2025年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)：四邊形綜合解答題 提分練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：四邊形綜合解答題提分刷題練習(xí)題

i.給出定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊

形為勾股四邊形.

%------

/

E

(1)在你學(xué)過的四邊形中，寫出一種勾股四邊形的名稱.

(2)如圖,將448c繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△DBE,連接4。,DC,CE,已知NDCB=

30°.

①直接寫出NBCE的度數(shù)是.

②判斷四邊形BDCE是否為勾股四邊形，并說明理由.

2.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形2BCD中，點(diǎn)尸在上從A向8運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)。.

(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到4B上何處時(shí)，都有△力DQ三△4BQ；

⑵當(dāng)?shù)拿娣e是正方形ABCD面積的;時(shí)，求DQ的長(zhǎng)；

⑶若點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

到什么位置時(shí)，ANDQ恰為等腰三角形.

3.如圖，在AABC中，AB=5,BC=11,AABC的面積為22,4E1BC于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)4出發(fā)，沿折線48-8C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在48上的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，在BC上的速

度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，且不與點(diǎn)E重合時(shí)，將點(diǎn)E繞P4的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得

到點(diǎn)F,連結(jié)AF、PF、PE.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(t>0).

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F

⑵用含t的代數(shù)式表示四邊形4FPE的面積S.

⑶當(dāng)四邊形力FPE被直線4c分得的兩部分面積之比為1:3時(shí)，求t的值.

⑷當(dāng)直線CF垂直于△力BC的一邊所在的直線時(shí)，直接寫出t的值.

4.如圖1,在團(tuán)ABCD中，。是對(duì)角線北的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線EF分別與4。，BC交于點(diǎn)E,

F,將四邊形ABFE沿EF折疊得到四邊形MNFE,點(diǎn)M在4D上方，MN交線段CD于點(diǎn)連

圖I圖2

(1)求證：EM=FC；

⑵求證：OH1EF；

(3)如圖2,若MNJ.CD,Z.ABC=60°,BF=4+2百，F(xiàn)C=2,求OH的長(zhǎng).

5.如圖，在四邊形48CD中，點(diǎn)M、N分別在邊CD、BC上.連接力M、AN.

(1)如圖1,四邊形4BCD為正方形時(shí)，連結(jié)MN,且NM4V=45°,

①已知CM=6,CN=8,求MN的長(zhǎng)；

②已知DM:CM=3:2,求4B:BN的值；

⑵如圖2,四邊形力BCD為矩形，乙AMD=2乙BAN,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，AN=6,AM=8,

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求Z0的長(zhǎng)..

6.在團(tuán)ABC。中，M,N分別是的中點(diǎn)，連接ZN,CM.

(1)如圖①，求證：四邊形4VCM是平行四邊形；

(2)如圖②，連接MN,DN,若4AND=9。。,求證：MN=NC；

⑶如圖③，在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CE1MN于點(diǎn)E,交DN于點(diǎn)P,EP=1,且41=N2,

求4N的長(zhǎng).

7.己知：如圖,在四邊形48CD中，2D||BC,ZD=90°,AD=9cm,BC=25cm,CD=12cm,

連接AC,點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；同時(shí)，點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿C4方

向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s；過點(diǎn)E作EG14B交4B于點(diǎn)G,連接EF,當(dāng)一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，

另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(O<t<4).

⑴當(dāng)點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上時(shí)，求t的值；

(2)當(dāng)四邊形2GEF是矩形時(shí)，求t的值；

⑶設(shè)四邊形2GEF的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑷取CD的中點(diǎn)Q,是否存在某一時(shí)刻t,使得點(diǎn)E、F、Q在同一條直線上？若存在，請(qǐng)求出

t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.如圖，在正方形4BCD中，4B=4cm,點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)兒

B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度沿邊力B向終點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以2cm/s的速度沿邊BC向

終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接P。并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)連

接Q。并延長(zhǎng)交邊。力于點(diǎn)M連接PQ、QM、MN、NP,得到四邊形PQMN,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為x(s)(x>0),四邊形PQMN的面積為y(cm2).

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(1)BP的長(zhǎng)為cm,CM的長(zhǎng)為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

⑵求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶當(dāng)四邊形PQMN是軸對(duì)稱圖形時(shí)，求出尤的值.

9.已知：如圖1,矩形4BCD中4B=6,AD=12,。為邊AD上的一點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作NEOF=

45。，點(diǎn)E在折線段A-B-C上，點(diǎn)F在折線段8-C-。上，點(diǎn)、E、尸之間的距離稱為NEOF的

“截線長(zhǎng)”.

(1)如圖2,若點(diǎn)。與點(diǎn)力重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求NEOF的"截線長(zhǎng)”；

(2)若點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求此時(shí)NEOF的"截線長(zhǎng)"；

(3)若點(diǎn)。為4D的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，當(dāng)NEOF的"截線長(zhǎng)”為5時(shí)，求4E的長(zhǎng)度.

