2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測(cè)：命題與證明（含解析）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測(cè)：命題與證明

選擇題（共10小題）

1.（2025?安陽模擬）下列命題屬于真命題的是（）

A.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

B.相等的角是對(duì)頂角

C.同位角相等

D.垂線段最短

2.（2025?山東一模）下列命題中正確的是（）

A.如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么4m4b,4c?也是一組勾股數(shù)

B.如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是1：2：3,那么這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊一定是5

D.任何一個(gè)定理都有逆定理

3.（2024?天山區(qū)校級(jí)二模）下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“兩個(gè)無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)”是假命

題的反例是（）

A.a=V§，b=V2B.a=V3>b=2V3

C.a=2,b=3D.a~y/~3，b=2

4.（2024?南山區(qū)校級(jí)三模）下列命題中，真命題的是（）

A.矩形的對(duì)角線互相垂直

B.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根一定比這個(gè)數(shù)小

C.點(diǎn)（-2,-3）關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,3）

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形

5.（2024?宜興市模擬）下列選項(xiàng)中可以用來說明命題“若7>1,則x>l”是假命題的反例是（）

A.尤=-1B.尤=1C.尤=3D.x=-3

6.（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）能說明命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，#=2?"是假命題，其中。可取的值是（）

A.-1B.0C.1D.V2

7.（2024?南山區(qū)三模）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

8.（2024?興隆臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）下列圖形中，能說明“相等的角是對(duì)頂角”為假命題的是（）

9.（2024?太平區(qū)二模）下列各命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.如果a=b,那么/=房

C.對(duì)頂角相等

D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

10.（2024?坪山區(qū)校級(jí)一模）下列命題正確的是（）

A.方程7-X-1=0沒有實(shí)數(shù)根

B.兩邊成比例及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

C.平分弦的直徑垂直于弦

D.反比例函數(shù)的圖象不會(huì)與坐標(biāo)軸相交

填空題（共5小題）

11.（2025?佛山一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在無軸上運(yùn)動(dòng)，

滿足0M+0N=8.點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.

12.（2024?石景山區(qū)一模）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛(wèi)生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設(shè)

備共四個(gè)步驟.某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：

①“打掃衛(wèi)生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛(wèi)生”完成后，才能進(jìn)行該客房的其他三個(gè)步驟，這三

個(gè)步驟可由任意工作人員完成并可同時(shí)進(jìn)行；

②一個(gè)步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進(jìn)行其他步驟；

③每個(gè)步驟所需時(shí)間如表所示：

步驟打掃衛(wèi)生整理床鋪更換客用物品檢查設(shè)備

所需時(shí)間/分鐘9764

在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，需要分鐘；若由甲、乙、

丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要分鐘.

13.（2024?蚌山區(qū)三模）寫出定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命

題：.

14.（2024?樂山模擬）命題"等角的余角相等”的逆命題是,這是一個(gè)命

題.（填“真”或“假”）

15.（2024?西安校級(jí)模擬）《原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎(chǔ)推演出更多

的結(jié)論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著.請(qǐng)寫出命題“如果a=b,那么/=必”的逆命

題：?

三.解答題（共5小題）

16.（2025?江北區(qū)模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AO平分/8AC.小智在剛學(xué)完”三角形全

等的判定”這節(jié)課后，老師給出了一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的題目，利用所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出△A3。和△AC。面積

的比值與邊AB和AC長(zhǎng)度的比值之間的關(guān)系.經(jīng)過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點(diǎn)D

作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E,再根據(jù)三角形全等來證明△A3。和△ACD的高相等，從而得到結(jié)論，請(qǐng)根

據(jù)小智他們的思路完成以下作圖與填空：

（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)。作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）證明：平分N8AC,

二①.

'：DE±AC,

：.ZAED=ZB=90°.

又②,

：.AABD^AAED（AAS）.

'/S/xABD——AB,DB,SAACD=^AC*DE,

22

.SAABDAB

??----~--.

^AACDAC

小智他們?cè)龠M(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)

你依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么這兩個(gè)三角形面積的比值與該角對(duì)

應(yīng)的兩邊長(zhǎng)度的比值④.

17.（2024?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分/BAC.小明在剛學(xué)完"三角形

全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出△A3。和△ACZ）面積的比值與42,AC兩邊比值的

關(guān)系.他的思路是：過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)再根據(jù)三角形全等來證明△42。和的

高相等，進(jìn)一步得到△A8O和△ACD的面積之比等于NBAC的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完

成以下作圖與填空：

（1）用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)H（只保留作圖痕跡）.

