2025年中考數(shù)學總復習《三角形綜合》專項測試卷（附答案）

2025年中考數(shù)學總復習《三角形綜合》專項測試卷(附答案)

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1.已知，在正方形中，點E是CO上一點，點/在射線ZM上，連接BE,連接砥.

(1汝口圖1,當斯_LBE1時，求證：AF=CE-,

⑵如圖2,當8F平分4BE時,

①求證：BE=AF+CE；

②如圖3,若正方形邊長為2,點E是CO的中點，連接AE交B尸于點G,連接。G交AB于

點H,求AH的值.

2.在VA3C中，ABAC=110°,AC=AB,射線AD,AE的夾角為55。，過點3作防，AD于

點、F,直線互交AE于點G,連接CG.

①設=則/C4G=(用含有a的式子表示)；

②在直線BG上取一點笈，使得F9=FB,則線段B'G與圖①中已有線段的長度

相等.

(2)如圖②，射線AE在N54C的內部，射線AD在N54C的外部，其他條件不變，用等式

表示線段3F,3G,CG之間的數(shù)量關系，并證明.

3.如圖，VABC和△￡)(?￡都是等腰直角三角形，其中NACB=NDCE=90。，AC=BC,

DC=EC,△￡>(7￡1繞點C旋轉.

（圖2）（圖3）

⑴如圖1,當△DCE在A4CB的外部時，連接AE,3。交于點。，求證：AO2+BO2=AB2;

(2)如圖2,當ACDE旋轉到頂點。在VABC的內部時，連接A￡>,BD,若NA￡>C=135。，

求證：AD2+2CD2=BD2i

(3)若AC=3C=5,DC=EC=4,ACDE繞點C旋轉的過程中，當/ACE=15。時，直線DE

與直線AC交于點

①如圖3,當CE在△4C3的外側時，求AF的長；

②如圖4,當CE在△ACB的內部時，直接寫出AF的長.

4.如圖1,在VA03中，ZAOB=9Q°,C是平面內一點(不與點。重合)，O是線段AC中

點，連接O。，過點B作BO。，垂足為點F，E為直線時上一點，連接OE,且滿足

OELOC,連接DE.

(1)如圖1,若=判斷線段仍與線段OO之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)如圖3,若49:30=2:3,判斷線段班與線段0￡>之間的數(shù)量關系，并說明理由；

2

(3)如圖2,點C在直線08上方，AO=8,B0=6,OC=-OB,當AODE是直角三角形時，

直接寫出線段DE的長.

5.如圖，四邊形ABCD是邊長為2,一個銳角等于60。的菱形紙片，小芳同學將一個三角形

紙片的一個頂點與該菱形頂點。重合，按順時針方向旋轉三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、

BA(或它們的延長線)于點及F,NEDF=60°,當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的

結論是DE=DF.

(1)繼續(xù)旋轉三角形紙片，當CEwAF時，如圖2小芳的結論是否成立？若成立，加以證明;

若不成立，請說明理由；

(2)再次旋轉三角形紙片，當點E,尸分別在CB,胡的延長線上時，如圖3連跖，若BE=g,

求AABF的面積.

6.綜合與實踐

如圖1,在nABCD中，點及尸分別在直線A3和AD上，直線相交于點

G,NFGC=NDAB,某數(shù)學興趣小組在探究CE,B￡AB,AO四條線段的比例關系時，經歷

了如下過程:

【特例感知】

(1)①如圖2,當ZA=9(F,AB=AD時，若EC=非,求取;

ADqDE1

②如圖3,當NA=90。時，若胃=:，求矢.

A.D2C七

【猜想證明】

(2)猜想5F,CE,A8,A￡＞四條線段的比例關系，并結合圖1進行證明.(備注：從圖1中的

①或②選擇一個證明即可)

7.綜合與實踐：在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種方法叫倍長中線法.

ED

圖1圖2圖3

⑴如圖1,AD是VABC的中線，AB=8,AC=5,求AD的取值范圍；

⑵如圖2,AB=AE,AC=AF,/BAE=NC4F=90。，。為的中點，求證，EF=2AD；

(3)如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點E,尸是8c的中點，NCEF=ZADB,

ZBAC+ZBAD^80°,試探究3D與跖的數(shù)量關系，并說明理由.

8.如圖，在VABC和VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,連接BRCE.

(1)如圖1,當點E恰好在BC邊延長線上時，若BC=4,8O=2,求BE的長；

(2)如圖2,當點C恰在邊DE上，若。=求DE的長；

⑶如圖3,若DE交直線BC于點F,試判斷。尸與斯的數(shù)量關系，并說明理

由.

9.人教版數(shù)學八年級下冊教材的數(shù)學活動---折紙，引起許多同學的興趣.我們可以通過

折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學的奧秘.

