2025年中考數(shù)學(xué)三輪高頻考點(diǎn)：二次函數(shù)中的線段最值與面積最值問題 沖刺練習(xí)

2025年中考數(shù)學(xué)三輪高頻考點(diǎn)

二次函數(shù)中的線段最值與面積最值問題沖刺練習(xí)

考點(diǎn)一：二次函數(shù)與線段最值問題

1.已知拋物線＞=12,直線＞=辰+1交拋物線于A,B兩點(diǎn)，設(shè)

如果是定值則求出該值;

（2）設(shè)直線與〉軸交于F點(diǎn)，求拋物線上的任意一點(diǎn)以工,%）到點(diǎn)F的最小距離;

（3）向+向是否為定值，如果是定值則求出該值；

⑷證明以線段旗為直徑的圓與直線y=-i相切.

2.如圖，P（2,"）是拋物線y=-；/+x+2上一點(diǎn).

⑵直線k3X+,”與y軸左側(cè)的拋物線交于A、3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)），PA、PB分別交y軸于點(diǎn)c、D,M

是拋物線與y軸的交點(diǎn).

①求線段AB的取值范圍;

②試問MC+MD的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.

3.如圖，二次函數(shù)，=-如2+2如+3的圖象與X軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)

為D其對稱軸與線段8c交于點(diǎn)E,與X軸交于點(diǎn)凡連接AC,BD,已知cotZACO=3.

⑴求m的值;

（2）求“或＞的正切值;

(3)若點(diǎn)尸在線段BD上，S.ZFPB=ZCAB,請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4.如圖，拋物線Z：y=V(x-")(x-〃+3)(常數(shù)">0)與x軸從左到右的交點(diǎn)為B.A,過線段0A的中點(diǎn)M作“戶_Lx軸,

交雙曲線>=：(左>0，x>0)于點(diǎn)P,且O4Mr=6.

(2)試探尋線段AB的長與"的關(guān)系；

(3)當(dāng)"=2時(shí)，求直線MP與L對稱軸之間的距離；

(4)把Z在直線UP左側(cè)部分的圖像(含與直線的交點(diǎn))記為G,用"表示圖像G最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

5.已知拋物線y=/2+云+C與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與>軸交于點(diǎn)C,直線y=-x-6經(jīng)過點(diǎn)A與

(2)點(diǎn)P在線段AC下方的拋物線上，過點(diǎn)P作BC的平行線交線段AC于點(diǎn)D,交>軸于點(diǎn)E.

①如果C、F兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，聯(lián)結(jié)DF,當(dāng)DF_LCF時(shí)，求NPDF的正切值；

②如果PD：QE=3：5,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.如圖，已知二次函數(shù)產(chǎn)次+&+C的圖像與X軸相交于A(-LO),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(o,3)

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若p是第一象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)H,與交于點(diǎn)M,連接PC.設(shè)點(diǎn)P的橫

坐標(biāo)為r.

①求線段P”的最大值；

②&網(wǎng)：5人"=1：2時(shí)，求r值；

7.如圖，拋物線>=--2仙-3與X軸交于4、B兩點(diǎn)(4在B的左邊)，與y軸交于C點(diǎn)，且。C=OB.

試卷第2頁，共6頁

匕匕匕

。BxQ染x\OBx

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖2,在線段BC下方的拋物線上存在一點(diǎn)。使產(chǎn)=2,AD與BC交于點(diǎn)E,求喘的值；

ED

(3)如圖3,在拋物線下方存在一點(diǎn)Fqw，連接FC、FB分別與拋物線交于點(diǎn)M、N,求直線與直線AC相交

所形成夾角中銳角的正切值.

考點(diǎn)二：二次函數(shù)與面積最值問題

8.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線，=-,+//0)與拋物線尸加(。>0)交于點(diǎn)A,B.

0O

圖1圖2

(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,9),求a,b的值；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若C是直線AB下方拋物線上一動點(diǎn)，求VABC的面積最大時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)D(T2),連接AD并延長交拋物線y="2(a>0)于點(diǎn)E,連接BD并延長交拋物線于點(diǎn)F,

連接EF.若對于任意b值020且6,)，總有抽〃￡尸，求。的值.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/+〃x+c的對稱軸是y軸，且經(jīng)過(0.0)和(L2)這兩個(gè)點(diǎn).直線

尸狂-4("<0)與該拋物線交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且與x軸、y軸分別交于C、。兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若AC=2CD,連接0AOB,求AAB。的面積；

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)上取某值時(shí)，AABP是等邊三角形.若存在，請求出此時(shí)人的值；若不存在,

請說明理由.