（2）證明：-：DH±AC,

:.NAHD=90°=NB.

平分/BAC,

①.

在△AB。和中，

'ZB=ZAHD

，ZBAD=ZHAD

.。②（）

AAABD^AAHD（AAS）.

二③.

..1

SAACD^AODH，

.SAABDAB

??------"?

^AACDAC

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)你

依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么④

18.(2024?遂平縣一模)電動(dòng)切割機(jī)以其高效、準(zhǔn)確和便捷的特點(diǎn)，成為現(xiàn)代工作中不可或缺的工具，圖

1是從電動(dòng)切割機(jī)抽象出來的幾何模型，ON為固定臺(tái)，切割片OA與擺臂相切于點(diǎn)P,圖2是切

割機(jī)完成工作時(shí)候的模型圖，此時(shí)切割片08與ON相切.已知切割片的半徑為30cm,轉(zhuǎn)軸0A長(zhǎng)是

60cm,ZMON=9Q°(此次切割片在工作時(shí)候的磨損忽略不計(jì)).

(1)求圖2中點(diǎn)2到的距離；

(2)求砂輪工作前后，圓心A運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度.

19.(2024?重慶二模)如圖，在RtAABC中，/B=90°,AD平分N8AC.小明在剛學(xué)完“三角形全等

的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出△A3。和△AC。面積的比值與ABAC兩邊比值的關(guān)系.他

的思路是：過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為點(diǎn)”，再根據(jù)三角形全等來證明和△AC。的高相等，

進(jìn)一步得到△A3。和的面積之比等于/8AC的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成以下作

圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)”(保留作圖痕跡，不寫作法，要下結(jié)論).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=NB

平分NBAC,

在△ABO和中，

,ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

.()

二△ABD0AAHD(A4s).

：.BD=DH.

..1

.SAABD^^BD，

SAACD4'AC'DH，

_SAABD_=

SAACD

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)你

依照題意完成下面命題：如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那

20.（2024?渝中區(qū)校級(jí)三模）學(xué)習(xí)了菱形后，小莉進(jìn)行了拓展性研究：過菱形的一個(gè)頂點(diǎn)分別向兩條對(duì)邊

作垂線，則這兩條垂線與對(duì)角線產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，那么這兩交點(diǎn)到此頂點(diǎn)的距離關(guān)系如何？她的解決思路

是通過證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)交BD干點(diǎn)、N.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形45。是菱形，過A作AEL8C于點(diǎn)E,并交對(duì)角線8。于點(diǎn)孔作于

點(diǎn)M,交對(duì)角線8。于點(diǎn)N.求證：AF=AN.

證明：：四邊形A3。是菱形

：.AB=_________

ZABC=ZADC

ZABD=yZABC=yZADC=ZADB

'：AELBC,AMLCD

：.ZAEB=ZAMD=90°

,：ZAEB+ZABC+ZBAE=180°

ZAJWD+ZA￡）C+ZDAM=180°

AABF^___________

:.AF=AN

請(qǐng)你依照題意完成下面命題：過菱形的一個(gè)頂點(diǎn)向兩條對(duì)邊作垂線，與對(duì)角線產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn),

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前預(yù)測(cè)：命題與證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?安陽模擬）下列命題屬于真命題的是（）

A.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

B.相等的角是對(duì)頂角

C.同位角相等

D.垂線段最短

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的判定定理、對(duì)頂角相等、垂線段最短判斷即可.

【解答】解：A、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

8、相等的角不一定是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

C、同位角不一定相等，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

。、垂線段最短，是真命題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

2.（2025?山東一模）下列命題中正確的是（）

A.如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么4a,4b,4c也是一組勾股數(shù)

B.如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是1：2：3,那么這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊一定是5

D.任何一個(gè)定理都有逆定理

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】利用勾股數(shù)的定義、三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：A、如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么4m4b,4c也是一組勾股數(shù)，正確，符合題意；

B,如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是1：2：3,那么這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊之比也是1：

V3：2,故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、如果直角三角形的兩邊分別是3,4,那么斜邊是5或故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

。、任何命題都有逆命題，但定理不一定有逆定理，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解勾股數(shù)的定義、三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，

屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單.

3.（2024?天山區(qū)校級(jí)二模）下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題”兩個(gè)無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)”是假命

題的反例是（）

A.\>=y/~2B.>b=2>/3

C.a=2,b=3D.a=V3>b=2

【考點(diǎn)】命題與定理；實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】錯(cuò)誤的命題即為假命題，無限不循環(huán)小數(shù)即為無理數(shù)，再把每個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，即可作

答.