(1)如圖1,對折矩形紙片ABCD,使AO與2C重合，得到折痕所，把紙片展平；以BM為

折痕再一次折疊紙片，使點A落在折痕跖上的點N處，把紙片展平；連接4V.觀察圖1

中N1,/2和N3,猜想這三個角的關系，并說明理由；

⑵如圖2,M為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連結,在A3上取一點P,折疊紙片，

使B,尸重合，展平紙片，得到折痕班折疊紙片，使點8、尸分別落在跖、BM±,展

平紙片得到折痕/,折痕/與跖交于點。，點B、P的對應點分別為G、N,連接3G、NG.證

明：NGBC=；NMBC；

(3)如圖3,矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=9,點尸是邊3C上的動點，現(xiàn)將紙片折疊,

使點A與點尸重合，折痕與矩形邊AB,AD的交點分別為E,F要使折痕始終與邊AB,AD

有交點，直接寫出第的取值范圍.

10.【三角形中位線定理】：如圖1,DE是VA8C的中位線，則DE〃BC,DE=-BC

2

【活動一】：證明定理：添加輔助線：如圖1,在VABC中，延長DE(D、E分別是A3、

AC的中點)到點尸，使得EF=DE,連接CB,請你補充完整證明過程.

【活動二】：應用定理：如圖2,在四邊形ABCD中，AD=BC,P是對角線的中點，M

是43的中點，N是。C的中點，求證：ZPMN=ZPNM.

【活動三】深入定理：如圖3,在四邊形ABC。中，ZA=9O°,ZD=120°,E為AO的中

點，G、尸別為AB、CD邊上的點，若AG=2g,DF=2,/G￡F=90。，求GB的長.

11.在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,點。為線段A3上一點，連接CD.

圖1

(1)如圖1,若AC=6,AO=6，求線段3。的長;

(2)如圖2,以。為邊作等邊ACZJE,點尸是OE的中點，連接防并延長，交。的延長線

于點G.

①取A3的中點。，連接OC,求證：OC//BE；

②若NG=ZBCE,探究GP與BE,BP之間的數(shù)量關系，并說明理由.

12.在VASC中，AB=AC=5,BC=6.將VASC繞點A逆時針旋轉，得到VADE（點”E

分別是點B,C的對應點），旋轉角為e（0o<a<ZBAC）,線段仞與8C相交于點Af,線段

DE分別交BCAC于點EN.

⑴如圖1,連接MN,在VABC繞點A逆時針旋轉的過程中，AAMV始終為等腰三角形，請

你證明這一結論;

⑵如圖2,當AD13C時，求EC的長；

⑶如圖3,當AE〃3C時，求CN的長.

13.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，點A,2的坐標分別是A（0,V3）和B（1,O），連接AB,

以線段A3為邊向右側作菱形ABC。，點C在無軸上.

（2）連接AC,點E是線段AC上一動點，點廠在x軸上，S.ZDEF=ZABC.過點。作阱的

平行線，過點/作DE的平行線，兩線相交于點G.

①求證：四邊形DEFG是菱形；

②當A￡FC是等腰三角形時，直接寫出AE的長度.

（3）在（2）的條件下，設=四邊形DEFG的面積為S,求S關于力的函數(shù)關系式.

14.在等邊VABC中，點D在直線BC上，連接AD,過點B作BH且AD于點H.

(1)如圖1,點。在CB的延長線上，AB=4,tanZADB=—,求的長度；

2

(2)如圖2,點。在BC邊上，點E在AC邊上，且AE=CD,BE與AD交于點F,若點尸恰

是AH的中點，請用等式表示與的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖3,點D在8C邊上，過點H作=BC.連接AM、CM,將△ACM沿

CD

AC翻折至△C4N,連接ON,BN,請直接寫出當AN取得最大值時「的值.

AM

15.如圖，在VABC中，ABAC=90°,AB=AC,點。是平面內一點，連接AD,BD,且

ZADB=90°.

Q

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若點。在VABC內部，ZABD=30。，延長4。交BC于“，若4。=唐時，求DH

的長；

(2)如圖2,若點。在VABC內部，將AD繞點A,逆時針旋轉90。得到線段AE,直線OE與

BC交于點F證明：BF=CF；

⑶如圖3,點尸是3c邊上一點，連接轉，將R4繞點尸順時針旋轉90。得到線段PQ,連接

DQ,CD,CQ,若AB=2,當CD,均取得最小值時，直接寫出A。。。的面積.

