2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)過關(guān)練：規(guī)律探究題型突破

規(guī)律探究題型突破

題型一數(shù)式變化類

“2024江蘇揚(yáng)州］1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1』,2,3,5,…，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)

數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.676B.674C.1348D.1350

2.［2023四川內(nèi)江］對(duì)于正數(shù)x,規(guī)定/(%)=高，例如〃2)=*=("(0=工=|/(3)=答=

XTXZ十Xo\Z/—2rJ.5jTXZ\oz

S=攝十算f島)+f(擊)+f島)+…+fG)+fG)+/⑴+f(2)+f⑶+-+f(99)+f(100)+f(101)=

3十

()

A.199B.200C.201D.202

3.［2024河北］“鋪地錦”是我國古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)

算.淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運(yùn)算結(jié)果為3036.圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一

個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是()

小方格中的數(shù)據(jù)是由其

所對(duì)的兩個(gè)數(shù)相乘得到?

的，如:2=lx2Z2

%,,6,,4

3

39,6

1

1

T

Z

O國

-

?20

回

圖2

A.“20”左邊的數(shù)是16

B.“20”右邊的“畫”表示5

C.運(yùn)算結(jié)果小于6000

D.運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100a+1025

4.［2024寧夏］觀察下列等式：

第1個(gè)：1x2—2=22x0；

第2個(gè)：4x3-3=32xl；

第3個(gè)：9x4-4=42x2;

第4個(gè)：16x5—5=：52x3.

按照以上規(guī)律，第n個(gè)等式為.

5.［2024四川成都］在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)l~n這n個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于n的取法種數(shù)

k進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=2時(shí)，只有｛1,2｝一種取法，即k=l;當(dāng)n=3時(shí)，有｛1,3｝和|2,3｝兩種取法，即k=2;當(dāng)n=4時(shí)，可得

k=4;........若n=6,則k的值為;若n=24,則k的值為.

6.[2024北京東城區(qū)校級(jí)模擬]有灰、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6,把它們像撲克牌那樣洗過后，如圖

排成兩行，數(shù)字朝下，排列規(guī)則如下：

①從左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；

②灰、白卡片數(shù)字相同時(shí)，灰卡片放在左邊.

將第一行卡片用大寫英文字母按順序標(biāo)注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標(biāo)注，則寫有數(shù)字1的白卡片為

標(biāo)注字母______的卡片，標(biāo)注字母d的卡片寫有數(shù)字.

ABCDEF

第一行:■

第二行：■■口■□口

abcdef

題型二圖形變化類

7.[2024黑龍江牡丹江]如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形、第1個(gè)圖有4個(gè)三角形,

第2個(gè)圖有7個(gè)三角形、第3個(gè)圖有10個(gè)三角形.....按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）

△

筮△

△△

△△△△能

△△△△△△△

個(gè)

第1個(gè)第2個(gè)

A.2022B.2023

8.[2024山東濟(jì)寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個(gè)正方形，第二幅圖有5

個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形，—-按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為（）

□田H

第一姐圖第二帆圖第三幅圖第四幅圖

A.90B.91C.92D.93

9.[2024重慶A卷]烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模

型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種（如圖①）有4個(gè)氫原子，第2種（如圖②）有6個(gè)氫原子，第3

種（如圖③）有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（）

樹哪輸

①②③④

A.20B.22C.24D.26

10.[2024江蘇鹽城]發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢?

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，

每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、

列上相鄰兩籽的間距都為d（n,k均為正整數(shù)，n>kN3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

三llllljjlll...

三^:三7"由中川?…

圖2圖3圖4

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長為_

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短?請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

題型三點(diǎn)的坐標(biāo)變化類

11.[2024江辦鹽城二模]如圖,平面直角坐標(biāo)系中,△AiA2A3,△A3A&Ag,△A5AgA7,.......都是斜邊在x軸

上的等腰直角二角形，點(diǎn)A[(-2,0),A2(-1,-1),A3(0,0),........;i則根據(jù)圖小規(guī)律，點(diǎn)A?025的坐標(biāo)為()

A.(-1012,0)B.(-1014,0)

C.(-2,l012)D.(1014.0)

12.[2024山東聊城]任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行

上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4—2-1,這就是“冰雹猜想”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將

點(diǎn)(x,y)中的x,y分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中x,y均為正整數(shù).例如，點(diǎn)(6,