10.(1)問題發(fā)現(xiàn).

如圖1,在菱形力BCD中，AABC=120。，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接力E,將E4繞點(diǎn)E順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到EF,連接力F,DF.求N4DF的度數(shù).

(2)問題探究.

如圖2,在正方形48CD中，=6,點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接4E,將E2繞點(diǎn)E逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接力F,當(dāng)BE=2ED時(shí)，求BF的長(zhǎng)度；

(3)問題解決,

某科技公司現(xiàn)有一塊形如矩形力BCD的研發(fā)基地，如圖3,已知力B=200米，力。=200百米，

為了響應(yīng)國(guó)家"科教興國(guó)"戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴(kuò)大基地面積.擴(kuò)建方案如下：點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一

動(dòng)點(diǎn)，以4E為邊在4E右側(cè)作直角三角形2EF,滿足N4EF=90°,AFAE=60°,其中將△EDF

修建成新能源研發(fā)區(qū)，△2EF為試驗(yàn)區(qū)，為保證研發(fā)效果，要使研發(fā)區(qū)(即AEDF)的面積

最大，求此時(shí)試驗(yàn)區(qū)(即AAEF)的面積.

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11.【問題探究】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，同學(xué)們正在解決如下問題：

如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是邊DC,BC上的點(diǎn)，連接AE,DF,且4E1DF于點(diǎn)

G,若4B=6,BC=8,求f的值.

(1)請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由.

【初步運(yùn)用】

(2)如圖2,在4ABC中，ABAC=90°,旭=三，點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)力作4E1BD

AC4

于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,求黑的值.

BD

【靈活運(yùn)用】

(3)如圖3,在四邊形48CD中，/.BAD=90°,—=AB=BC,4。=CD,點(diǎn)E,尸分

AD4

別在邊AB,AD上，且DE1CF,垂足為G,則空=.

DE-

12.定義圖形

如圖1,在四邊形中，M、N分別是邊的中點(diǎn)，連接MN.若MN兩側(cè)的圖形面

積相等，則稱MN為四邊形ABCO的〃對(duì)中平分線〃

/I\/\/\ErK)'T

/\/\：\7\

I11/Mrt1I1

BNCBNCBNC

I

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提出問題

有對(duì)中平分線的四邊形具有怎樣的性質(zhì)呢？

分析問題

（1）如圖2,MN為四邊形4BCD的"對(duì)中平分線"，連接AN,DN,由〃為力D的

中點(diǎn)，知A4MN與ADMN的面積相等，則AD,BC有怎樣的位置關(guān)系呢?請(qǐng)說明理由.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，小明提出了下列三個(gè)命題，其中假命題的是（請(qǐng)把你認(rèn)為假

命題的序號(hào)都填上）

①若MNII4B,則四邊形4BCD是平行四邊形；

②若MN=2B,則四邊形48CD是菱形；

③若MN1BC,則四邊形4BCD是矩形.

深入探究

如圖3,四邊形4BCD有兩條對(duì)中平分線，分別是MN,EF,且相交于點(diǎn)。，若MN=EF.請(qǐng)

探索四邊形ABCD的形狀并說明理由.

13.綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以"折紙中的角"為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

【操作判斷】

（1）如圖1,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形4BCD對(duì)折，使點(diǎn)D與點(diǎn)、B重合，得到折痕AC.打

開后，再將正方形4BCD折疊，使得點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)P處，得到折痕GH,折痕GH

與折痕2C交于點(diǎn)Q.打開鋪平，連接PQ、PD、PH.若點(diǎn)P的位置恰好使得PHOTIC.

①4PDH=；

②求CQ的長(zhǎng)；

【探究提煉】

（2）如圖2,若（1）中的點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，求ADPQ的度數(shù).

【理解應(yīng)用】

（3）如圖3,某廣場(chǎng)上有一塊邊長(zhǎng)為40m的菱形草坪48CD,其中ZBCD=60°.現(xiàn)打算在

草坪中修建步道力C和MN-ND-DM,使得點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在力C上，且MN=ND.請(qǐng)問

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步道MN—ND—DM所圍成的AMND（步道寬度忽略不計(jì)）的面積是否存在最小值？若存在,

請(qǐng)直接寫出最小值；若不存在，說明理由.

14.某"數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時(shí)，對(duì)下面的圖形背景產(chǎn)生了濃厚的

興趣，并嘗試運(yùn)用由"特殊到一般"的思想進(jìn)行了探究：

如圖1,正方形4BCD中，點(diǎn)E為4B邊上一點(diǎn)，連接。E,過點(diǎn)E作EF1DE交BC邊于點(diǎn)F,

將AADE沿直線DE折疊后，點(diǎn)4落在點(diǎn)4處，當(dāng)NBEF=25。，則NFEA=

如圖2,連接。F,當(dāng)點(diǎn)&恰好落在DF上時(shí)，求證：AE=2A'F.

