問題，重要思想是：要證垂直，

先找垂直。即要證明的直角多是由題目中出現(xiàn)的其他垂直或互余關(guān)系轉(zhuǎn)化得來的。

2、切線的判定問題解決口訣：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直。

1.(2024?威海)如圖，已知AB是的直徑，點(diǎn)C,。在上，且8C=CD點(diǎn)E是線段A8延長線上

一點(diǎn)，連接EC并延長交射線4。于點(diǎn)足NPEG的平分線即交射線AC于點(diǎn)反，ZH=45°.

(1)求證：跖是。。的切線；

(2)若BE=2,CE=4,求AE的長.

2.(2024?雅安)如圖，A2是。。的直徑，點(diǎn)C是O。上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是延長線上的一點(diǎn)，連接AC,

ZPCA=ZB.

(1)求證：PC是。。的切線；

1

(2)若sin/5=2，求證：AC=AP；

(3)若于。，朋=4,BD=6,求的長.

3.(2024?淮安)如圖，在△ABC中，BA=BC,以48為直徑作OO交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。E_L8C,垂

足為E,延長OE交AB的延長線于點(diǎn)孔

(1)求證：DF為。0的切線；

(2)若BE=1,BF=3,求sinC的值.

4.(2024?遂寧)如圖，4?是的直徑，AC是一條弦，點(diǎn)。是數(shù)的中點(diǎn)，ONLA3于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)

F,連結(jié)DB交AC于點(diǎn)G.

(1)求證：AF=DF；

(2)延長GZ)至點(diǎn)M,使。M=DG,連結(jié)AM.

①求證：40是O。的切線；

②若DG=6,DF=5,求。。的半徑.

M

壓軸題型七：弧長的計(jì)算

42.（2024?包頭）如圖，在扇形AO8中，ZAOB=80°,半徑。4=3,C是砂上一點(diǎn)，連接。C,。是OC

上一點(diǎn)，且OD=Z）C,連接2D若3O_L0C,則衣的長為（

43.（2024?廣安）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,NC=70°,以AB為直徑作半圓，與AC,

2C分別相交于點(diǎn)。，E,則力的長度為（）

57r

9

44.（2024?臨夏州）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點(diǎn)。為圓心，。/為半徑作

弧，分別交A。，BC于E,F兩點(diǎn)，則齊的長度為（結(jié)果保留n）.

FC

45.（2024?蘭州）”輪動(dòng)發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在

展覽館的仿真模型.圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中OM,ON的半徑分別是law和10cm,當(dāng)

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，ON上的點(diǎn)尸隨之旋轉(zhuǎn),則"=.

壓軸題型八：扇形面積的計(jì)算

1.（2024?泰安）兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓?！囊粋€(gè)直徑端點(diǎn)與半圓。的圓心重合，若

半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（

44V3

A.］一百B.—71C.—7T—V3D.-71——

3334

2.（2024?日照）如圖，在菱形中，AB=2,N2=120°,點(diǎn)。是對角線AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心,

。4長為半徑作圓心角為60。的扇形點(diǎn)。在扇形。砂內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（）

n1

C.---D.無法確定

24

3.（2024?重慶）如圖,在矩形A3C。中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)

公共點(diǎn).若4。=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32-8nB.16V3-4TTC.32-4nD.16V3-8TT

4.（2024?樂山）如圖，G）O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點(diǎn)C作。。的切線CO交延長線于點(diǎn)D,

點(diǎn)E為麗上一點(diǎn)、,且公=朝.

（1）求證：DC//AE；

（2）若EE垂直平分02,ZM=3,求陰影部分的面積.

5.（2024?山東）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點(diǎn)A為圓心，

以為半徑作功交于點(diǎn)E,以點(diǎn)8為圓心，以8E為半徑作即所交BC于點(diǎn)R連接陽交融于

另一點(diǎn)G,連接CG.