3)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)(3,10),經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)(10,5),以此類推，則點(diǎn)(1,4)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)—

13.[2024黑龍江龍東地區(qū)]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),△OAB是等邊三

角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是(1,()),△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊(方向?yàn)镺—M-N—P-O—M-…)

做無滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，Ai的坐標(biāo)是(2,0)；第二次滾動(dòng)后,Ai的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2,A2

的坐標(biāo)是(2,0);第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3,A3的坐標(biāo)是(3-爭(zhēng)J……，如此下去，則A2024的坐標(biāo)

是

14.[2024黑龍江齊齊哈爾校級(jí)模擬]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)RtAOAB,NABO=9()o,NAOB=30。直角

邊OB在y軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第一象限，且OA=1,將RtAOAB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，同時(shí)把各邊長擴(kuò)大為原

來的兩倍（即（OAi=20A）狷到RtAOAiBi;然后將R30AxB1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,同時(shí)把各邊長擴(kuò)大為原

來的兩倍，得到RtAOA2B2；……，依此規(guī)律，得到RtACM202482024,.則B2024的坐標(biāo)為.

突破一規(guī)律探究

1.D解析:這列數(shù)為1,1,2,3,5,8,13,21.34，…，可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組,每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)

數(shù)為偶數(shù)，???2024+3=674……2,即前2024個(gè)數(shù)中共有674組，且余2個(gè)數(shù)，，奇數(shù)有674x2+2=1350（個(gè)）.

方法技巧..

解答規(guī)律探究題的一般思路是由特殊到一般，即通過對(duì)特殊情況的研究，找出規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般情形，再

根據(jù)一般情形解決問題.

1C解析：/⑴=后=1,

f⑵+嗚=2，

/⑶+嗚=2，

2X101+2X圭20212204Q

101+1—-+1=-10-2H-10-1+1=—102=2,

101

???f(擊)+f(擊)+，(專)+…+fG)+f(J+f⑴+f⑵+F⑶+…+f(99)+f(100)+f(101)=2xl00

+1=201.

3.D解析：設(shè)三位數(shù)從左到右數(shù)字分別為b,c,d,兩位數(shù)從左到右數(shù)字分別為m,n.根據(jù)題圖2可得dm

=20,dn=5,cn=2,所以m=4n,d:c=5:2,由于b,c,d,m,n者B是一位數(shù)，所以~=5{=2,進(jìn)而可得m=4,n=l,所以"20"

左邊的數(shù)是8,"20"右邊的"目"表示4,排除選項(xiàng)A、B;易得"a"上邊的數(shù)是4a,則運(yùn)算結(jié)果可以表示為1

000(4a+l)+100a+10x2+5=4100a+1025,選項(xiàng)D正確;當(dāng)a=2時(shí),運(yùn)算結(jié)果為9225,排除選項(xiàng)C.故

30.(1)|(2)|

解析：（1）在5個(gè)空白的方格中隨機(jī)選一個(gè)涂上陰影，陰影部分形成的圖案是中心對(duì)稱圖形的概率為|

⑵如圖,5個(gè)空白方格分別用123,4,5表示.

選D.

4.幾2X(n+1)—(71+1)=(71+I)2x(n—1)

解析：第1個(gè)：1x2-2=22X0；

第2個(gè)：4x3-3=32xl;

第3個(gè)：9x4-4=42x2;

第4個(gè)：16x5-5=52x3.

按照以上規(guī)律，第n個(gè)等式為n2x(n+1)

—(n+1)=(n+I)2X(n—1).

5.9;144

解析：當(dāng)n=2時(shí)k=1=(I)；

當(dāng)n=3時(shí),k=2;

當(dāng)n=4時(shí),fc=3+l=4=22=圖;

當(dāng)n=5時(shí)，有|1,5},{2,5},|3,5},|4,5|,|2,4|,{3,4|六種取法,則k=4+2=6;

當(dāng)n=6當(dāng)有{1,6|,億6},{3,6},{4,6},|5,6|,|2,5|,|3,5|,|4,5|,|3,4|九種取法，則k=5+3+1=9=3?/

依此類推，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，k=(n-l)+(n-3)+…+5+3+1=管丫，

,當(dāng)n=24時(shí)，k=(y)2=144.