【解答】解：4V2xV3=V6?無法說明兩個(gè)無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)是假命題，故該選項(xiàng)是錯(cuò)

誤的；

B、V3x273=2X3=6-說明兩個(gè)無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)是假命題，故該選項(xiàng)是正確的；

C、2,3不是無理數(shù)，無法說明兩個(gè)無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)是假命題，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

。、2不是無理數(shù)，無法說明兩個(gè)無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)是假命題，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了假命題的定義以及無理數(shù)的定義，掌握錯(cuò)誤的命題即為假命題是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?南山區(qū)校級(jí)三模）下列命題中，真命題的是（）

A.矩形的對(duì)角線互相垂直

B.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根一定比這個(gè)數(shù)小

C.點(diǎn)（-2,-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,3）

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【考點(diǎn)】命題與定理；關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形

的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、算術(shù)平方根、軸對(duì)稱以及正方形性質(zhì)，進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答.

【解答】解：A、矩形的對(duì)角線相等，故原說法是錯(cuò)誤的，不符合題意；

B.1的算術(shù)平方根是1,故一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根不一定比這個(gè)數(shù)小，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，不符合題

-zfe.

思；

。、點(diǎn)（-2,-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,3）,故該選項(xiàng)是正確的，符合題意；

。、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原說法是錯(cuò)誤的，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假以及矩形的性質(zhì)、算術(shù)平方根、軸對(duì)稱以及正方形性質(zhì)，關(guān)鍵是矩形性

質(zhì)的應(yīng)用.

5.（2024?宜興市模擬）下列選項(xiàng)中可以用來說明命題“若/>1,則x>l”是假命題的反例是（）

A.x=-1B.x=lC.x=3D.x=-3

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】推理填空題.

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則、假命題的概念解答.

【解答】解：A、尤=-1時(shí)，不滿足/>1,本選項(xiàng)不符合題意；

B、X=1時(shí)，不滿足尤2>1,本選項(xiàng)不符合題意；

C、x=3時(shí).滿足/>1,則x>l.本選項(xiàng)不符合題意；

D、'：（-3）2=9>1,-3<1,

.?.當(dāng)x=-3時(shí)，說明命題“若/>1,則x>l”是假命題，本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要

推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.

6.（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）能說明命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，衣=2?"是假命題，其中?？扇〉闹凳牵ǎ?/p>

A.-1B.0C.1D.我

【考點(diǎn)】命題與定理；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】分別把各選項(xiàng)的值代入即可進(jìn)行判斷.

【解答】解：A.當(dāng)。=-1時(shí)，M（TV珀=責(zé)_1，符合題意；

B.當(dāng)。=0時(shí),V?=Vo^=0,不符合題意；

C.當(dāng)。=1時(shí)，｛a2=yj12=],不符合題意；

D.當(dāng)&=、歷時(shí)，叱H5）2=圾,不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)

命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.

7.（2024?南山區(qū)三模）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【考點(diǎn)】命題與定理；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理；垂徑定理；切線的性質(zhì).

【專題】空間觀念.

【答案】B

【分析】利用三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長(zhǎng)定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判

斷后即可

【解答】解：4三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選

項(xiàng)不符合題意；

8、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，故原命題是假命題，本選項(xiàng)符

合題意；

C、從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，

是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，掌握三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長(zhǎng)定理以及直角三

角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?興隆臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）下列圖形中，能說明“相等的角是對(duì)頂角”為假命題的是（）

【考點(diǎn)】命題與定理；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，再結(jié)合舉反例的方法可得到答案.

【解答】解：選項(xiàng)A中的圖形，滿足兩個(gè)角相等，但是不是對(duì)頂角，故A符合題意；

選項(xiàng)8中的圖形是對(duì)頂角，故B不符合題意；

選項(xiàng)C中的圖形兩個(gè)角不相等，故C不符合題意；

選項(xiàng)。中的圖形兩個(gè)角不相等，故。不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是真假命題的判定，對(duì)頂角的含義，掌握判斷命題為真假命題的判定方法是解本題

的關(guān)鍵.

9.（2024?太平區(qū)二模）下列各命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.如果a=b,那么/二戶

C.對(duì)頂角相等

D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

【考點(diǎn)】命題與定理；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；全等三角形的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，據(jù)此解答即可.