如圖3,若把正方形2BCD改成矩形4BCD,且2D=mAB,其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)力E與AF

之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出4E與4F之間的數(shù)量關(guān)系式.

圖3

15.（1）【問題情景】：如圖1,正方形力BCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），連

接E4.將瓦4繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接CF,求NFCD的度數(shù).以下是兩名同學(xué)通過

不同的方法構(gòu)造全等三角形來解決問題的思路：

①小聰：過點(diǎn)尸作BC的延長(zhǎng)線的垂線；

②小明：在4B上截取BM,使得BM=BE；

請(qǐng)你選擇其中一名同學(xué)的解題思路，寫出完整的解答過程.

（2）【類比探究】如圖2,點(diǎn)E是菱形4BCD的邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），乙ABC=

a（a>90。），連接瓦4.將R4繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到EF,連接CF,貝叱FCD的度數(shù)為

（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）【學(xué)以致用工如圖3,在（2）的條件下，連接力F,與CD相交于點(diǎn)G,當(dāng)a=120。時(shí)，

<=?樽的值?

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圖1圖2圖3

16.綜合與實(shí)踐

【提出問題】

由課本一道復(fù)習(xí)題，小明進(jìn)行改編探究：如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)B,C重合），過點(diǎn)E作EF1AE交正方形的外角NDCL的平分線于點(diǎn)F.求證：AE=

EF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊8C上時(shí)，小明的證明思路如下:

在84上截取8P=BE,連接EP.

貝IJ易得在AAPE和△ECF1中

-AP=EC

/.APE=乙ECF=135°

0AAPE=△ECF

團(tuán)4E=EF

請(qǐng)補(bǔ)全小明的證明思路，橫線處應(yīng)填.

【深入探究】

（2）如圖2,在（1）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)尸作FGII4E交直線CD于點(diǎn)G.以CG為斜邊向右作等

腰直角三角形HCG,點(diǎn)打在射線CF上.

①求證：FG=EF-,

②當(dāng)48=5,CE=2時(shí)，請(qǐng)求出線段DG的長(zhǎng).

17.已知，團(tuán)4BCD中，一動(dòng)點(diǎn)P在邊4。上，以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).

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（1）如圖①，運(yùn)動(dòng)過程中，若CP平分ABCD,且滿足CD=CP,求N&BC的度數(shù)；

⑵如圖②，在（1）問的條件下，連接BP并延長(zhǎng)，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接ZF,若AB=2cm,

求AAPF的面積；

（3）如圖③，另一動(dòng)點(diǎn)。在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動(dòng)，兩

個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)Q點(diǎn)也停止），若4。=12cm,則時(shí)間為

何值時(shí)，以P,D,Q,8四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形.

18.【提出問題】

如圖，在人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第18章平行四邊形的復(fù)習(xí)題中有這樣一道題：

求證：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的一.（此空不填）

小紅在探究該問題時(shí)從特殊的平行四邊形開始，請(qǐng)你跟隨小紅的思路，幫她完成下列問題：

【探究問題】（1）①在正方形4BCD中，設(shè)其邊長(zhǎng)為m則對(duì)角線和。的數(shù)量關(guān)系有：

AC2+BD2=_；

②在菱形48CD中，設(shè)其邊長(zhǎng)為a,則對(duì)角線和。的數(shù)量關(guān)系有：AC2+BD2=_；

③在矩形4BCD中，設(shè)4B=a,BC=6,則對(duì)角線和a,b的數(shù)量關(guān)系有：AC2+

BD2=_；

【解決問題】（2）如圖1,在國(guó)4BCD中，設(shè)4B=a,BC=b,猜想對(duì)角線4C,BD和a,b的

數(shù)量關(guān)系有：4C2+BD2一并證明你的結(jié)論；

【知識(shí)應(yīng)用】（3）如圖2,在四邊形4BCD中，AB=5,BC=9,CD=8,AD=6,^ADC=90°,

點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求AM的長(zhǎng).

圖I

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19.綜合與實(shí)踐

BD

⑴【知識(shí)感知】如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的:

①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是(只填序號(hào))；

(2)【概念理解】如圖2,在四邊形4BCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形48CD是垂美四

邊形嗎？請(qǐng)說明理由；

⑶【性質(zhì)探究】如圖L垂美四邊形4BCD的兩對(duì)角線交于點(diǎn)0,試探究48,CD,BC,AD

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想」

(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3,分別以RS4BC的直角邊4C和斜邊4B為邊向外作正方形4CFG和正

方形ABDE,連接CE,BG,GE已知力C=4,AB=5,貝ijGE長(zhǎng)為

20.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，平行四邊形48CD的頂點(diǎn)4(6,0),5(10,0),￡>(0,6),

矩形。BEF的頂點(diǎn)尸(0,2夜).

圖1圖2圖3

(1)如圖1,EF^AD,BC交于點(diǎn)G,H.