10.拋物線產(chǎn)扣2+(2,+3)工+產(chǎn)+3—4］與工軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè))，與＞軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,當(dāng)"0時(shí)，連接AC,BC,試判斷VMC的形狀，并求VABC的面積;

(2)如圖2,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M為B,C間拋物線上任意一點(diǎn)(點(diǎn)Af不與B,c重合)，直線分別交y軸

于E,F兩點(diǎn)，點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，是否存在固定的值，使CF=4CE成立，若存在求出，值，若不存在，請說

明理由.

H.拋物線，=燼+(2,+3)工+,+3-4］與工軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè))，與丫軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)r=0時(shí)，連接AC,BC,試判斷VMC的形狀，并求VMC的面積；

⑵在(1)的條件下，。為拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)。不與A,B,C三點(diǎn)重合)，且加2=2/ABC,求點(diǎn)2的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M為B,C之間拋物線上任意一點(diǎn)(點(diǎn)”不與B,C重合)，直線A?,MB分別交y軸

于E,F兩點(diǎn)，點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，是否存在固定的/值，使CF=4CE成立，若存在求出/值，若不存在，請說

明理由.

12.如圖，拋物線＞=a+i)2+方與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與＞軸相交于點(diǎn)c(o，-3).

(1)求拋物線的對稱軸及方值；

(2)拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P,使得厚+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)戶的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)”是拋物線上一動點(diǎn)，且在第三象限，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形的面積最大？求出四邊形麗B

的最大面積.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=1與拋物線＞=底相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在第一象限)，點(diǎn)C在AB

的延長線上.且BCi-AB("為正整數(shù)).過點(diǎn)B,C的拋物線3其頂點(diǎn)M在x軸上.

試卷第4頁，共6頁

(1)求A8的長；

(2)①當(dāng)”=1時(shí)，拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為二

②當(dāng)”=2時(shí).求拋物線Z.的函數(shù)表達(dá)式_；

(3)如圖2,拋物線E：y=a>/+3+j經(jīng)過8、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P.且。、B、P三點(diǎn)在同一直線上，

①求。，與〃的關(guān)系式；

②當(dāng)"=%時(shí)，設(shè)四邊形的面積既，當(dāng)，e時(shí)，設(shè)四邊形B4VC的面積s,(A,f為正整數(shù)，l<k<6,1<?<6),

若&=4S,,請直接寫出%y值.

14.如圖，拋物線丫=加+法過A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn)，點(diǎn)C、8關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點(diǎn)B作

直線軸，交x軸于點(diǎn)

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；

(3)若點(diǎn)M在直線8月上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，是否存在以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角

形？若存在，求出其值；若不存在，請說明理由.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與X軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A的拋物線y=o?+fcx與直線

(2)如圖1,。為拋物線上位于直線旗上方的一動點(diǎn)(不與B、A重合)，過。作2PU軸，交X軸于P,連接A2,

M為A。中點(diǎn)，連接過M作腦交直線AB于N,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0,求枕與r的

函數(shù)關(guān)系式；在此條件下，如圖2,連接QV并延長，交y軸于E,連接AE,求f為何值時(shí)，MNHAE.

（3）如圖3,將直線的繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15度交拋物線對稱軸于點(diǎn)C,點(diǎn)T為線段0A上的一動點(diǎn)（不與0、

A重合），以點(diǎn)。為圓心、以。7為半徑的圓弧與線段。c交于點(diǎn)。，以點(diǎn)A為圓心、以AT為半徑的圓弧與線段AC

交于點(diǎn)F,連接。尸.在點(diǎn)7運(yùn)動的過程中，四邊形。的面積有最大值還是有最小值？請求出該值.

