2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 相似三角形（含位似） 學(xué)案（含答案）

微專題22相似三角形（含位似）

考點精講

構(gòu)建知識體系

位似圖形J似件圖

考點梳理

1.比例

⑴比例線段

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即？

比例線段

=?那么這四條線段。，b,c,叫做成比例線段，簡稱比例線段

ad

比例中項如果Q：：C或三='或①，那么b叫做。和C的比例中項

（2）比例的性質(zhì)

性質(zhì)1（基本

如果那么②________=bc（b,"0）（反之也成立）

性質(zhì)）

性質(zhì)2（合比

如果三=1那么乎=③3,dWO）

性質(zhì)）bab

性質(zhì)3（等比如號十=…普，且"+江…+叱。，那么落T

性質(zhì))也

bi

2.平行線分線段成比例

(1)定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例(基本事實).

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線

段成④______

3.黃金分割比例(2023.6)

圖示i------E

一?圖，點。把線段題分成兩條線段A。和垢且*?m線

定義段被點。黃金分割，點。叫做線段⑷5的黃金分割點，4。與A3的比

叫黃金比，即竺=漁工七0.618,—^0.382,簡記為［=”=匹二

AB2AB全長2

【滿分技法】一條線段上有兩個黃金分割點

4.相似三角形的性質(zhì)與判定(6年11考)

pl)相似三角形的對應(yīng)角⑥_______，對應(yīng)邊⑦:

(2)相似三角形中的所有對應(yīng)線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于相似

性質(zhì)

比；

(3)相似三角形的周長比等于⑧_______,面積比等于⑨

兩角分別相等的兩個兩邊成比例且⑩_____相三邊?_______的兩個

判定三角形相似等的兩個三角形相似三角形相似

方法z!\乙/\

5.位似

⑴定義：兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖

形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心

(2)性質(zhì)：①位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；

②在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，相似比為左，那么位似圖形上

的對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于左或一左

練考點

1.已知士=￡=￡=￡,則a+c+e

bdf3Jb+d+f

2.如圖是五條等距離的平行線，同一條直線上的三個點A,B,。都在橫線上,

若線段A5=4,則線段的長為.

第2題圖

3.如圖，若線段A5=2,點。為A5的黃金分割點，KAOBC,則AC的長

為

I」」

4CH

第3題圖

4.若兩個相似三角形的邊長之比為1：2,則它們的面積比是.

5.如圖，A3與。。交于點0.若黑=黑W，則黑=____________.

UD(JUZ.DD

第5題圖

6.如圖，△A5C與△￡)￡：尸是位似圖形，且位似中心為O,OB：0E=2：3,若

△ABC的周長為4,則ADE尸的周長為,

第6題圖

高頻考點

考點1平行線分線段成比例

例1(北師九上習(xí)題改編)如圖，直線Q〃Z?〃C,分別交直線加，〃于點A,C,E,

B,D,F,下列結(jié)論正確的是()

.ACBD「ACBFACBD一ACCE

CEBFAEDFDFCEBDDF

mn

T-----

例i題圖

變式1(人教九下習(xí)題改編)如圖，直線AZ),5。交于點O,AB//EF//CD.

若A0=2,0F=l,FD=2,則好的值為

EC

4%

-fc

變式1題圖

考點2相似三角形的性質(zhì)與判定(6年9考)

模型一A字型

[2023.15,2023.22(2)②，2021.21(2),2020.22(2),2019.24(3)]

模型分析

類型正“A”字型斜“A”字型

A

A

模型展示IV-\E

//\1/V

_____1/,HcH

模型特點有共用的一組角NA,并且有另外一組角相等，形似“字母A”

解題思路找同側(cè)的一組相等角找異側(cè)的一組相等角

結(jié)論△△

ADE^AABC=^—AB=—AC=—BCADE^AACB^—AC=A—B=—CB

例2（人教九下練習(xí)改編）如圖，D,E分別是AABC邊A5,AC上的點，ZAED

=ZABC,若AO=2,BD=4,AE=3,則CE的長為.

例2題圖

變式2如圖，在△人5。中，ZACB=90°,CZ）為斜邊A5上的高，若AC=6,

BD=5,則sin5的值為.

變式2題圖

變式3如圖，在△A5C中，5。平分NA5C交AC于點。，過點。作。石〃

交A5于點E,若BE=2,BC=3,則①磔=_______.

s回ABC

變式3題圖

模型二8字型

[2021.23,2019.10③]

模型分析

類型正“8”字型斜“8”字型

模型展示"

CD』'

模型特點有一組角為對頂角，并且有另外一組角相等，形似“數(shù)字8”

解題思路找對頂角之外的另一組角相等，或?qū)斀堑膬蛇厡?yīng)成比例

結(jié)A_|_論SA△A4O八八BsAADOCn4一°二一BO二一AB△A40八B八s△AC0D=—4°=一B°=—AB

DOCODCCODOCD

例3如圖，線段AE,BD交于點C,連接ABDE,若AC=9,CE=4,BC=

CD=6,DE=3,則A".