①直接寫出直線BC的解析式和點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②求證：四邊形4BHG為菱形；

⑵如圖2,將矩形。BEF沿水平方向向右平移，得到矩形?！瓸'E，。.點(diǎn)。，B,E,尸的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)分別為。'，B',E',F'.設(shè)。O'=t(t>0),矩形。'夕？/與平行四邊形4BCD重合部分圖

形的周長(zhǎng)為L(zhǎng).

①在平移過程中，當(dāng)矩形。'夕與平行四邊形力BCD重合部分為四邊形時(shí)，直接用含有t的

式子表示3并直接寫出t的取值范圍；

②如圖3,若F'。'的中點(diǎn)為M,矩形。'9對(duì)角線的交點(diǎn)為N,連接M4NB.在平移過

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程中，當(dāng)MA+NB最小時(shí)，直接寫出此時(shí)L的值.

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參考答案

1.(1)解：正方形、矩形、直角梯形均可，

故答案為：正方形、矩形、直角梯形均可；

(2)解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，4ABe34DBE,

團(tuán)=BE,

0ZCBE=60°,

團(tuán)△BCE是等邊三角形，

團(tuán)乙BCE=60°,

故答案為：60。；

②國(guó)ABCE是等邊三角形，

WC=CE,ABCE=60°,

0ZDCB=30°,

EIZDCF=90°,

在Rt△￡)(?￡?中，DC2+CE2=DE2,

即四邊形BDCE是勾股四邊形.

2.解：(1)

證明：在正方形4BCD中，AB=AD,ADAC=ABAC,

在△ADQ和AABQ中，

-AB=AD

Z.DAC=Z-BAC,

AQ=AQ

???△ADQ三△ZBQ(SAS)；

(2)

解：如圖，過點(diǎn)Q作QE14D于E,

?■?AADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1:6,

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1In

SAADQ=~X6QE=-X6,

解得QE=2,

???ADAC=-ABAD=45°,

2

???△4EQ是等腰直角三角形，

AE=EQ=2,

：.DE=AD-AE=6-24,

在RtADEQ中，DQ=JDE2+QE2=V42+22=2遮;

（3）當(dāng)AADQ為等腰三角形時(shí).

①如圖,Q4=QD時(shí)，此時(shí)。為正方形4BCD的中心，

此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合.

②如圖,4Q=4D時(shí),由等邊對(duì)等角得:乙4DQ=乙4QD.

???CQ=AC-AQ=6y/2-6

SAD||BC

回NCPQ=/-ADQ

回NCQP=/-AQD

回/CQP=乙CPQ

：.CP=CQ=642-6,

③如圖,=DQ時(shí)，

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此時(shí)C、P、。三點(diǎn)重合.

綜上所述：當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到P,8重合處，或在BC上，且CP=6位-6處，或C,P重合處時(shí)，XADQ

為等腰三角形

3.（1）解：0BC=11,AABC的面積為22,AE1BC,S^ABC=^BC-AE

SAE=（22X2）+11=4,

故答案為4；

（2）SAE1BC,AB=5,AE=4,

^\BE—3,

團(tuán)CE=BC-BE=ll-3=8,

SAC=-JAE2+EC2=V42+82=4V5,

回SAABE=-i4F=|x3x4=6,

回點(diǎn)P到達(dá)8點(diǎn)時(shí)間=|=1（秒），

點(diǎn)P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)間=1+|=|（秒）

點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)間=1+3=￡（秒）

①當(dāng)P在4B上（不含點(diǎn)A、B）運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)0<t<l,如圖1一1,

圖1-1

團(tuán)將點(diǎn)E繞P力的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到點(diǎn)F,

回。2=OP,OF=OE,

第14頁共53頁

團(tuán)四邊形ZEPF是平行四邊形，

團(tuán)FP=AE=4,FP||AE,

團(tuán)NFPA=Z.BAE,

RFR

團(tuán)sin4FPZ=sin^BAE=—=

AB5

^\AG-AP?sinzFPi4=5tx-=3t,

團(tuán)SguEP尸=FP?AG=12t,

②當(dāng)P在BE上(含點(diǎn)B)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)lWt<|,如圖1一2,

圖1-2

同理可得：四邊形2EPF是平行四邊形，

又EL4E1BE,

ElEMEPF是矩形，

SPE=3—2(t-1)=5—23

回S圖AEPF=PE?AE=4(5—2t)=-8t+20,

③當(dāng)P在EC■上(含點(diǎn)C)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)|<t<g如圖1一3,

圖1-3

同理可得：四邊形ZEPr是平行四邊形，

又團(tuán)/E1BE,

團(tuán)團(tuán)AEPF是矩形，

0PE=2(t-l)-3=2t-5,

回S圖ZEPF=PE?AE=4(2t-5)=8t—20,

12t(0<t<1)

-8t+20(1<t<j)

(8t-20((<t<y)