參考答案

1.⑴見解析

⑵①見解析；②AH;晉

【分析】(1)結合正方形性質，以及垂直的定義，證明△封咨△CBE,利用全等三角形

性質即可證明AF=CE;

(2)①延長EC,^LCM=AF,連接結合正方形性質證明VAB尸空CBM,利用全等

三角形性質得到NEBM=NM,再根據等腰三角形性質證明，即可解題；

②結合正方形性質得到AB=3C=CD=AD=2,得到AE=BE=^，進而得到AF,延長所

交CO的延長線于點N,結合角平分線性質，以及等腰三角形性質得到EN,再證明

NABG^NENG,NAGH^NEGD,利用相似三角形性質求解，即可解題.

【詳解】(1)證明：???四邊形A5CO為正方形，

ZABC=ZBAD=ZC=90°,AB=BC,

：.ZBAF=90°=ZC,/ABE+ZCBE=90°,

-■?BFBE,

ZABF+ZABE=NEBF=90°,

ZABF=ZCBE,

..AABR之ACBE(ASA),

AF=CE；

(2)證明：①延長EC,在延長線上取CM=AF,連接BM,

,??四邊形ABCD為正方形，BF平分NABE

;.ZA=NBCE=90°,AB=BC,AD//BC,ZABF=ZFBE,

ZBCM=90°=ZA,ZAFB=Z.FBC=AFBE+AEBC,

'：CM=AF,

「.△AB歹之△CBM(SAS),

,\ZCBM=ZABF=ZFBEfZM=ZAFB,

ZEBM=ZCBM+ZEBC=ZFBE+ZEBC=ZAFB=ZM,

:.BE=EM=CM+CE=AF+CE.

②解：:四邊形ABCD為正方形，

:.ZBAD=ZADC=ZC=90°,AB=BC=CD=AD=2,

???點E是8的中點，

CE=DE=1,

：.AE=BE=^+^，

BE=AF+CE,

\AF=A/5-1,

延長BF交CD的延長線于點N，

:.ZABF=ZEBF,

QAB//CN,

ZABF=ZN,

:.ZEBF=ZN,

:.BE=EN,

EN=非,

QAB//CN,

:NABG^NENG,NAGH^NEGD,

ABAGAHAG

,?瓦―茄，~DE~~EG"

ABAH

,?麗—瓦’

2AH

??.于『

2A/5

【點睛】本題考查了正方形性質，等腰三角形性質，全等三角形性質和判定，角平分線定義,

相似三角形性質和判定，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識.

2.⑴①55。-0；

^AC；

(2)CG=BG+2BF,證明見解析.

【分析】本題主要考查了軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是作輔

助線構造全等三角形.

⑵①根據角的和與差可得NC4G=180。-/54。-NG4D,把和NG4D的度數(shù)代入

計算即可；

②根據軸對稱的性質可得=根據AB=AC,等量代換可得AC=AB'；

(2)在G尸的延長線上截取FP=FB,連接AP,可證/PAG=NC4G,利用SAS可證

^CAG^PAG,根據全等三角形的性質可證CG=BG,WGP=GB+2BF,可證

CG=GB+2BF.

【詳解】(1)解：@ABAD+ZDAE+ZCAG=ABAC=110°,

r.NC4G=180°—NS4D—NGW=180°-a—55°=55°—a,

故答案為：55°-a；

②如下圖所示，連接AB"

-.-AD1.BG,FB=FB,

:.AB=AB',

又?.?AB=AC,

AB'AC,

(2)解：CG=GB+2BF,

證明：如下圖所示，在Gb的延長線上截取EP=EB,連接AP,

則有AB=AP,ZBAF=ZPAF，

又?.?AC=AB,

:.AP^AC,

設ZBAF=ZPAF=p,

則/BAG=ZDAG-ZBAF=55。一分，

/.ZPAG=ZPAD+ABAD+ZBAG=55。+尸，

又???/a4c=110。，

/.ZCAG=ABAC+ZBAF-NDAG=55。+尸,

:.ZPAG=ZCAG,

AG=AG

在4G和4G中，vNPAG=NCAG,

AP=AC

:ACAG%*AG,

:.CG=BG,

又YGP=GB+BF+BP,

:.GP=GB+2BF,

:.CG=GB+2BF

3.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)①5一半；②A尸=4應-5

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質,

熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵.

(1)證明△BDC冬△AEC(SAS)得出/CBD=/C4E,設AC與3。交于點得出

ZAOB=ZACB=90°,再由勾股定理即可得證；

(2)連接AE,證明△BCD絲△ACE(SAS)得出8D=AE,求出NAZ)E=90。，再由勾股定

理即可得證；

(3)①過C作C77，Z)E于點//,求出ZFC"=30。，得出證明C〃=E”,求

出CH=2桓,CF=城，再由AF=AC—C尸計算即可得解；②過C作CGLEO于G,同

3

理ZFCG=15。+45。=60。，得出ZFCH=30。，求出DE=40得到EG=CG=20,從而

得出CF=2CG=4應，由AF=CF—AC計算即可得解.