【解答】解：A、“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等形”是假命題，故A

不符合題意；

2、“如果a=b,那么/=必”的逆命題是，，如果/=必，那么々=6”是假命題，故8不符合題意；

C、“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，故C不符合題意；

。、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是真命題，故D符合題

-zfe.

思；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了逆命題，熟悉課本中的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?坪山區(qū)校級(jí)一模）下列命題正確的是（）

A.方程*-尤-1=0沒有實(shí)數(shù)根

B.兩邊成比例及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

C.平分弦的直徑垂直于弦

D.反比例函數(shù)的圖象不會(huì)與坐標(biāo)軸相交

【考點(diǎn)】命題與定理；相似三角形的判定；根的判別式；函數(shù)的圖象；垂徑定理.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式、相似三角形的判定定理、垂徑定理的推論、反比例函數(shù)的性質(zhì)

判斷即可.

【解答】解：4方程/-X-1=0的判別式A=62-4ac=（-1）2-4XlX（-1）=5>0,則方程有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

B、兩邊成比例及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

。、反比例函數(shù)的圖象不會(huì)與坐標(biāo)軸相交，命題正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?佛山一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在無軸上運(yùn)動(dòng)，

滿足0M+0N=8.點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為一

【考點(diǎn)】軌跡；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】推理能力.

【答案】8圾.

【分析】根據(jù)題意找出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是兩條線段設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,機(jī)），點(diǎn)N的坐標(biāo)為Gi,0）,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為華，,），根據(jù)。M+ON=8,得出同+M=8,然后分兩種情況，-8，＜0或0,

W8,得出螞與4的函數(shù)關(guān)系式，即可得出。橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，找出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)勾股定理

22

求出運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)即可.

【解答】解：???點(diǎn)M在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,相），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（小0）,

??,點(diǎn)。為線段MN的中點(diǎn)，

則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（￡,5）,

?：OM+ON=8,

|n|+|m|=8,（-8W〃W8,0WmW8）,

二?當(dāng)-8W〃V0時(shí)，間+|刑=-n+m=8,

?nm/

??7為=4，

??萬而+4,

此時(shí)點(diǎn)Q在一條線段上運(yùn)動(dòng)，線段的一個(gè)端點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（-4,0）,另一端在y軸

的非負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0,4）,

???此時(shí)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為4（-4）2+42=蚯；

當(dāng)0W〃W8時(shí)，|川+|加|=〃+機(jī)=8,

...此時(shí)點(diǎn)。在一條線段上運(yùn)動(dòng)，線段的一個(gè)端點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)為（4,0）,另一端在y軸的

非負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0,4）,

,此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為V42+（-4）2=4加；

綜上分析可知，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為472+4&=8亞.

故答案為：8V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問題，一次函數(shù)的應(yīng)用，化為最簡(jiǎn)二次根式，掌握平

面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問題，一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?石景山區(qū)一模）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛(wèi)生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設(shè)

備共四個(gè)步驟.某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：

①“打掃衛(wèi)生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛(wèi)生”完成后，才能進(jìn)行該客房的其他三個(gè)步驟，這三

個(gè)步驟可由任意工作人員完成并可同時(shí)進(jìn)行；

②一個(gè)步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進(jìn)行其他步驟；

③每個(gè)步驟所需時(shí)間如表所示：

步驟打掃衛(wèi)生整理床鋪更換客用物品檢查設(shè)備

所需時(shí)間/分鐘9764

在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，需要26分鐘;若由甲、乙、

丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要43分鐘.

【考點(diǎn)】推理與論證；統(tǒng)計(jì)表.

【專題】推理填空題；統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，所需時(shí)間為四個(gè)步驟所需

時(shí)間的和，若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，所需時(shí)間為“打掃衛(wèi)生”和“整理床鋪”2

個(gè)步驟所需時(shí)間的和.

【解答】解：在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨(dú)完成一間客房的清潔工作，所需時(shí)間為：9+7+6+4

=26（分鐘）；

若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，甲完成四間客房''打掃衛(wèi)生”需36分鐘，甲完成一間

客房“打掃衛(wèi)生”需9分鐘，隨后乙、丙進(jìn)行其他三個(gè)步驟，可完成四間客房整理床鋪、更換客用物品

的工作，其中一人完成四間客房整理床鋪需28分鐘，可再完成二間客房檢查設(shè)備的工作，一人完成四

間客房更換客用物品需24分鐘，也可再完成二間客房檢查設(shè)備的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成

四間客房的清潔工作，則最少需要36+7=43分鐘.