（1）求證：CG為麗所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結(jié)果保留江）

壓軸題型九：圓錐的計(jì)算

1.（2024?廣州）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑/是5,則該圓錐的

2^6

C.2V6TTD.-----1T

3

2.（2024?呼和浩特）如圖是平行四邊形紙片ABC。，BC=36cm,ZA=110°,/BDC=50°,點(diǎn)M為BC

的中點(diǎn)，若以M為圓心，MC為半徑畫弧交對角線8。于點(diǎn)N,則/M0C一度；將扇形MCN

紙片剪下來圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為cm.

3.（2024?廣東）綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示:

①一張直徑為10cm的圓形濾紙;

②一只漏斗口直徑與母線均為1cm的圓錐形過濾漏斗.

圖1

【實(shí)踐操作】

步驟1：取一張濾紙;

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙;

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形;

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實(shí)踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明.

（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留TT）

壓軸題型十：三角的內(nèi)切圓與內(nèi)心

1.（2024?濱州）劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一,

被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”.劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方

和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式.如圖，中，NC=90°,AB,

BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d,下列表達(dá)式錯(cuò)

_2ab

A.d—a+b-cd-a+b+c

C.d=J2(c-—b)D.d=\Qa-b)(c-Z?)|

2.（2024?綿陽）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)片在AB上運(yùn)動(dòng)，ZkAOE的內(nèi)切圓與。片相切于點(diǎn)G,將△AOE

沿。E翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，連接當(dāng)點(diǎn)E恰為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）時(shí)，且EG=V^—1,

DG=V5+1,貝Ijcos/AB尸

3.（2024?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，ZABC=60°,8c=8,E是BC邊上一點(diǎn)，且BE=2,點(diǎn)/是△ABC

的內(nèi)心，BI的延長線交AC于點(diǎn)D,P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PC,則PE+PC的最小值

為

4.（2024?煙臺(tái)）如圖，是。。的直徑，ZVIBC內(nèi)接于。0,點(diǎn)/為△ABC的內(nèi)心，連接C7并延長交。。

于點(diǎn)。，E是船上任意一點(diǎn)，連接A。，BD,BE,CE.

(1)若NABC=25°,求NCE2的度數(shù);

(2)找出圖中所有與。/相等的線段，并證明；

(3)若C/=2&,DI=-^72,求△ABC的周長.

5.(2024?自貢)在Rt^ABC中，ZC=90°,OO是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。，E,F.

(1)圖1中三組相等的線段分別是CE=CF,AF=,BD=；若AC=3,BC=4,

則O。半徑長為;

(2)如圖2,延長AC到點(diǎn)使4M=48,過點(diǎn)M作MALLAB于點(diǎn)M求證：MN是。。的切線.

6.(2024?陜西)問題提出

(1)如圖①，dtAABC中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足為D.若AB=15,AC=8,貝!IAD的長

為;

問題解決

(2)如圖②所示，某工廠剩余一塊AABC型板材，其中AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm.為了

充分利用材料，工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)盡可能大的圓型部件.你認(rèn)為可以嗎？若可以，請?jiān)趫D

中確定可裁出的最大圓型部件的圓心。的位置，并求出。。的半徑；若不可以，請說明理由.

AA

A

BC

圖②備用圖

壓軸題型十一：圓的綜合題

1.(2024?德州)如圖，圓。。1與002都經(jīng)過A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。2在。。1上，點(diǎn)C是電B上的一點(diǎn)，連接

AC并延長交。。2于點(diǎn)P,連接AB,BC,BP.

(1)求證：ZACB=2ZP；

(2)若NP=30°,AB=2V3.

①求。。1的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

2.(2024?大慶)如圖，△ABC為的內(nèi)接三角形，AB為的直徑，將△ABC沿直線翻折到△ABD

點(diǎn)。在O。上.連接8,交AB于點(diǎn)E,延長BDCA,兩線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作O。的切線交

于點(diǎn)G.

(1)求證：AG//CD-,

(2)求證：

1

(3)若sinNAPZ)=、PG=6.求tan/AGB的值.