【詳解】(1)證明：QZACB=ZDCE=90°,

.-.ZACB+ZACD^ZDCE+ZACD,^ZBCD^ZACE,

BC=AC,DC=EC,

：4BDC、AEC3AS),

:.ZCBD=ZCAE,

設AC與3D交于點M,

:.ZAOB=ZACB=90°,

???在RSAOB中，AO2+BO2=AB\

(2)證明：如圖1,連接AE,

，ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,即/BCD=ZACE,

vBC=AC,DC=EC.

ABCD^AACE(SAS),

/.BD=AE,

?.?CD=CE,ZDCE=900,

:.NCDE=45。，

?/ZADC=135°,

ZADE=ZADC—ZCDE=135°—45°=90°.

...在RtAADE中，AD2+DE2=AE2>

:.AEr+DE1=BEr-

?.?在RtVOCE中，CD2+CE2=DE2,

2CD2=DE2,

AD2+2CD2=BD2；

(3)解：①如圖2,過C作于點a,

.'.ZECH=45°,

ZACK=15°,

ZFCH=ZECH-ZACE=45°-15°=30°,

:.FH=-CF.

2

vCE=4,ZECH=ZE=45°,

：.CH=EH,

在RtAC￡H中，CE2=CH2+EH2,

2CH-=CE1=42=16,

-,-CH>0,

CH=25/2，

在RtACFH中，CF2=CH2+FH2，

.-.CF2=(2V2)2+QCF"|.

■.■CF>0,

???AC=5,

4A/6

AF=AC-CF=5--—；

3

②過C作CGJ_ED于G，

同理ZFCG=15°+45°=60°,

.-.ZF=30°,

?：CE=CD=4,

DE=40，

；.EG=CG=2①,

:.CF=2CG=442,

:.AF=CF-AC=4y/2-5.

4.⑴BE=2OD,理由見詳解;

(2)2:3,理由見詳解；

⑶2+幣或3#

【分析】（1）延長OD至N使DN=DO,連接4V,證明AADN絲ACDO（SAS）,得

ZN=ZDOC,則4V||OC,再證AEB8NQ4（ASA）,即可得出答案；

（2）延長OD至N使￡W=DO,連接AV,證明AADN/AC￡>O（SAS）,得ZN=NDOC,

則聞V||OC,再證^―=—=1,即可解決問題；

BEOB3

（3）分兩種情況：當NDEO=90。時，延長至N使DN=DO,連接4V,延長OE交N4

2

延長線于點K,證AADN/ACDO&AS）,得AN=OC=§O8=4,ZAND^ZDOC,再證

△NAO^AEOB,求得OE=3,然后證AN〃小〃OC,得ZAKO=NDEO=90°,求出

OK=2OE=6,進而由勾股定理得AK=2A/7,則八改=2近+4,最后證明DE是AONK的

中位線，即可得出答案.當/。叁=90。時，用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：線段仍與線段OO之間的數(shù)量關系為:=20。，