試卷第6頁，共6頁

《2025年中考數(shù)學(xué)三輪高頻考點(diǎn)二次函數(shù)中的線段最值與面積最值問題沖刺練習(xí)》參考答案

L(1)是定值，V2=~4,

(2)1

(3)是定值，1

(4)見詳解

【分析】(1)聯(lián)立函數(shù)解析式，得到一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出尸尸，利用二次函數(shù)求值即可；

(3)求出|臂=乂+1，]跖屋+1,推出向+點(diǎn),結(jié)合⑴中結(jié)論，進(jìn)行求解即可；

(4)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到圓心的坐標(biāo)E傻,進(jìn)而得到圓心到直線y=-l的距離d為叢產(chǎn)+1,求出線段AB

的長，判斷"與竽的關(guān)系，即可得證.

【詳解】(1)解：是定值.

聯(lián)立：尸/，則h+l=%2,化簡得/_4丘-4=0,

y=Ax+l

...％+/=4女,xxx2—-4,

??.%%=卜;卜[3卜如%)2=i，

/.XjX2=-4,y%=1;

(2)解：???直線》=履+1與y軸交于尸點(diǎn),

尸(o,i),

*.*拋物線上的任意一點(diǎn)尸(%，%)

??%=W

則P尸=(0+%)2+(1-%)2

224

=x0+l-ix0+^x0

,1214

=1+/+記X。

令十="(a20),貝UPF，=1+：。+]/=[("+4)22^x4°=1,

拋物線上的任意一點(diǎn)Pa，%)到點(diǎn)F的最小距離為1;

(3)解：是定值，

Vb(0,1),且y=%2,

，|叫=J%：+(1_yJ=J4yJ+0_yj2=%+i,

同理：忸刊=舊+y)2=網(wǎng)；+0_%『=%+1,

.二-+'=，+，

**\AF\\BF\%+1y2+l

；%+1+。+1

(%+1)(%+1)

=%+。+2

%+1+%+%%'

答案第1頁，共28頁

由(1)知："2=1,

?.?原式=共1"

???山+看是定值，定值為1;

(4)解：???線段AB為直徑，

???圓心的坐標(biāo)為：(七三，"&),

圓心到直線y=-i的距離/為且產(chǎn)+1,

%+%=：#+：其=：［(為+三)~-2占三］=：(16〃+8)=4/+2,

.?.d=%；以2.+1=2白+2,

AB=J(4一乂)2+(二一石)2,

由(1)知：芯+%2=4氏，%%2=—4,

（%2_玉）2=（玉+%2）2-4芯％2=16左2+16,

（為一%）2=（；考—=^（玉+”2）2（%一電）？=\X16女2*（16左之+16）=42x（16出之+16）,

AB=?2X（16〃+16）+（16左2+16）=J16,2+1）2=4（左2+1）,

?/AB

?,d=~2'

???圓心到直線的距離等于半徑，

???以線段融為直徑的圓與直線尸-1相切.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理，切

線的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

2.(1)2

(2)①0<AB<4而；②是，4

【分析】(1)直接把P(2,0)代入拋物線y=［x2+x+2即可得到答案；

(2)①由直線y=3x+",與y軸左側(cè)的拋物線交于A、8兩點(diǎn)，當(dāng)x=o時(shí)，>=(可得”>2,聯(lián)立解析式可得

x2+4x+2m-4=0,此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求解，”<4,可得2<加<4,解方程可得從卜2+J8-2,",9-6+348-2,”),

B卜2-g疝.-6-3反赤)，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理可得答案；

②設(shè)直線以為k。+九求解直線尸A解析式為：產(chǎn)"plEx+g履直線網(wǎng)解析式為：>=2±摩空工_@而，

可得點(diǎn)々0,際而)，點(diǎn)D(OL用礪)，進(jìn)一步可得答案.

【詳解】(1)解:把點(diǎn)P(2,")代入y=-；*+x+2,

得R=—白2?+2+2=2

(2)解：①；拋物線y=-g/+x+2與y軸的交點(diǎn)為“(0,2)

且直線y=3x+，相與y軸左側(cè)的拋物線交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)x=o時(shí)，"明

:.m>2,

答案第2頁，共28頁

y=3x+m

由y=-—x2+x+2f

12

整理得：x2+4x+2wi-4=0,

此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

，A=42-4（2W-4）>0,

解得：m<4,

2<m<4,

=

X|=—2+，8—2mJ%2-2-，8-2m

???解方程得：

%=m-6+3\/S—2ni'Iy2=m—6-3j8-2祖

???點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)