C

A

3.（2024?日照）如圖1,AB為。。的直徑，AB=\2,C是。。上異于A,8的任一點(diǎn)，連接AC,BC,過

點(diǎn)A作射線AOLAC,。為射線AO上一點(diǎn)，連接CD

【特例感知】

⑴若BC—6,則AC=

(2)若點(diǎn)C,。在直線A8同側(cè)，且NAOC=/B,求證：四邊形A8CD是平行四邊形;

【深入探究】

若在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，始終有tan/ADC=g，連接OD

(3)如圖2,當(dāng)與。。相切時(shí)，求。。的長度；

(4)求。。長度的取值范圍.

壓軸題05圓的各性質(zhì)的綜合題

電盤重點(diǎn)?抓核心

圓這個(gè)考點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)中是“個(gè)性”比較明顯、容量比較大的一個(gè)重點(diǎn)，這個(gè)特點(diǎn)的表現(xiàn)是：首先圓

的性質(zhì)只能在圓中應(yīng)用，其次圓的性質(zhì)的小考點(diǎn)特別多，與其他重要幾何圖形的結(jié)合出題的可能性也非常

大。在其眾多考點(diǎn)中，常在壓軸題出現(xiàn)的考點(diǎn)有如下幾個(gè)：

1'三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)外接圓的圓心叫做三

角形的外心，三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；

2、垂徑定理及其推論：

垂徑定理：垂直于弦的直徑必平分弦，并且平分弦所對的?。?/p>

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；

推論2：平分弧的直徑垂直于弧所對的弦。

3、圓心角與圓周角定理：

圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半。

圓周角定理的重要推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑。

圓心角與圓周角定理的重要應(yīng)用：

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角'兩個(gè)圓周角'兩條弧'兩條弦、兩條弦心距中有一對量相等，那

么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等。

（但在一些理論性問題中，注意弦所對的圓周角是有2種度數(shù)的，并且它們互補(bǔ)。）

4、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)（延伸應(yīng)用：圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于與它相鄰內(nèi)角的對角）

5、弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積計(jì)算公式：

r

弧長公式：W

nJtr21

扇形面積公式：扇形

圓錐與圓柱相關(guān)計(jì)算公式：

直線與圓相切的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線；

切線的判定問題解決口訣：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直。

圓的切線的性質(zhì)：經(jīng)過切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線；

切線的性質(zhì)問題解決口訣：有切點(diǎn)，連半徑，得垂直。

7、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心,

三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；

壓軸題型一：垂徑定理及其應(yīng)用

滿分技法

圓的計(jì)算問題中，只要葷涉到長度的計(jì)算，首先想垂徑定理相關(guān)的“知二得三”模型，具

體內(nèi)容如下：

1.“知二得三”：

C由圖可得以下5點(diǎn)：

①ABLCD；②AE=EB；③AD過圓心0；@AC=BC^⑤&>=.；

6以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意2個(gè)，剩余的3個(gè)都可以作為結(jié)論使用。

?D

2.常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角

1.（2024?武威三模）如圖，的半徑為5,弦AB=6,點(diǎn)C在弦A3上，延長C。交。。于點(diǎn)D則

的取值范圍是（）

A.6WCOW8B.8WCDW10C.9<CD<10D.9WCOW10

1.__________________

【分析】過。作于H,由垂徑定理得到BH=1AB=3,由勾股定理求出OH=y/OB2-BH2=4,

當(dāng)C和H重合時(shí)，CD的最小值是4+5=9,當(dāng)C。是圓直徑時(shí)，O的值最大是5X2=10,即可得到C。

的取值范圍.

【解答】解：過。作OH±AB于H,

.?.BH=1AB=1x6=3,

：O。的半徑為5,

：.0B=5,

：.OH=yj0B2-BH2=4,

.,.當(dāng)C和反重合時(shí)，0C的最小值是4,的最小值是4+5=9,

當(dāng)CD是圓直徑時(shí)，C。的值最大是5義2=10,

:.CD的取值范圍是9WCDW10.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理求出的長.