理由如下：如圖2,延長至N使。N=DO,連接4V,

在△ADN和△CDO中,

AD=CD

<ZADN=ZCDO,

DN=DO

...△ADN四△CDO(SAS),

:.ZN=ADOC,

:.AN//OC,

"NAO+ZAOC=180。,

QZAOB=90°,OE±OCf

ZAOB=ZCOE=90°,

/.ZAOB+ZCOE=180。，

/.ZAOC+ZBOE=180°,

/.ZNAO=ZBOEf

?.?BFLOD,

,,ZBFO=90°,

ZFOB-^-ZFBO=90°,

ZFOA+ZFOB=90°,

:.ZEBO=ZAON,

在aEBO和/WM中，

/BOE=/NAO

<BO=AO,

ZEBO=ZAON

..△EBO玨NOA(ASA),

,\BE=ON=OD+DN=2OD；

(2)解：線段跳與線段OD之間的數(shù)量關系為：BE=3OD,

理由如下：如圖3,延長OO至N使DN=DO,連接⑷V,

圖3

在△ADN和△CDO中，

AD=CD

</ADN=ZCDO,

DN=DO

/.△AT)N^ACDO(SAS),

,\ZAND=ZDOC,

/.AN//OC,

.?.NNAO+ZAOC=180。,

???ZAOB=ZCOE=90°,

/.ZAOB+ZCOE=180°,

/.ZAOC+ZEOB=180。，

,\ZNAO=ZEOB,

?.?BF±OD,

ZFOB-^-ZFBO=90°f

ZFOA+ZFOB=90°9

,\ZFOA=ZFBO,

:ANAOS正OB,

.ONOA_2

'~BE~OB一§，

?：ON=2OD,

2OD2

BE-3,

\BE=3OD；

(3)解：延長OD至N使DN=DO,連接⑷V,延長OE交N4延長線于點K,

N

4/7

在和△CDO中，

AD=CD

<ZADN=ZCDO,

DN=DO

.?.△AON也△CDO(SAS),

22

AN=OC=—OB=—x6=4,/LAND=/DOC,,

/.AN//OC,

.?.NNAO+ZAOC=180。,

?.?ZAOB=ZCOE=90°,

/.ZAOB+ZCOE=180°,

/.ZAOC+ZEOB=180。，

,\ZNAO=ZEOB,

-,-BF±OD,

ZFOB-^-ZEBO=90°,

???ZNOA+ZFOB=90°,

,\ZNOA=ZEBO,

.△NAOs正OB,

OAAN84

二.——=——,即nn一=——

OBOE6OE

解得：OE=3,

?「△ODE是直角三角形,

:"DEO=90。，

:.ZDEO=90°,

???/COE=90。,

:.DE//OCf

???AN//OC,

:.AN//DE//OC,

..ZAKO=ZDEO=90°f

CDOEi

/.——=——=1,

ADKE

:.OK=2OE=2x3=6,

在RtAAA：。中，由勾股定理得：AK=/Od-OK26?=2不,

:.NK=AK+AN=2sf7+4,

-.-OE=KE,DN=DO,

.〔DE是AONK的中位線，

.-.Z）￡=|A^=1X（2V7+4）=2+77.

當/DOE=90。時，如圖所示：

由前面的過程可知OE=3,此時A、D、C、O、/共線，DE=M+G=3后

綜上所述，DE的長為2+占或3

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、平行線的判定

與性質、相似三角形的判定與性質三角形中位線定理等知識，本題綜合性強，正確作出輔助

線，構建全等三角形和相似三角形是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型.

5.(1)小芳結論成立，見解析

【分析】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，熟練

掌握菱形的性質是解題的關鍵.

（1）由菱形的性質得到是等邊三角形，再證明尸絲△以）E即可得出結論；

（2）連接AD,作OM1期于點根據菱形的性質及等邊三角形的判定和性質得出△ABD

是等邊三角形，再由全等三角形的判定和性質得出絲△￡>￡?,FA=BE=}-,

2

即可求解.

【詳解】（1）解：小芳結論成立：DE=DF.

理由如下：連接3D,

D__________C

,??四邊形A5CD是菱形，ZA=60°,

AFB

圖2

.△ABD是等邊三角形，

;.AD=AB=BD,ZA=ZADB=ZABD=60°,

:.NDBE=ZA=60。,

-ZEDF=60°f

/.ZEDB+ZBDF=60°,

?：AADF+ABDF=6G0,

:.ZADF=ZBDEf

??△DAFmADBE,

.\DF=DE；

(2)解：連接BO,作QM1朋于點M.

四邊形ABC。是菱形，/DAB=60。,

圖3

/.△ABD是等邊三角形，

:.AD=DB,ZA=ZABD=60°fZABC=120°,ZDBC=60°,

:.ZDAF=120°,ZDBE=180°-ZDBC=120°,

..NDAF=NDBE,

vZE￡>F=60°,

ZFAD+ZADE=ZBDE+ZADE=60°,

:./FDA=/EDB,

:./\DFA^/\DEB,

FA=BE=-

2

在等邊△ABD中，AB=AD=BD=2,

:.DM=—AB=43,

2

=,2+："=2

/.S^DBF--XBFxDM

6.［特例感知］(1)?BF=75；②"="［猜想證明］(2)38CE,A8,AO四條線段的

CE2

比例關系為案=祭,證明見解析

【分析】(1)①當/BAD=9()o,A3=A。時，平行四邊形ABCD是正方形，再利用全等三角

形證明2尸=6?石=行；②四邊形ABCD是矩形，利用相似三角形的性質求解即可;

(2)證明△BCGS^ECB和△■BEGS^3E4,再列出比例式推導即可.