第15頁共53頁

(3)①當(dāng)P在AB上(不含點(diǎn)A、B)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)0<t<l,如圖2-1,延長(zhǎng)C4交FP于

點(diǎn)。，過點(diǎn)A作G41FP,垂足為G,

F

圖2-1

由（2）可得：AG=33

0PFIIAE,AE1BC,GA1FP,

回4G||BC,

=Z-GAP,Z-QAG=乙C,

Ap4AF41

團(tuán)團(tuán)tan/GAP=tanzB=——=tanZ-QAG=tanzC=—=-=

BE3yEC82

四邊形4EPF是平行四邊形，

413

團(tuán)GP=AGXSL\XZ-PAG=3tx-=4t,QG=AG,tanZ_Q4G=3t,-=—t,

回FQ=FP-QG-PG=4-4t-|t=4-yt,

回S"FQ=|"SG=|?（4—￡t>3t=|（4—￡t）t

當(dāng)四邊形力尸PE被直線ac分得的兩部分面積之比為1:3時(shí)，

艮RSAAFQ=-SaAEPF^ShAFQ--SBAEPF,

0—（4——t）t—~,12t或5（4——t）t=—,12t

解得：t=A（負(fù)值舍去），

②當(dāng)P在BE上（含點(diǎn)8）運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AC不分割四邊形4FPE；

③當(dāng)P在EC上（含點(diǎn)C）運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)|<tW蔡，如圖2-2,

圖2-2

回回力EPF是矩形,

第16頁共53頁

團(tuán)AF=EP=2t-S,CP=11-2(t-1)=13-23

團(tuán)PQ=PCtanzC=(13-2t)?|=

13—2t2t—5

國(guó)FQ=FP—PQ=4—,

x<22

團(tuán)S"FQ=9QSP=5?亨.(2t-5)=；(2t-5)2

pZZZ4

當(dāng)四邊形ZFPE被直線4C分得的兩部分面積之比為1:3時(shí)，

即

SAAFQ—~SBAEPF^,SAAFQ--S^AEPF,

卑(2t-5尸=i(8t-20)或：(2t-5/=|(8t—20),

解得：tl=￡I2不合題意舍去)，「3=￡(不合題意舍去)

綜上所述：t=g或t=￡四邊形4FPE被直線AC分得的兩部分面積之比為1:3.

(4)①當(dāng)P在48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)CF148時(shí)，垂足為K,如圖4—1所示，過點(diǎn)A作6M1FP,

垂足為G,

團(tuán)AG=3t,GP=4t,

444

團(tuán)KC=BC-sinzB=11x-=—,

55

312416

FK=PF?sin匕FPK=4x-=—,PK=PF?cos乙FPK=4x-=—

5555

團(tuán)FG=4-43AK=PK-AP=Y-5t,

在RtUKC中，AK2+KC2=AC2,

0(y)2+(Y-5t)2=(4V5)2

解得：t[=親t2=卷(AK小于0,不合題意舍去)，

②當(dāng)P在BE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖4-2,直線CF與4B、BC、4C所在直線的夾角不能為直角;

第17頁共53頁

圖4-1

③當(dāng)P在EC上運(yùn)動(dòng)時(shí),此時(shí)|<tW葭，如圖4-3,

圖4-3

當(dāng)CF1AB時(shí)，設(shè)4B與CF交于點(diǎn)M,ZM=90°,

333

?^BCcoszB=llx-=-,

AM=BM-AB^^--5=1,

回回4EPF是矩形，

0XFIIBC,AF=EP,

^\Z-MAF=Z.B,

AM8.38

SEP=AF

CQSZ-MAF5.53’

o17

團(tuán)BP=BE+EP=3+]=F

17?3

配=1+上+2="

36

當(dāng)CFIBC時(shí)，P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖所示：此時(shí)t=T，

綜上所述：當(dāng)直線CF垂直于△ABC的一邊所在的直線時(shí)，"卷或"g或t=f.