2.（2024?柯橋區(qū)二模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小

敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B,C、

。四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5CH7,AB=4cm,CD=3cm.請你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑

A.4.8cmB.5cmC.5.2cmD.6cm

【分析】由垂徑定理求出BN,OM的長，設(shè)。M=無，由勾股定理得到/+2?=（3.5-%）2+1.52,求出x

的值，得到。加的長，由勾股定理求出。。長，即可求出紙杯的直徑長.

【解答】解：如圖，MN±AB,MN過圓心O,連接。。，OB,

:?MN=3.5cm,

'CCD//AB,紙條的寬為3.5。w，AB=3cm,CD=4cm,

：?MN工CD,

.?.DM=1cD=1x4=2(cm),BA?=|AB=1x3=1.5(cm),

設(shè)OA/=xcm,

：.ON=MN-OM=(3.5-x)cm,

,：OM2+MD2=OD2,OI^+BN1=OB-,

ONf+MD1=Ol^fi+BN2,

.,.?+22=(3.5-x)2+1.52,

??x=1.5，

.\0M=1.5(cm),

：.OD=y/OM2+MD2=V1.52+22=2.5(cm),

紙杯的直徑為2.5X2=5(cm).

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理及勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，由垂徑定理，勾

股定理求出的長.

3.（2024?高青縣模擬）如圖，OM的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)尸是OM上的任意一點(diǎn)，PA

-LPB,且以、尸8與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對稱，則AB的最大值為（）

A.13B.14C.12D.28

【分析】由RtAAPB中AB=20P知要使AB取得最大值，則P0需取得最大值，連接0M,并延長交。加

于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P'位置時(shí)，0P取得最大值，據(jù)此求解可得.

【解答】解：連接P。，

'：PALPB,

：.ZAPS=90°,

?..點(diǎn)A、點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對稱，

：.AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，

連接OM,并延長交。加于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)尸位于P位置時(shí)，OP取得最大值，

過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)Q,

則OQ=6、MQ=8,

：.OM=10,

又?.,MP'=r=4,

OP'=MO+MP'=10+4=14,

.?.A8=2OP'=2X14=28；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得

最小值時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?昆都侖區(qū)二模）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16c/,則該半圓

的半徑為（)

A.(4+V5)cmB.9cmC.4V5cmD.6y[2cm

【分析】連接04、OB、OE,iffRtAADO^RtABCO,推出0。=。。，設(shè)A0=〃，則。。=血，由勾股

定理求出。4=0B=0E=^a,求出斯=尸。=4°修，在△OBE■中由勾股定理求出°,即可求出答案.

【解答】解:DOC

連接。4、OB、0E,

:四邊形ABC。是正方形，

J.AD^BC,ZADO=ZBCO=90°,

:在RtAADO和RtABCO中

..(0A=OB

?yAD=BC'

ARtAADO^RtABCO(HL),

???OD=OC,

???四邊形A3CD是正方形，

：.AD=DC,

設(shè)AD=acm,則OD=OC=*DC=扣。=%cm,

在△A。。中，由勾股定理得：OA=OB=OE=^-acm,

??,小正方形EFCG的面積為16c加2,

；.EF=FC=4cm,

在△OEE中，由勾股定理得：(—a)2=42+(4a+4尸,

解得：4=-4（舍去），4=8,

V5

-a=445(cm),

2

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能

力，用的數(shù)學(xué)思想是方程思想.

5.（2024?溫州模擬）某一公路單向隧道由一弧形拱與矩形組成，為了確定大貨車通過公路隧道的最大高度，

道路交通學(xué)習(xí)小組展開了以下研究.如圖1,經(jīng)測量得42=4楊，為了確定2C與弧形拱半徑的長度，學(xué)

習(xí)小組找到一根5加長的筆直桿子，將桿子一端置于點(diǎn)C處，另一端置于上點(diǎn)E處，AE=lm.如圖

2,調(diào)整桿子位置，直至一端在上的點(diǎn)G處，另一端在圓弧上點(diǎn)E處，F(xiàn)GLAB,GB=\m,如圖3,

某一集裝箱大貨車寬為24”，則該大貨車的最大高度（包括貨物）_（3+萼）_加.