【詳解】［特例感知］

①當/A4D=90o,AB=AD時，平行四邊形A3CD是正方形，如圖所示，

ZBAF=ZCBE=90°,AB=BC,

,：/FGC=/DAB

:./FGC=NDAB=9Q°,即CE_L3尸，

?/NEBG+Z.GBC=NGBC+Z.BCG=90°,

:.ZABF=/BCE,

NBAF=NCBE=9。。

在AABF和4BCE中，<AB=BC

/ABF=NBCE

：.△ABF^ABCE(ASA),

BF=CE=^,

故答案為：y/5；

???四邊形ABC。是矩形，

/.ZA=ZABC=90°=ZFGCfAD=BC,

：.CE±BF,

：.ZABF+ZAFB=ZABF+NBEG=90。

：.ZAFB=ZBECf

:?^ABFS^BCE,

,ABBF

**BC-CE，

..AB3AB3

?——=一,即Rn——=一，

AD2BC2

?BF3

??一，

CE2

3

故答案為：—；

［猜想證明］(2)片=其，理由如下，

ADCE

選擇圖1中的①，四邊形是平行四邊形，點瓦方在線段A民AO上,

NFGC=NDAB,

四邊形A5CD是平行四邊形，

...AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BC,

.'.ZA+ZABC=180°,

AFGC+ACGB=180°,ZA=ZFGC,

:?/CGB=/EBC,且ZBCG=NECB,

：.ABCGsXECB,

.BCBG

NCBG=NCEB,

%~CE~~BE

9：AF//BC,

：.ZAFB=ZCBG,

；?ZAFB=ZBEG,且NEBG=NFBA,

???△BEGSLBFA,

,BEBG

??茄一瓦’

.ABBG

??茄一樂‘

.BCAB

??瓦—茄’

.ABBF

**BC-CE?

AD=BC,

.AB_BF

**CE；

圖1中的②：四邊形ABC。是平行四邊形，點瓦方在直線AB,AD上,

NFGC=NDAB,

同理，四邊形A5CD是平行四邊形,

AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,

：.ZDAB-^-ZABC=180°,

9：NFGC+NCGB=180。，ZDAB=ZFGC,

/CGB=/EBC,且ZBCG=NECB,

ABCGsAEC5,

BCBG

NCBG=NCEB,

~CE~^E9

AF//BC,

ZAFB=NCBG,

ZAFB=/BEG,S.ZEBG=ZFBA,

△BEGsgFA,

BEBG

BF-AB?

ABBG

BF-BEJ

BCAB

CE-BF?

ABBF

~BC~~CE"

AD=BCf

AB_BF

~AD~~CE；

AHRF

綜上所述，甌CES,仞四條線段的比例關系為：

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質和特殊平行四邊形

的性質，解題關鍵是恰當選擇三角形進行證明全等或相似.

7.(1)1.5<^D<6.5

(2)見解析

⑶BD=2EF,見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系，平行線的判定與性質，三

角形的內角和定理等知識.

(1)根據△"><?也△EZ汨可得3E=AC=5,在△ABE中利用三角形的三邊關系可求得

3<AE<13,即可根據M=2A。求解;

（2）延長A￡）至G,使OG=AD,連接2G,先證明AADC絲AGD^SAS）,得至UAC=3G,

“=2GBD,再證明AABG絲尸(SAS),即可得到所=AG=2AD；

(3)延長班'到G,使得EF=FG,連接CG,延長C4到H,使得AH=AD,連接3”,

先證△BEF冬ACGF（SAS）可得BE=CG,NG=ZBEF,再證明ABAT/絲△3AD（SAS）,得到

BD=BH,ZH=ZADB=NCEF,最后證明△“BE絲AEGC（AAS）,得到

BH=EG=BD=2EF.

【詳解】（1）解：延長AD到點E.使DE="）,連接BE,

:.CD=BD,又AADC=/EDB,

：.△AT>&A￡D3（SAS）,

，BE=AC=5,

:在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

.?.3<AE<13,

DE=AD,

AE=2AD,

A3<2AD<13,解得L5<4）<6.5,

故答案為：1.5<AD<6.5；

（2）證明：延長AD至G,使。G=AD,連接BG,則AG=2AD

:點。為8C的中點,

CD=BD,

在△ADC和△GD3中

AD=DG

<ZADC=ZGDB,

CD=BD

：.△ADC也△GDB(SAS),

AC=BG,4C=4GBD,

VAC=AF,

???BG=AF,

,/ZBAE=ZCAF=90°,

AZE4F+ZBAC=180°,

???ZABG=ZABC+AC=180°-ABAC=ZEAF,

在尸和AANG中

AE=AB

<ZEAF=ZABG,

AF=BG

.,.△A5G^A￡4F(SAS),

???EF=AG=2AD.

(3)證明：如圖，延長跖到G,使得EF=FG,連接CG,延長C4到〃，使得=

連接

???點尸是邊的中點,

：.BF=CF,

■:NEFB=NCFG,

.,.△BEF^ACGF(SAS),

:?BE=CG,Z.G=ZBEF,

:?CG〃BE,

：.ZBEH=ZGCE,

VZBAC+ZBAT)=180°,ZBAC+ZBAH=180°

ZBAH=ZBAD,

丁BA=BA,

.,.△BAW^ABAT＞(SAS).

:.BD=BH,ZH=ZADB,

.：ZADB=/CEF,

:.ZH=ZADB=/CEF,

???△HBE^AEGC(AAS),

：.BH=EG=BD=2EF.