2562

4.(1)證明：???。是對(duì)角線AC的中點(diǎn),

第18頁共53頁

OA=OC,

??,四邊形ABC。是平行四邊形，

ADWBC,ABAD=/.BCD,

Z.EAO=Z.FCO,

在COF中，

\LEAO=乙FCO

OA=OC,

^AOE=Z.COF

??.△ZOE=△COF(ASA),

??.AE=FC,

,?,將四邊形ZBFE沿EF折疊得到四邊形MNFE,

??.EM=AE,

??.EM=FC；

(2)證明：延長(zhǎng)HM交FE的延長(zhǎng)線于K,延長(zhǎng)//。交石尸的延長(zhǎng)線于3如圖1,

?.?四邊形4BCD是平行四邊形,

?-?ADWBC,乙BAD=4BCD,

??.Z.AEF=乙CFE,

,??將四邊形沿EF折疊得到四邊形MNFE,

EM=AE,/.FEM=AAEF,乙BAD=LEMN,

???乙FEM=乙CFE,Z.EMN=乙BCD,

???180°-/.FEM=180°-乙CFE,BPzMEK=乙CFL,

同理4EMK=Z.FCL,

???EM=FC,

/.AEMK=AFCL(ASA),

AEK=FL,乙K=^L,

第19頁共53頁

??.HK=HL,

由(1)知：LAOECOF,

??.OE=OF,

??.OE+EK=OF+FL,即。K=03

???OH1EF；

(3)解：如圖2,過點(diǎn)H作“Q_LBC,交BC的延長(zhǎng)線于Q,過點(diǎn)。作。T，BC于T,連接F”,

/-ABC=60°,

???乙N=60°,乙HCQ=60°,

???MN1CD,

???乙CPF=乙NPH=30°,

???乙PFC=乙HCQ-乙CPF=30°,

???FC=2,

??.FP=2V3,CP=2,

NF=BF=4+2V3,

.?.PN=NF—FP=4,

在Rt^PN”中，

???(NPH=30°,

i

NH=-PN=2,

2

PH=y/PN2-NH2=V42-22=2V3,

CH=CP+PH=2+2V3,

???乙CHQ=90°-60°=30°,乙Q=90°,

CQ=,H=1+V3,

???HQ=ylCH2-CQ2=J(2+2舊尸-(1+VI)2=75+3,

?.?FQ=FC+CQ=2+1+V3=V3+3,

第20頁共53頁

■-FQ=HQ,

???△F”Q是等腰直角三角形,

乙HFQ=45°,FH=正HQ=V6+3vL

???4BFN=180°-乙PFC=150°,

」EFN=「EFB=NBFN=7S。,

???4HFO=4EFC-/-HFQ=180°-75°-45°=60°,

OH1EF,

：.AFOH=90°,4FHO=30°,

2(吟鳥亞竽但

???OH=y/FH2-OF2=(V6+3V2)-2=

.-,OH的長(zhǎng)為亞亨

5.(1)解：(1)①在正方力BCD中，ZC=90°,

在RtACMN中，ZC=90°,CM=6,CN=8,

???MN=VCW2+CM2=V82+62=10,

即MN的長(zhǎng)為10.

②如圖，延長(zhǎng)C8至點(diǎn)E,使=連接AE,

在正方形A8CD中，/.ABC=ZD=4BAD=90°,AB=AD,

在△ZBE和△ZDM中,

AB=AD

/.ABE=乙D,

、BE=DM

/.△ABE三△ADM(SAS),

??.AE=AM,2BAE=匕DAM,

???乙MAN=45°,

???乙BAN+Z-DAM=45°,

第21頁共53頁

???乙EAN=乙BAE+乙BAN=45°,即4EZN=乙MAN,

在AAEN和AAMN中，

'AE=AM

乙EAN=乙MAN，

、AN=AN

/.△AEN三△ZMN(SAS),

.?.EN=MN,

???DM-.CM=3:2,

設(shè)。M=3a,BN=b,貝!JCM=2a,AB=BC=5a,MN=EN=3a+b.

??.CN=BC-BN=5a-b,

在RtZkCMN中，CN2+CM2=MN2,

(5a—b)2+(2a)2=(3a+6)2,

???4a(5a—4b)=0,

aH0,

5a—4b=0,即川=4,

b

.?.AB:BN的值為4.

???Z.E=/-BAN,

在^CEN和△BAN中，

(乙E=乙BAN

"NE=乙BNA,

(CN=BN

CEN三△BAN(AAS),

??.EN=AN,

???乙AMD=2(BAN=2zE,

第22頁共53頁

Z-AMD=Z-E+Z-MAE,

.??乙E=/.MAE,

AM=EM,

vAN=6,AM=8,

.?.EN=AN=6,EM=AM=8,

設(shè)DM=%,則心=AM2-DM2=AE2-DE2,

即82—％2=122-(x+8)2,

解得：X=1,

AD=yjAM2-DM2=V82-l2=3?.

6.(1)證明：團(tuán)四邊形ZBCD是平行四邊形，

團(tuán)4。=BC.ADWBC,

團(tuán)M,N分別是的中點(diǎn)，

團(tuán)=CNfAM\\CN,

???四邊形ANCM是平行四邊形；

(2)證明：^AND=90°,M,N分別是的中點(diǎn)，

^IMN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

回MD=CN,

團(tuán)MN=NC；

(3)解：0M￡)=\AD=^BC=CN,MDWCN

0四邊形MNCD是平行四邊形，

由(2)知MN=NC

回四邊形MNCD是菱形，

0Z/VMC=乙DMC,DN1MC/DNM=乙DNC,

0Z1+乙DMC=Z1+4NMC=N2+乙ENC=90°,

0Z/VMC=乙MNC,

SMN=CN=MC,

回AMCN是等邊三角形，

S^MND=N2=N1=30°,

在RtANEP中，

第23頁共53頁

HEP=1,

NP=2EP=2,

回NE=7NP2一EP2=V3,

???MN=MC=2V3,

回四邊形AMCN是平行四邊形，

SAN=MC=2V3.