【分析】如圖1所示，過點(diǎn)E作ETL8C于T,則四邊形是矩形，可得ET=AB=4mBT=AE=

\m,利用勾股定理可得CT=3加，!i!ijBC=CT+BT=4m；如圖2所示，設(shè)CD所在圓的圓心為O,過點(diǎn)。

作交8C于點(diǎn)E,交GF于點(diǎn)、H,過點(diǎn)。作。K，C￡）于K,則四邊形8EHG是矩形，四邊形

OECK是矩形，可得HG=BE,HE=BG=lm,OE=CK=2m,則OH=OE-HE=lm,設(shè)HG=BE=am,

則尸H=（5-〃）m,CE=（4-〃）m,由勾股定理可得方程式+（5-a）2=22+（4-〃）2,解得〃=3,

則尸〃=2相，進(jìn)而可得。尸=遍血；如圖3所示，構(gòu)造MN//A8,且MN=2.4相，過點(diǎn)。作Q/_LMN于點(diǎn)

J,OE_LBC于E,延長JO交AB于L連接。由垂徑定理得到M/=^MN=1.2m,^0/=yjOM2-M]2=

萼小，由圖2可知,8E=3加，證明四邊形OLBE是矩形，得到OL=BE=3機(jī),〃=0J+0L=（3+噌）6,

則大貨車的最大高度（包括貨物）為（3+等）爪.

【解答】解：如圖1所示，過點(diǎn)E作E7UBC于T,

則四邊形ABTE是矩形,

ET=AB=4m,BT=AE=Im,

CT=y/CE2-ET2=3m,

?：BC=CT+BT=4m；

如圖2所示，

圖2

設(shè)CD所在圓的圓心為O,過點(diǎn)。作。EL2C交BC于點(diǎn)E,交GF于點(diǎn)、H,過點(diǎn)。作。K,CD于K,則

四邊形BEHG是矩形，四邊形OECK是矩形，

11

：.HG=BE,HE=BG=lm,OE=CK=^CD=^AB=2m,

：.OH=OE-HE=lm,

設(shè)HG=BE=am,則/H=(5-a)m,CE=(4-Q)m,

VOF2=OC2,OF1=OH1+FH1,OC2=OE2+CE2,

12+(5-a)2=22+(4-a)2,

解得a=3,

：.FH=2m,

：.0F=70H2+FH?=V5m；

如圖3所示,

圖3

構(gòu)造MN//A8,MN=2Am,過點(diǎn)。作。7_LMN于點(diǎn)/,OELBC^E,延長W交AB于L連接OM,

1

：.MJ=^MN=1.2m,

：.OJ=y/OM2-MJ2=粵n

由圖2可知，BE=3m,

'JMN/ZAB,OJ±MN,

：.OL.LAB,

四邊形OLBE是矩形，

：.0L=BE=3m,

：.JL=0/+OL=（3+繆）m，

???大貨車的最大高度（包括貨物）為（3+警）機(jī)，

故答案為：（3+粵）.

【點(diǎn)評】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確

作出輔助線構(gòu)造直角三角形和矩形，從而求出C0所在圓的半徑以及線段BC的長是解題的

關(guān)鍵.

壓軸題型二：圓周角與圓心角

滿分技法

1、圓的計(jì)算問題中，如果是角度相關(guān)計(jì)算或證明，則立刻聯(lián)想圓周角與圓心角的相關(guān)定理

推論；

2、圓中最不缺的就是等腰三角形，所以圓的角度計(jì)算時(shí)，多想想有沒有等邊對等角，再結(jié)

合三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等等綜合思考。

1.（2024?重慶）如圖，A8是。。的弦，OCLA8交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是上一點(diǎn)，連接BO,CD.若/

。=28°,則/。43的度數(shù)為（）

,--、D

A.28°B.34°C.56°D.62°

【分析】根據(jù)NO的度數(shù)，結(jié)合圓周角定理求出/BOC的度數(shù)，再根據(jù)垂徑定理得出/AO8的度數(shù)，最

后利用等邊對等角即可解決問題.