例3題圖

變式4如圖，正方形A5CD的邊長為5,正方形E/GC的邊長為3,點5,C,

G在一條直線上，連接交CD于點H,則圖中陰影部分的面積為.

變式4題圖

模型三手拉手型

[2024.22(2)]

模型分析

模型展示:

模型特點：1.如圖①，DE//BC,ZBAC=ZDAE；

2.如圖②，將AADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接50,CE,延長BD交CE

于點F

名吉論：@AADE^AAfiC；②若AZ)=4E,AB^AC,則△A5OZ4ACE

例4在△ABC中，D,E分別是ABAC的中點，連接。E,將△AOE繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接5ZT,CE',若AZ)=|AE,BD=4,則C?

的長為.

變式5如圖，在△人5。和△AOE中，點。在5。邊上，ZB=ZADE=30°,

ZBAC=ZDAE=9Q°,則生的值為.

變式5題圖

模型四一線三垂直型

[2021.23]

模型分析

類型類型一類型二

模型特點Nl,N2,N3的頂點在同一條直線上，Zl=Z2=Z3=90°

模型展示

結(jié)論4ABDs叢CEB

例5如圖，在矩形A5co中，A5=6,點E,尸分別在邊A5,BC±.,且EE

若CF=2BE,則BF的長為

例5題圖

變式6如圖，在△A5C中，NA4C=90°,點4的坐標(biāo)為(0,2),頂點。在反

比例函數(shù)丁=勺%>0)的圖象上.若A5=24C,且。4=05,則左的值為.

7>l~V----5

變式6題圖

考點3位似

例6如圖，線段A5的兩個端點的坐標(biāo)分別為4(1,2),5(2,0),以原點為位似

中心，將線段A3放大得到線段8,若點。的坐標(biāo)為(5,0),則點。的坐標(biāo)

為.

()HI)

例6題圖

真題及變式

命題點1黃金分割數(shù)(2023.6)

1.(2023廣東6題3分)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)

選法中有一種0.618法應(yīng)用了()

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

拓展訓(xùn)練

2.（2024東莞一模）寬與長的比是?（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形

蘊藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫

出黃金矩形：作正方形A5cD,分別取A。，5。的中點E,F,連接石尸：以點尸

為圓心，以FD為半徑畫弧，交5。的延長線于點G；作交AZ）的延

長線于點“，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

4￡D4￡I）H

I\

|||_J

ii_PcR_tcc

第2題圖

A.矩形A5/石B.矩形E尸CDC.矩形EFGHD.矩形。CG”

命題點2相似三角形的性質(zhì)與判定（6年11考）

拓展訓(xùn)練

3.（2024梅州一模改編）如圖,在△A5C中，于點Z）,5EUC于點E,

與8相交于點E若乙鉆石=30。，則啜的值為_______.

CE4EF

第3題圖

4.如圖，在AABC與AADE中，ZBAC=ZDAE,ZABC=ZADE,連接50,

CE.^S^ADB：5AA￡C=16：9,△405的周長為2,求△AEC的周長.

H

第4題圖

5.如圖為兩個全等的等腰直角△A5C和△AOE,已知NR4C=NAEZ)=90°,

AD,AE分別交5。邊于點尸，G,BC=5V2.

(1)求證：AG2=BGFG；

(2)求證：ZkABGs△尸C4；

(3)設(shè)5G=x,CF=y,求y與％之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出％的取值范圍.

第5題圖

新考法

6.［數(shù)學(xué)文化］(2024佛山二模)《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方

圓”.度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，以面積為1的正方形45CD的對角線的交

點為位似中心，作它的位似圖形ABC7)，，若A5：A'B'=1：2,則四邊形A5CZT

的面積為()

A.9B.6C.4D.3

第6題圖

7.［數(shù)學(xué)文化］四分儀是一種古老的測量工具，可以追溯到公元2世紀(jì)的托勒密時

代.如圖就是一種四分儀在距離測量上的應(yīng)用，該四分儀是在邊長為1米的正方

形45CZ）的一個頂點處安裝一根方向桿.若將該四分儀的方向桿對準(zhǔn)遠(yuǎn)處的目標(biāo)

物E,在四分儀上讀出。尸的長度為20厘米，已知點5,C,E在同一條直線上,

則目標(biāo)物E與點5之間的距離BE為（）

第7題圖

A.1米B.4米C.5米D.6米

8.［跨物理學(xué)科］（2024山西）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律.借助如圖的正方

形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀.已知一條分割線的端點A,5分

別在習(xí)字格的邊尸。上，旦AB〃NP,“晉”字的筆畫的位置在A5的

黃金分割點C處,且籌=『.若N尸=2cm,則BC的長為cm（結(jié)果保

AB2-------------------

留根號）.