7.(1)解：過點(diǎn)尸作F”1BC于點(diǎn)“，如圖,

BEHC--AD=90°,AD=9cm,CD=12cm,

???AC=15cm,

???ADWBC,

???乙CAD=乙FCH,

???Z.D=乙CHF=90°,

???△ACD^△CFH,

日

A--D-=—AC，即n--9=—15，

CHCFCH3t

9

CH=^t,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段EC的垂直平分線上時(shí)，貝UCE=2CH,

即25-4t=2X/，

解得”~

3o

(2)解：當(dāng)四邊形2GEF是矩形時(shí),則EFII2B,

CEF~△CBA,

-

/.—CF=—CE,即prt——3t=-25--4-t，

CACB1525

解得t=-

(3)解：AD=9cm,AC—15cm,BC=25cm,

.AD_CA_3

''AC-CB~

第24頁共53頁

???Z-CAD=乙BCA,

ACD-△CBA,

??.Z.D=/LBAC=90°,

AB=<BC2-AC2=V252-152=20(cm),

EG1AB,

???EGWAC,

BGE?△BAC,

BGEGBEBGEG

——=——=——,n即n——=——=4—t,

BACABC201525

??.BG=yt(cm),EG=yt(cm),

FH=VCF2-CH2=J(3t)2_a)2=凈，

S=S“BC-SABEG-SACEF=|XB■XC--FG-|CE-FW=IX20X15-IXyt-

yt-|(25-4t)--1|t2-30t+150,

即S=—1|產(chǎn)一30t+150(0<t<4).

(4)解:過Q點(diǎn)作PQII40,與AC交于點(diǎn)P,如圖，則PQIIBC,

???Q是CD的中點(diǎn),

脛=絲=1,

PAQD

151Q

PC=PA=—cm,PQ=-AD=-cm,

2x22

.-.pp=CP-CF=—-3t,

2

當(dāng)E、F、Q三點(diǎn)共線時(shí)，

vPQWBC,

PQF?△CEF,

915

.?.吆=空,即3==，

CECF25-4t3t

整理得，8t2—791+125=0,

第25頁共53頁

解得t=型越空>4舍或t=生越竺，

1616

故存在某一時(shí)刻t=79-：步s時(shí),使得點(diǎn)E、F、Q在同一條直線上.