8.(1)6

(2)4

⑶DF=EF,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，作輔助線構造全

等三角形是解題關鍵.

(1)證明出△回￡＞名△ACE(SAS),得到BD=CE,即可求解；

(2)同(1)理可證，△回￡＞名△ACE(SAS),得至!JNACE=NA8D=9O。，CE=BD=2,再

根據等腰三角形三線合一的性質求解即可；

(3)過點。作。暇_LAF于點M,過點E作石N_LBF延長線于點N,同(1)理可證，

AABD^AACE(SAS),得至ljNACE=NAB。=90。，BD=CE,再分別證明

△BMD咨K：NEgS),△Z)MF^AEVF(AAS),即可得到結論.

【詳解】(1)解：-ZBAC=ZDAEf

...ABAC-ACAD=/DAE—ACAD,

.?./BAD=/CAE,

又?.AB=AC,AD=AE,

.?.△ABD^AACE（SAS）,

:.BD=CE,

???BC=4,BD=2,

:.BE=BC+CE=BC+BD=6；

（2）解：同（1）理可證，△ABDg^ACE（SAS）,

??,DB工AB,BD=2,

:.ZACE=ZABD=90°,CE=BD=2,

\-AD=AE,ACLDE,

CD=CE=2,

:.DE=4；

（3）解：DF=EF,理由如下：

如圖，過點。作產于點過點￡作石N，環(huán)延長線于點N,

:.ZABD=90°,

..ZABC+NCBD=9。。,

同（1）理可證，△回￡＞也△ACE（SAS）,

,\ZACE=ZABD=90°fBD=CE,

:.ZACB-^ZECN=90°,

\AB=AC,

...ZABC=ZACB,

:.ACBD=ZECN,

在^BMD和△C7VE中,

ZDBM=ZECN

</BMD=NENC=9。。,

BD=CE

:.BMD%△CNE(AAS),

:.DM=EN,

又?；ZDMF=ZENF=師,ZDFM=ZEFN,

.△DMFaENF(AAS),

DF=EF.

9.(1)Z1=Z2=Z3,見解析

(2)見解析

(3)9-5/65<BP<4

【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，作出正確輔助線是

解題的關鍵.

⑴利用折疊的性質，可得AABN是等邊三角形，即可得到4=N2==ZABN=2x60。=30°,

22

即可證明；

(2)連接PG,證明APGB絲ANBG(SAS),可得NPGB=NMBG,即可求得

NPGE=ZBGE=|NPGB,即可解答；

(3)當月、。重合時，5P的值最小，當E、B重合時，3P的值最大，利用折疊的性質和

勾股定理即可解答.

【詳解】(1)解：Z1=Z2=Z3

理由如下：

由折疊可知：直線跖是線段A3的垂直平分線，

:.AN=BN,

?.?BA對折至3N,折痕為BM,

:.AB=BN,N1=N2,

:.AB=BN=AN,

.1△ABN是等邊三角形，

：.ZABN^60°,

???Zl=Z2=-ZABN=-x60°=30°,

22

???四邊形ABC。為矩形，

..ZABC=90。,

/.Z3=ZABC-ZABN=90°-60°=30°,

???N1=N2=N3；

(2)解：如圖，連接尸G,

???四邊形ABC。是矩形，跖是折痕，

:.EF\\BCf

：.ZBGE=ZGBC,

由折疊的性質可知，PB=NG,/PBG=/NGB,

在△PG5和△N6G中，

PB=NG

<ZPBG=/NGB,

GB=BG

/.△PGB^AA?G(SAS),

???ZPGB=ZMBG

■:EG工PB,PE=BE

：.PG=BG,NPGE=ZBGE=-ZPGB

2

：.ZBGE=-ZMBG

2

■:ZBGE=ZGBC

：.ZGBC=-ZMBC

3

(3)解：如圖，當G。重合時，5尸的值最小,

r

I

1

1

1

c

\

BPC

根據折疊的性質知：AF=PF=9,

在RtZXPFC中，PF=9,FC=4,

則PC=y/PF2-FC2=765，

此時BP的最小值為9-765;

如圖，當￡、5重合時，的值最大,

根據折疊的性質知：AB=BP=4,即BP的最大值為4.

綜上，9-y/65<BP<4.

10.活動一：見解析

活動二：詳見解析

活動三：2s

【分析】活動一：證明AADE絲莊(SAS),得出=AD=CF,結合題意得出

AD=CF=BD,再證明四邊形8。尸C為平行四邊形，即可得解；

活動二：由中位線定理可得=MP//AD,NP=^BC,NP//BC,

結合AD=3C,得出MP=NP,即可得證；

活動三：過點O向上作AG的平行線。尸，連接EP,延長C。，過P作CO延長線的垂線，

垂足為連接PF,由題意可得AE=ED,ZA=NPDE=90°,AG=DP,證明

△AEG出力EP,得出GE=PE,ZAEG=NPED,證明跖是GP中垂線，得出GF=PF,

求出Pb的長即可得解.