故答案為：26,43.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，理解題意是解題的關(guān)鍵.

13.（2024?蚌山區(qū)三模）寫出定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：如果一個(gè)三

角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.命題''直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半”的條件是直角三角形，結(jié)論是斜邊上的中線等于斜邊的一半，故其逆命題：如果一個(gè)三角形一邊

上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

【解答】解：定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：如果一個(gè)三角形一邊上的中

線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)及命題的真假判斷，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)

命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命

題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

14.（2024?樂山模擬）命題"等角的余角相等”的逆命題是如果兩個(gè)角的余角相等，那么這兩個(gè)角也相

等，這是一個(gè)真命題.（填“真”或“假”）

【考點(diǎn)】命題與定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先把等角的余角相等寫成“如果…那么…”的形式，然后交換題設(shè)和結(jié)論即可得到逆命題，再

判斷其真假.

【解答】解：“等角的余角相等”的逆命題為“如果兩個(gè)角的余角相等，那么這兩個(gè)角也相等”，這是一

個(gè)真命題.

故答案為如果兩個(gè)角的余角相等，那么這兩個(gè)角也相等；真.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題.

15.（2024?西安校級(jí)模擬）《原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎(chǔ)推演出更多

的結(jié)論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著.請(qǐng)寫出命題“如果a=b,那么/=房”的逆命

題：如果/=必，那么”=b.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感.

【答案】如果/=后，那么。=從

【分析】將原命題的條件和題設(shè)互換即可寫出逆命題.

【解答】解：逆命題為：如果/=必，那么

故答案為：如果/=店，那么a=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)懗鲈撁}的逆命題.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?江北區(qū)模擬）如圖，在RtaABC中，N8=90°,AD平分NA4c.小智在剛學(xué)完“三角形全

等的判定”這節(jié)課后，老師給出了一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的題目，利用所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出△A8O和△AC。面積

的比值與邊和AC長(zhǎng)度的比值之間的關(guān)系.經(jīng)過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點(diǎn)D

作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E,再根據(jù)三角形全等來證明△A3。和的高相等，從而得到結(jié)論，請(qǐng)根

據(jù)小智他們的思路完成以下作圖與填空：

（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)。作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）證明：平分NBAC,

①NCAD=/8Ar>.

'：DE.LAC,

:./AED=/B=90°.

又②,

AAABD^/\AED（A4S）.

.,.③DE=BD.

S^ABD=—AB,DB,S^ACD=—AC'DE,

22

.SAABDAB

^AACDAC

小智他們?cè)龠M(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)

你依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么這兩個(gè)三角形面積的比值與該角對(duì)

應(yīng)的兩邊長(zhǎng)度的比值④相等.

【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；作圖一復(fù)雜作圖.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【分析】（1）以。為圓心畫弧交AC于M、N,作線段的垂直平分線交AC于E；

(2)判定(AAS),推出DE=BD,由三角形面積公式推出也空上J殳，由以上證明

,△ACDAC

即可得到結(jié)論.

【解答】(1)解:如圖所示：DE1AC；

(2)證明：平分NBAC,

：.ZCAD^ZBAD,

'：DE±AC,

：.ZAED^ZB^9Q°,

又AD^AD,

:.△ABDgLAED(AAS).

:.DE=BD.

SAABD=^-AB-DB,SAACD^^-AC-DE,；.望.

22S^ACDAC

小智他們?cè)龠M(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論,

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么這兩個(gè)三角形面積的比值與該角對(duì)

應(yīng)的兩邊長(zhǎng)度的比值相等.

故答案為：ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，作圖-復(fù)制作圖，關(guān)鍵是

掌握尺規(guī)作圖：過直線外一點(diǎn)作已知直線的方法，判定△ABO0ZXAED(AAS),推出。E=BZ).

17.(2024?沙坪壩區(qū)模擬)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分/BAC.小明在剛學(xué)完”三角形

全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出△A3。和△AC。面積的比值與AB,AC兩邊比值的

關(guān)系.他的思路是：過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)”，再根據(jù)三角形全等來證明△ABO和△ACD的

高相等，進(jìn)一步得到和△ACD的面積之比等于NBAC的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完

成以下作圖與填空：

(1)用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)H(只保留作圖痕跡).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=/B.

平分/BAC,

①NBAD=/HAD.

在△ABO和中，

'ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

()②()

AAABD^AAHD(44S).

.,.③BD=DH.

..1

15&^^研咂，

SAACD^AODH,

.SAABDAB

??.