6.B;4

解析：卡片B（即標(biāo)注字母B的卡片，下同）與卡片c肯定有一張為白1（即寫有數(shù)字1的白色卡片，下同），

若卡片C為白1,則左邊不可能有2張灰卡片，

二白1為標(biāo)注字母B的卡片，

，灰1為標(biāo)注字母A的卡片；

二卡片C與卡片c肯定有一張為白2,若卡片c為白2,則卡片a,b只能是灰1,灰2,而卡片A為灰1,矛

盾，

??卡片C為白2;

卡片F(xiàn)與卡片c肯定有一張為白3,

畫樹狀圖如下：

開始

12345

小八A小八

52341534I254I235I234

共有20種等可能的結(jié)果，其中陰影部分形成的圖案是中心對(duì)稱圖形的結(jié)果數(shù)為4,

所以陰影部分形成的圖案是中心對(duì)稱圖形的概率=^=|.

若卡片F(xiàn)為白3,則卡片D,E只能是灰2,灰3,此時(shí)灰2在白2右邊，與規(guī)則②矛盾,

，卡片c為白3,

二卡片a為黑2,卡片b為黑3;

卡片F(xiàn)與卡片e肯定有一張為白4,

若卡片F(xiàn)為白4,則卡片D,E只能是灰

3,灰4,與卡片b為灰3矛盾，

，卡片e為白4,

，卡片d為灰4.

故答案為B;4.

7.B解析：第1個(gè)圖中有4個(gè)三角形，即4=3xl+l,

第2個(gè)圖中有7個(gè)三角形，即7=3x2+l,M3個(gè)圖中有10個(gè)三角形，即10=3x3+1,

按此規(guī)律排列下去，第n個(gè)圖中有(3n+l)個(gè)三角形，

則第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為3x674+1=2023.

8.B解析：第一幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為了；

第二幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為M+22=5;第三幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為12+22+32=14；

第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為I?+22+32+42+52+62=91.

9.B解析：由題中所給模型圖可知，

第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為4=lx2+2;

第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為6=2x2+2;

第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為8=3x2+2;

第4種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為10=4x2+2;

所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為2n+2,

當(dāng)n=10時(shí),2n+2=22.

即第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氯原子的個(gè)數(shù)為22

10.分析問題方案l:(n-l)d12k12(n-l)dk

方案2:案k-1)dn

方案3：y(2/c-l)nd

解決問題方案3鏟籽路徑總長最短；比較過程見解析：銷售員的操作方法使鏟籽路徑總長最短，減少了對(duì)菠

蘿的損耗

解析：分析問題

方案1:根據(jù)每行有n個(gè)籽，行上相鄰兩籽的間距為d、

，每行鏟的路徑長為(n-l)d.

???每列有k個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，

，有2k行,即共鏟2k行.

，鏟除全部籽的路徑總長為2(n-l)dk.

方案2:根據(jù)每列有k個(gè)籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

，每列鏟的路徑長為(k-l)d,

?:每行有n個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，

.?有2n列，

，縱向鏟除全部籽的路徑總長為2(k-l)dn.

方案3:由題圖4得斜著鏟時(shí)路徑上每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為專貯=等.沿著斜著鏟籽的路徑展開菠蘿側(cè)

面，

由每行有n個(gè)籽可知，

斜著鏟除全部籽所需路徑為n條線段，由共有2k行可知每條線段長為中(2k-l)d,

，斜著鏟除全部籽的路徑總長為f(2/c-l)nd.

解決問題

2(n-l)dk-2(k-l)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0,

」?方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

2(fc—l)dn—x(2/c—l)dn—[(2——2+dn,

/n>k>3/

*'?(2——2+fNslant(J2—V2)X3—2+=4—>0,

2(k—l)dn—，x(2/c-l)dn>0,

:方案2的路徑總長大于方案3的路徑總長.

:方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法使鏟籽路徑總長最短，減少了對(duì)菠蘿的損耗.

11.B解析:由題圖可知.

點(diǎn)A,的坐標(biāo)為(-2.2).

點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-2.4).

點(diǎn)人土的坐標(biāo)為口⑹.

所以點(diǎn)AL的坐標(biāo)為(-2.2n)(n為正整數(shù))，

當(dāng)n=506時(shí),

4n=2024,2n=1012,

所以點(diǎn)人2。24的坐標(biāo)