A（-2+J8-6+3>/8-2m）,5（—2—>/8—2m,m—6—3,8—2m）

AB=J（2>/8-2w）2+（6V8-2?z）2=4,20-5加,

.-.0<AB<4^0

②由①知直線y=3%+也與y軸左側(cè)的拋物線y=-；%2+%+2交于AJ+A/T虧，帆-6+3場F）,

B^—2—y]8—2tn,m—6—3y/S—2m）兩點(diǎn)

又?.?點(diǎn)尸（2,2）,

設(shè)直線以為丁=勿十九

'2e+f=2

12+J8-2m）e+f=~-6+3J8-2m

2—\[S—2m

e=----------

解得:2

f=>JS-2m

，直線叢解析式為：y=士警Lx+用茄,,

同理可得：直線網(wǎng)解析式為：、=2+亭赤.昕總

同理可得：點(diǎn)C（0,癢石），點(diǎn)D（0.-斥訴）,

又?拋物線產(chǎn)」/+x+2與>軸的交點(diǎn)”（0,2）

.?.MC+MD=（2-J8-2勿）+（2+j8-2司=4為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法以及根的判別式的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，求

解一次函數(shù)的解析式，本題的計(jì)算量大，細(xì)心的計(jì)算是解本題的關(guān)鍵.

3.（1）^=1

（2）tanZCBD=i

（3）嗚4

【分析】（1）由題意易得點(diǎn)C（0,3）,則有。A，OC=1,即A（-LO）,然后代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；

（2）連接8,由（1）可知二次函數(shù)解析式為y=-f+2x+3,則有B（3,0）,D（l,4）,然后可得BC=3在€?="8。=2布,

進(jìn)而問題可求解；

（3）分別過點(diǎn)尸作PG_LOB于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FHLPB于點(diǎn)H,由（1）（2）可知DF=4,BF=2,BD=26,tan/CAB=^=3,

答案第3頁，共28頁

然后可得sinNFBD=/=竺.tanNFBD=1^=2,FH=空棄=挈，進(jìn)而根據(jù)解直角三角形可進(jìn)行求解.

BD5BFBD5

【詳解】（1）解：由題意可令x=0,代入二次函數(shù)y=T研,+2如+3得：產(chǎn)3,

C（0,3）,

nr

cotZACO=3,BPcotZACO==3,

OA=-OC=1,

3

.?.A（-1,O）,

/,—2m+3=0,

解得：m=l,

由（1）可知二次函數(shù)解析式為"-爐+2%+3=-（%-1）2+4,

.??頂點(diǎn)。（1,4）,

當(dāng)>=。時(shí)，則-%2+2%+3=0,

解得：=-l,x2=3,

區(qū)（3，。），

C（0,3）,

BC=-J（3-0）2+（0-3）2=3>/2,BD=,J（3-1）2+（0-4）2=2>/5,CD=^（l-O）2+（4-3）2=>/2,

222

BC+CD=20=BDf

：.△友力是直角三角形，即48=90。,

tanZCBD=—=-?

BC3'

（3）解：分別過點(diǎn)尸作PG_LO3于點(diǎn)G,過點(diǎn)/作FH_LPB于點(diǎn)H,如圖所示:

由（1）（2）可知=4,5尸=2,50=2百，tanZC4B=—=3,

?■/口尸_2如*/mn_DF“BFDF_4下

??sinNFBD=-----=------,tunNFBD=-----=2,FH=-----------=------,

BD5BFBD5

*.*ZFPB=NCAB,

答案第4頁，共28頁

tanZFPB=tanZ.CAB=3,

:.PH=FH=迫網(wǎng)=FH=撞

tanZFPB15tanZFBP5

BP=BH+PH=—,

3

PG=BPsinZFBD=-,BG=———=-,

3tanZFBD3

7

I.OG=OB-BG=-f

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合及解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題

的關(guān)鍵.

4.⑴左=3

(2)線段的長與"無關(guān)，為定值3

(3)|

(2〃-36n—n2

(4)圖像G的最iWi點(diǎn)為(2句或1萬，8

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)P(￡y),只要求出孫即可解決問題;

(2)先求出A、B坐標(biāo)，利用A、B坐標(biāo)求出AB的長即可；

(3)把”=2代入拋物線解析式，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出拋物線的對稱軸為直線x=匚/三，點(diǎn)M的坐

標(biāo)為。，0),即可求出結(jié)果；

(4)根據(jù)對稱軸的位置即可判斷，當(dāng)對稱軸在直線“P左側(cè)，L的頂點(diǎn)就是最高點(diǎn)，當(dāng)對稱軸在"P右側(cè)，L

與“戶的父點(diǎn)就是最局點(diǎn).