^AACDAC

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)你

依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么④這兩個(gè)三角形的面積之比，等

于這個(gè)角的兩條鄰邊邊長(zhǎng)之比..

【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；作圖一基本作圖.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)分別以4C點(diǎn)為圓心，/AC長(zhǎng)為半徑在線段4。兩側(cè)畫弧，各有兩個(gè)交點(diǎn)，連接這兩個(gè)

交點(diǎn)交AC邊與H,則直線QH即為AC的垂線；

(2)根據(jù)AAS,再找一條公共邊，證明△A3。之得到進(jìn)而將面積之比轉(zhuǎn)化長(zhǎng)相應(yīng)

邊的比

【解答】解：（1）如圖，直線DH為所作垂段;

(2)解：證明：-：DH±AC,

：.ZAHD=9Q°=/B.

平分/BAC,

：.ZBAD=ZHAD.

在△A3。和中，

'ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

AD=AD

:.△ABDQAHD(AAS).

:.BD=HD.

..1

?S^ABD^MBD，

SAACD^AODH,

S

?.?--A-A--B-D-~-A--B.

^AACDAC

所以：如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么這兩個(gè)三角形的面積之比,

等于這個(gè)內(nèi)角的兩條鄰邊邊長(zhǎng)之比.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的作圖，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2024?遂平縣一模）電動(dòng)切割機(jī)以其高效、準(zhǔn)確和便捷的特點(diǎn)，成為現(xiàn)代工作中不可或缺的工具，圖

1是從電動(dòng)切割機(jī)抽象出來的幾何模型，ON為固定臺(tái)，切割片OA與擺臂相切于點(diǎn)P,圖2是切

割機(jī)完成工作時(shí)候的模型圖，此時(shí)切割片08與ON相切.已知切割片的半徑為30cm轉(zhuǎn)軸0A長(zhǎng)是

60cm,/MON=90°（此次切割片在工作時(shí)候的磨損忽略不計(jì)）.

（1）求圖2中點(diǎn)8到OM的距離；

（2）求砂輪工作前后，圓心A運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度.

【考點(diǎn)】軌跡；勾股定理的應(yīng)用；垂徑定理；切線的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】⑴點(diǎn)B到0M的距離為30如刖；

(2)圓心A運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為IOTTCWI.

【分析】(1)過點(diǎn)B作BQ_LON,BCL0M.則42=8。=30。小OA=OB=60c〃z.由勾股定理得0Q

的長(zhǎng)，根據(jù)/8(7。=/8。。=/加07=90°,得出四邊形8c。。為矩形.則8c=OQ=3(h/5cm；

(2)在RtZXOQB中，sin/BOQ且?小，則/8。。=30°,同理可得/4。尸=/80。=30°.則/

0B2

AOB=90°-60°=30°.所以圓心A運(yùn)動(dòng)軌跡眾的長(zhǎng)迎12s也二1°兀().

【解答】解：(1)過點(diǎn)8作5QL0N,BCLOM,垂足分別為。，C.

由勾股定理得OQ=^Qg2_gQ2=^602-302=30V3cm,

VZBCO=ZBQO=ZMON=90°,

???四邊形BCOQ為矩形.

BC=OQ=30y[3cm,

???點(diǎn)B到OM的距離為30V3cm；

⑵在Rt/\OQB中，sinNB0Q=-^_[，

UDN

：.ZBOQ=30°,

同理可得NAOP=N5OO=30°.

ZAOB=90°-60°=30°.

圓心A運(yùn)動(dòng)軌跡窟的長(zhǎng)為30n*60=]0兀（加＞

180

答：圓心A運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為lOirc/n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡、勾股定理的應(yīng)用、垂徑定理、切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活

運(yùn)用.

19.(2024?重慶二模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在剛學(xué)完“三角形全等

的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出△48。和△AC。面積的比值與ABAC兩邊比值的關(guān)系.他

的思路是：過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)再根據(jù)三角形全等來證明△A3。和△AC。的高相等，

進(jìn)一步得到△A3。和△AC。的面積之比等于/BAC的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成以下作

圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)“(保留作圖痕跡，不寫作法，要下結(jié)論).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=9Q°=/B

平分/BAC,

/BAD=NHAD.

在△ABD和△AHD中，

,ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

)

AAABD^AAHD(A4s).

:.BD=DH.

..1

.S&iBD而g,BD，

SAACD^AODH，

.SAABDAB

,△ACDAC

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)你

依照題意完成下面命題：如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分