16

8.(1)解：(1)由題意得，AP=xcm,BQ=2xcm,

^\AB=4cm,

團(tuán)BP=AB-AP=(4—x)cm,

回四邊形4BCD是正方形，

比48||CD,

回NMC。=Z.PAO,Z.CMO=/-APO,

團(tuán)點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

團(tuán)C。=A0,

在△MC。和△PA。中，

2MC。=^PAO

乙CMO=Z.APO,

CO=AO

0AMCO三△PZO(AAS),

團(tuán)CM=AP=xcm,

故答案為：(4一%),%；

(2)根據(jù)題意，得：0<%<2,

團(tuán)四邊形ZBCO是正方形，

團(tuán)4。||BC,

團(tuán)NQC。=(NAO,乙CQO=乙ANO,

團(tuán)點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

團(tuán)C。=A0,

在aQC。和△NA。中，

第26頁共53頁

ZQCO=乙NAO

乙CQO=乙ANO,

CO=AO

回△QC。三△NAO(AAS),

團(tuán)CQ=AN,

團(tuán)四邊形ZBCD是正方形，

團(tuán)BC=AB=CD=AD=4cm,

團(tuán)BQ=2%cm,

團(tuán)CQ=BC-BQ=(4—2%)cm,

團(tuán)4N=(4—2%)cm,

回OM=CD-CM=(4—x)cm,DN=AD-AN=2%cm,

團(tuán)S—PN—|^4P?AN=~x(4—2%)=2x—x2；

22

S^CMQ=^CM-CQ=|x(4-2%)=2x-x；S^BPQ=^BP-BQ=|(4-x)-2x=4x-x；

S^DMN=|DM?DN=|(4—%)-2%=4%—x2,

22

團(tuán)y=S正方形ZBCQ—APN~S&CMQ一S&BPQ—SADMN=4—2(2x—x)—

2(4x—%2)=4%2—12%+16,

綜上，y=4產(chǎn)一12%+16(0<x<2)；

(3)0AMCO=△PAO,

回M。=PO,

[?]△QCO=△NAO,

團(tuán)Q。=NO,

團(tuán)四邊形PQMN是平行四邊形，

團(tuán)四邊形尸QMN是軸對(duì)稱圖形,

①當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí)，如圖，

第27頁共53頁

只需P。=Q。即可，

則此時(shí)只需PB=QB即可,

04—x=2x,

解得“=I；

②當(dāng)四邊形PQMN是菱形時(shí)，PQ=MQ,

團(tuán)(4一x)2+(2%)2=%2+(4—2x)2,

解得%=0(舍去)；

綜上，當(dāng)四邊形PQMN是軸對(duì)稱圖形時(shí)，久的值是土

9.解：(1)由題意可知，/.EOF=45°,0OEF=9O°,

甌OEF為等腰直角三角形，

0￡F=OE=AB=6；

即NEOF的“截線長(zhǎng)”為6；

團(tuán)aEMO為等腰直角三角形,

SEM=OM,

在R/HOBF中，AB=6,AD=12,

0OF=y/OB2+BF2=762+122=6函,

00￡MF=aOBF=9Oo,團(tuán)0戶3為公共角，

第28頁共53頁

mEMF^OBF,

FMEM

回n一=—，

BFOB

設(shè)EM=OM=x,則MF=6A/5-x,

團(tuán)-6-y/-5-X=X

126

解得，x=2^5,

0EM=OM=2V5,MF=4A/5,

在火煙EM/中，EM=2V5,MF=4A/5,

0EF=VFM2+MF2=J(2遮)2+(4遮7=10,

即NE。尸的〃截線長(zhǎng)〃為10；

(3)如圖，過點(diǎn)。作。G18C于點(diǎn)G,

團(tuán)四邊形A5G0是矩形，

團(tuán)48=6,AD=12,點(diǎn)。為AD的中點(diǎn)，

回。4=A8=6,

團(tuán)四邊形ABGO是正方形，

^AO=GO=BG,^AOG=^\BGO=90°

在GC上截取GH=AE,

在回。4E和團(tuán)OG"中，

OA=OG

△A=Z.OGH=90°,

AE=GH

^\OA^OGH9

^AOE=Z.GOH,OE=OH,

^AOG=90°,乙EOF=45°,

^AOE+Z.FOG=45°,

團(tuán)匕GO”+Z■尸。G=45。，

第29頁共53頁

0ZFOH=45°；

0ZFOH=乙EOF=45°

在ElOEf1和回。”/中，

0E=0H

乙EQF=4HOF=45°，

.OF=OF

^EOEF^OHF,

SEF=FH=5,

國(guó)FH=FG+GH=FG+AE=5；

設(shè)AE=x,則3E=6-x,FG=5-x,BF=BG-FG=6-(5-x)=尤+1,

在R/EIBEF中，由勾股定理可得，EF2=BE2+BF2,

052=(6-X)2+(X+1)2,

解得x=2,

0AE=2.

10.解：(1)?.?四邊形力BCD是菱形，ZXBC=120°,

AB=AD,/.BAD=乙ABD=60°,

由旋轉(zhuǎn)可知：AE=AF,Z.EAF=60°,

?-?/.BAD=EAF,

.?.AABE=AXDF(SAS),

???ZXDF=^ABD=60°；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作EG14。于G,

???四邊形4BCD是正方形，AB=6,BD是對(duì)角線,

BD=6vLZ.ADB=45°,AD=6,

又???NDGE=90。，

.?.△DGE是等腰直角三角形,

第30頁共53頁

???BD=6^2,BE=ZED,

DE=2V2,

DG=EG=2,

AG=6—2=4,

在Rt△AGE中，AE=>JAG2+EG2=V42+22=2后

區(qū)4繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,

.?.△E4F是等腰直角三角形，

AF=42AE=2V10,

在RtAABF中，AB=6,AF=2V10,

BF=7AF?-AB2=J(2V10)2-62=2；

(3)如圖3,過4作力MlBE于M,過點(diǎn)尸作FN1BD,交BD延長(zhǎng)線于N,

/-AME=乙FNE=90°,

??,四邊形48CD是矩形，AB=200米，AD=200百米,

Z.BAD=90°,

BD=2002+(200何2=400(米)，

BM=100(米)，

RtAAEF^,^AEF=90°,^FAE=60°,

?-?tan/FAE=—=tan60°=V3,AFAN+AAEM=90°,

AE

又NEAM+Z.AEM=90°,

???AEAM=乙FEN,

又???^AME=乙FNE=90°,

第31頁共53頁

???△AMEENF,

.EN_FN_EF_pz

,,AM-EM=AE="VJ,

設(shè)EM=久米，貝！|FN=V^c米，

???BD=400米,BM=100米，

???ED=400-100-x=(300-x)米，

SAEDF=|EDxFN=|(300-x)V3x=—/(%—150)2+11250V3,

當(dāng)尤=150時(shí)，△EOF面積最大，

此時(shí)EM=150米，AM=100百米，

AE=J1502+(100V3)2=50V21(米)，

???EF=y/3AE=150V7(米)，

?-?SMEF=|aExEF=IX50Vnx150V7=26250V3(平方米)，

即研發(fā)區(qū)的面積最大時(shí)試驗(yàn)區(qū)的面積為26250百平方米.

11.