第8題圖

9.［結(jié)合網(wǎng)格］如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1,則陰影部分的面積

為.

第9題圖

考點精講

①及=ac②ad③亍d④比例⑤A/C⑥相等

⑦成比例⑧相似比⑨相似比的平方⑩夾角

期比例

練考點

1.-2.23.V5-14.1：45.-6.6

32

高頻考點

ACBD

例1D【解析】...絲=絲言暇一?.選項A,B,C

CEDFAEBF

錯誤，不符合題意；D正確，符合題意.

變式1|【解析「."〃"〃。,.凄=合=*,h°=2,°尸=1,FD

?BE_2+1

例21【解析】?.,/AEZ)=NABC,NZMEnNCAB,；.△.?.空

變式2|【解析】VZA=ZA,ZADC=ZACB=9Q°,.'.AADC^AACB,

?ADAC

詈嬴,解得，Ad=-9（舍去），AD2=4,則sinN“冷盤

變式3三【解析】?.?5。平分NA5C,...NA5D=NC5D;。石〃5。，...NED5

=/CBD=/ABD,：.DE=BE=Z'：DE〃BC,：.AAEDsAABC,：.悵皿=喀辛

例31【解析】?.,AC=9,CE=4,JBC=CO=6,.嗡=||=|.?.,NAC5=NZ)CE,

APArOQ

，△AC5s△OCE,.；DE=3,：.AB=-.

DEDC22

變式4【解析】VZFEH=ZBCH,ZEHF=ZCHB,：.AEHF^ACHB,

?EF_EH_3EH3CEQ1IQ27

H

?CBCH5'??.=s^??&EF=-EH.EF=-X-X3=-.

例46【解析】VD,E分別是A5,AC的中點，.,.DE〃5C,.,.分=若,由

ABAC

旋轉(zhuǎn)得，

ZDAE=ZD'AE',AD^AD',AE=AE',ABACZDAD'+ZD'AE

=ZD'AE+ZCAE',：.ZDAD'=ZCAE,：.^ABD'^AACE',

CE'AE'AE

2

VBDr=4,：.CEr=6.

3

變式5—【解析】/胡。=/加石=90°,??.tanNJB="，tanNADE=些，

3ABAD

ZB=ZADE=30°,=tan30°=上又?:/BAC=/DAE,：.ZBAC~

ABAD3

ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAZ)=NC4E,△A^QSAACE,.?.空=任=理.

BDAB3

例53［解析】丁EFLDF,：.ZEFD=90°，即NBFE+ZCFD=90°.VZBFE

+NBEF=9U°,:"BEF=/CFD,又?：NB=NC=90°,：.^BEF^ACFD,

,：CF=2BE,AB=CD=6,解得5尸=3.

CFCD2BE6

變式63【解析】如解圖，過點。作軸于點,.2(0,2),OA=OB,

：.OA=OB=2,VZBAC=90°,：.ZOAB+ZCAH^90°,VZABO+ZOAB

=90°,ZABO=ZCAH,又「NAO5=NA〃C=90°,.*.△ABO^ACAH,

A—=—=—=2,:.CH=AH=1,：.OH=OA+AH=3,：.C(1,3),\,點。在

HCHACA八、J

y=3勺圖象上，.??左=1X3=3.

JX

變式6題解圖

例6(|,5)【解析】由題意得,△。45與408為位似圖形，OABs^ocD,

?.?點5(2,0),0(5,0),：.OB=2,OD=5,.*.△OAB與工OCD的相似比為2：5,

???點A坐標(biāo)為(1,2),...點。的坐標(biāo)為(1義|,2X|),即(|,5).

真題及變式

1.A

2.D【解析】設(shè)正方形的邊長為2,則8=2,。尸=1在直角三角形。。尸中,

DF=V5,CG=V5-1,???累=9二，???短形。CG"為黃金矩形.

3.|【解析】?.?CZ)_LA5,JBE_LAC,.?./5。尸=/。石尸=90°,：.ADFB^/\EFC,

：.ZDBF=ZECF=30°，處=竺=々在R3ECF中，NECF=30°,：.EF=-CF,

CECF42

4.解：VZBAC=ZDAE,ZABC=ZADE,

.'.AABC^AADE,

?ABAC叩ZBAD

-9ADAEJACAE

'：NBAC=ZDAE,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,即/BAD=ZCAE,

AAADB^AAEC；

S^ADB-AEC=16:9,

CAADB:CAA￡C=4:3.

?CAADB=2,

??CAAEC~~-

5.(1)證明：由題意可知，NE4G=NABG=45°,

,?ZAGF=ZBGA,

：.AABG^^FAG,

?AG_BG

??,

FGAG

:.AG2=BGFG；

(2)證明：由題意可知，/用6=/尸。4=45°,ZC=ZB=45°.

VZAGF=ZC+ZCAG