【解答】解：???/。=28°,

：.ZBOC=2ZD=56°.

「OCLAB,

???點(diǎn)C為殖的中點(diǎn)，

：.AC=BC,

：.ZAOC=ZBOC=56°,

???NAO8=2X56°=112°.

?：OA=OB,

1

/OAB=/OBA=*x（180°-112°）=34°.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知圓周角定理及垂徑定理是解題

的關(guān)鍵.

2.（2024?西藏）如圖，AC為O。的直徑，點(diǎn)8,。在。。上，ZABD=60°,CD=2,則的長為（）

A.2B.2V2C.2V3D.4

【分析】先利用圓周角定理可得：ZADC=90°,ZC=ZABD=6Q°,由直角三角形的性質(zhì)可得/CAD

=30°,再由30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可解答.

【解答】解：為O。的直徑，

/.ZADC=9Q°,

'：ZC^ZABD=60°,

：.ZCAD=30°,

'：CD=2,

：.AC=2CD=4,

：.AD=V42-22=2V3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角，30。的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，掌握同弧所對的圓周角相等,

直徑所對的圓周角為直角是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?海南）如圖，AO是半圓O的直徑，點(diǎn)8、C在半圓上，且油=元=前，點(diǎn)P在前上，若/

PCB=130°,則NPBA等于（）

A.105°B.100°C.90°D.70°

【分析】連接。3、OC、OP.根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證明△A03、△BOC均是等邊三角形，根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)求出/COP,再由圓周角定理求出NP2C,根據(jù)/P8C”求出/P8A

即可.

【解答】解：連接。2、OC、OP.

'：AD是半圓0的直徑，

AZAOD=180",

'：AB=BC=CD,

；.NAOB=/BOC=/COD=60°,

：OA=OB=OC,

.?.△AOB、/XBOC均是等邊三角形,

ZABO=ZCBO=ZBCO=60°,

ZABC=ZABO+ZCBO=120°,

OC=OP,

...△COP是等腰三角形，

VZPCB=130°,

ZOPC=ZOCP=ZPCB-ZBCO=130°-60°=70°,

；.NCOP=180°-ZOPC-Z（?CP=180°-70°-70°=40°,

ZPBC=jZCOP=1x40°=20°,

ZPBA^ZABC-ZPBC^120°-20°=100°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理和圓心角、弧、

弦的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4.（2024?陜西）如圖，A8為。。的直徑，AC=AD,ZA=53°,則/8的度數(shù)是37°.

【分析】連接BC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得NACB=90°,進(jìn)而可求出/ABC=37。，然后再根

據(jù)在同圓中，等弧所對的圓周角相等可得出NABC的度數(shù).

【解答】解：連接BC,如圖所示：

VAB為O。的直徑，

AZACB=90°,

在Rt^ABC中，ZA=53°,

AZABC=90°-ZA=37°,

'：AC=AD,

：.ZABD=ZABC=31°,

故答案為：37°.

【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，理解直徑所對的圓周角是直角，在同圓

（或等圓）中，等弧所對的圓周角相等是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2024?長春）如圖，A3是半圓的直徑，AC是一條弦，。是配的中點(diǎn)，于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)R

交AC于點(diǎn)G,連結(jié)AD給出下面四個(gè)結(jié)論：

@AF=FG；

③當(dāng)。G=2,GB=3時(shí)，F(xiàn)G=孚；

④當(dāng)皿=2而，42=6時(shí)，△。尸G的面積是g,

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有①②③

【分析】①根據(jù)點(diǎn)。是AC弧的中點(diǎn)得人?；?（7?；。纱丝蓪Y(jié)論①進(jìn)行判斷；

②先證明得再證明NAG。得由此可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；

③在RtAADG中tanZDAC=益=焉，在RtAABD中tanZABD=器=等，再根據(jù)

得AZ）2=IO,然后由勾股定理得AG=g,再由結(jié)論②正確可對結(jié)論③進(jìn)行判斷；

④先證明點(diǎn)。，C為