【詳解】(1)解：設(shè)點(diǎn)P(x，y),則MP=y,由0A的中點(diǎn)為M可知OA=2x,代入0AMp=6,

得到2">=6,即到=3,

.?.女=孫=3；

(2)解：把"。代入y=(尤-〃)(%-八+3)得：

0=——(^x——n,

解得：石=〃，x2=n-3f

???"0,A在點(diǎn)3的右側(cè)，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(4。)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為：(?-3,0),

AB=〃—(％—3)=3,

；?線段AB的長與"無關(guān)，為定值3;

(3)解：當(dāng)九=2時(shí)，令y=。，。=-3(尢-2)(%-2+3),

解得：％=2或％=-1,

???點(diǎn)3在點(diǎn)A左邊，

AB(-l,0),A(2,0),

??Z是對稱軸為直線％=與號，且M為(1,0),

答案第5頁，共28頁

MP與L對稱軸的距離為l—g=g；

（4）解：根據(jù)解析（2）可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（〃,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為：（，-3,0）,

???￡的對稱軸為直線>紀(jì)尸=手，叱可，

把尤=^^代入>=一；（％一〃）（％一〃+3）得：y=|

ZZo

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（等，]，

把尤=2代入產(chǎn)一；（'一"）（'一"+3）得：y=，2，

ZZo

拋物線與破的交點(diǎn)坐標(biāo)為：

當(dāng)笄美，即“V3時(shí)，對稱軸在直線MP左側(cè)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)仔展號為圖像G最高點(diǎn);

ZZIN，

當(dāng)2"3>5,即〃>3時(shí)，對稱軸在直線“尸右側(cè)，乙與MP的交點(diǎn)（日，生就是G的最高點(diǎn)；

ZZIZoI

綜上分析可知，圖像G的最高點(diǎn)為

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖形信息解決問題,

學(xué)會用方程的思想思考問題，考慮問題要全面，屬于中考?？碱}型.

5.（l）y=^x2+2x-6

（2）①（②卜吟）

【分析】（1）先由一次函數(shù)求出A（FO）,C（FO）,再運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，即可作答.

（2）①依題意，得DF_LCF,PE||BC,ZPDF=ZACB,根據(jù)角的等量代換，即=先求出點(diǎn)8的坐標(biāo).NPDF

的正切值等于

（JC63

②先表達(dá)出d*p2-p-6）,尸+石N=[p2-；p,EM=-3p再根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)與判定，列式化簡計(jì)算，即可作答.

【詳解】（1）解：：直線產(chǎn)T-6經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)C

貝!J當(dāng)％=0，y=；y=o，x=-6

A（-6,0）,C（-6,0）

.卜=-6,

*'[0=18-6^+c,

解得仁6

12

y=-x+2%—6?

2，

（2）解：①如圖:

*/A（-6,0）,C（-6,0）,且C、夕兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=g%2+2%—6的對稱軸對稱，

__b____2___2

X

yF=yc=-^,~2a~2xl-

2

則%F=-4

答案第6頁，共28頁

DF.LCF

：.0尸〃y軸

則NFDC=NOC4

:過點(diǎn)尸作的平行線交線段AC于點(diǎn)D,交>軸于點(diǎn)E.

PE\\BC,/PDF=ZACB

貝（jN尸DF=NOC5

???丁=白2+2%―6無軸交于43兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,

I.0=-X2+2X-6

2

?,?％=—6,x=2

B（2,0）

NPDF=NOCB

則4DF的正切值等于tan“CB=M='；；

OCo3

②設(shè)戶（。1/+2。-6）,BC的解析式為y=，"x+〃

.?.把C（0,-6）,2（20）代入y=?:+”