【詳解】活動一：解：是AC的中點，

AE=CE,

在VADE和△CFE中,

AE=DE

</AED=ZCEF,

DE=EF

：.^ADE與CFE(SAS),

AZA=ZF,AD=CF,

為AB的中點，

:.AD=CF=BD,

?.?BD\\CF,

???四邊形瓦邛。為平行四邊形，

DE//BC,DE=-BC；

2

活動二：解：???尸是3。的中點，M是的中點，

：.MP=-AD,MP//AD,

2

???P是5。的中點，N是。。的中點，

ANP=-BC,NP//BC,

2

?/AD=BCf

:.MP=NP,

:.ZPMN=ZPNM

活動三：解：過點。向上作AG的平行線DP,連接EP,延長8,過P作。。延長線的垂

線，垂足為“，連接P尸，

???萬是AD的中點，AG//DP,

AAE=ED,ZA=ZPDE=90°,AG=DP,

△AEG=/^DEP,

:?GE=PE,ZAEG=ZPEDf

?.?ZG￡F=90°,

，EV是GP中垂線，

:.GF=PF,

vZADC=120°,

AZADH=60°,NHDP=30。,

VZH=90°,PD=AG=26,

:.PH=6,HD=3,

■：DF=2,

：.HF=5,PF=^52+(A/3)2=2A/7-GF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定

理、直角三角形的性質、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)?/p>

輔助線是解此題的關鍵.

11.⑴36

(2)①見解析，?GF=BE+BF,理由見解析

【分析】(1)在RtZXABC中根據/B=60。，AC=6可得AB=4g,再根據的＞=退可得線

段3D的長；

(2)證ABOC為等邊三角形得3C=OC,ZBCO=ZCOB=60°,再根據ACDE為等邊三角形

得CE=CD,ZECD=60°,由此得ZBCE=ZOCD,進而可依據“SAS”判定ABCE和AOCD

全等得NCBE=NCOD=120。,進而可證NC8E+ZBCO=180。，據此即可得出結論；

(3)過點D作DH〃BE交BC于點、H,先證ABEF和AHDF全等得BF=HF,BE=DH,

再證=S=即可得出線段BE,BF,G尸之間的數(shù)量關系.

AT

【詳解】(1)解：在中，ZACB=90°,=60°,AC=6sinB=—,

fAB

AC6后

..AABn=----=-----=4A{3,

sin3sin60°

AD=6,

:.BD=AB-AD=4y/3-43=343;

(2)①證明：在Rt^ABC中，NACB=90。，點。為AB邊中點，

OB=OC,

?.-ZCBO=60°,

.?.△5OC為等邊三角形，

/.BC=OC,/BCO=NCOB=60°,

/.ZCOD=180°-NCOB=120°,

???△CDE為等邊三角形，

:.CE=CD,ZECD=6。。,

:.ZBCO=ZECD=60°,

即ZBCE+ZECO=ZECO+ZOCD=60°,

ZBCE=NOCD,

在ABCE和△OCD中，

BC=OC

</BCE=/OCD,

CE=CD

ABCE^AOCD(SAS),

/.Z.CBE=ZCOD=120°,

/.Z.CBE+ZBCO=120°+60°=l80°,

:.OC//BE；

②解：BE,BF,Gb之間的數(shù)量關系是G方=跖+防，理由如下:

過點D作〃班:交BC于點H,如下圖所示：

則NEBF=NDHF,

???點/是OE的中點,

:.EF=DF,

在和AHDF中,

ZEBF=ZDHF

<ZBFE=ZDFH,

EF=DF

△BEF唱△印)尸(AAS),

:.BF=HF,BE=DH,

???在(2)的條件下，

.-.△BCE^AOCD,CO//BE,

ZBCE=Z1,CO//DH

，N1=N2,

:.ZBCE=Z2,

又；NG=NBCE,

;.N2=NG,

:.DH=GH,

又一：BE=DH,

:.BE=GH,

:.GF=HF+GH=BF+BE.

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角

形、直角三角形的性質、等腰三角形的判定和性質、平行線的判定和性質，熟練掌握知識點，

正確添加輔助線是解決問題的關鍵.

12.(1)見解析

⑵業(yè)

(3)i

【分析】(1)根據題意證明AABM絲得至=即可求解；

(2)根據題意得到/CW=/E47V,可證ACLOE,EN=-DE,NE=-DE=-BC=3,