得II

‘寸［0=2m+n

解得｛n=-6

m=3

???過點(diǎn)p作5c的平行線交線段AC于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E

???設(shè)依的解析式為y=3x+b

把《，,，2+2。-6］代入"3%+方

得6=gp2_p_6

y=3x+-^p2—p—6

令元=0,y=gp2_p_6

即E（0,1-p-6］

y=-x-6

y=3x+^p2—p—6

解得X=-1p2+；P

O4

貝!J把x=_*2+；p代入y=3x+1p2_p_6

o4Z

y=＞p_6

得o一；4

答案第7頁，共28頁

?/1211211

-?Dl-8P+了"/-/刃

:過點(diǎn)尸作P"Lv軸，過點(diǎn)。作ON_Ly軸,

△EDNSAEPM

.EN_DE

?'~EM~~EP

*.*PD:DE=3:5

EN：EM=5X

*.*E(0,gp2_p_6),0(_：p2+；p,：p2_：p_6),尸(p,gp2+2p—6)

EN=gp2-p-6-[p2-；p-6)=|p2_：p,EM=^p2-p-6-^p2+2p-6^=-3p

33

：,-p2--p^-3p=5：S

解得Pi=O'Pi=-3

???點(diǎn)尸在線段AC下方的拋物線上，

AA=O(舍去)

P=-3.

把〃=-3代入V=1+2〃一6

,點(diǎn)尸的坐標(biāo)13,同

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，綜合性

強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

6.(1?=-爐+2]+3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)

(2)①(；②；

【分析】(1)將A、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)代入丁=湛+"+。中得一個(gè)三元一次方程組，解這個(gè)方程組求出〃、b、c

的值即可得二次函數(shù)的表達(dá)式，再將一般式化成頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)①設(shè)直線5。的表達(dá)式為y=s+"Swo),將3、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入"如+"中求得相、〃的值，即可知5。的

表達(dá)式.由尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-*+2.+3),M點(diǎn)的坐標(biāo)為QT+3),用含有/的代數(shù)式表示

出尸M的長，再求出最大值即可.

②用含有/的代數(shù)式表示出和PM的長，由△心”和等高，且％PBM：%MHB=1：2,可得=即可求出

力的值.

【詳解】(1)(1)將4-1,0),5(3,0),。(0,3)代入丁=加+云+°,得：

答案第8頁，共28頁

a-b+c=O

<9。+3b+c=0,

c=3

a=-\

解得:'b=2，

c=3

二次函數(shù)的表達(dá)式為k*+2x+3.

?/y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

(2)①設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=m+"g*o),

將B(3,O),C(O,3)代入>=皿+",得:

[3m+n=0

[n=39

解得:t1-

???直線BC的表達(dá)式為y=-%+3.

???點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為《0々<3),

:.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(￡,-產(chǎn)+2/+3)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為CT+3),

.?.9=一產(chǎn)+2，+3-(一/+3)=-*+3/=-,一|)+(,

線段尸M的最大值為1.

②;點(diǎn)尸的坐標(biāo)為-產(chǎn)+2%+3),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(兀T+3),

???點(diǎn)”的坐標(biāo)為G。)，

PM=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,MH=-t+3.

■:小PBM不口公MHB9S^PBMS/^MHB=1：2,

:.MH=2PM,即一方+3=—2/+6,，

解得：4=；以=3(不合題意，舍去)，

二當(dāng)5—：顯由=1：2時(shí)，r的值為已

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大.熟練掌握用

待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵.

7.(l)y=x2-2x-3

(2)2

⑶2

【分析】(1)根據(jù)。B=OC,得到B點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)過點(diǎn)B作MBIIAD交y軸于點(diǎn)V,設(shè)直線AD表達(dá)式中的表達(dá)式為>=辰+&,求得/W的表達(dá)式為y=4+1),表

示出點(diǎn)以。㈤，同理得到點(diǎn)跖?！?儲根據(jù)產(chǎn)=2,解出鼠進(jìn)而求出D,E的坐標(biāo)，即可得到答案；

°AADC

(3)求出c尸表達(dá)式，從而得到V、N點(diǎn)坐標(biāo)求出直線表達(dá)式，過點(diǎn)C作CD〃MV,交工軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作

答案第9頁，共28頁

AHVCD,ZACH即為兩條直線的夾角，求出直線8的解析式，進(jìn)而得到。點(diǎn)坐標(biāo)，等積法求出4/的長，勾股

定理得到S的長，利用正切的定義，進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴解:由拋物線的表達(dá)式知，OC=3=OB,即點(diǎn)B（3,0）,

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=9a-6a-3,

解得a=l，

二拋物線的表達(dá)式為>=/-次-3;

（2）解：Vy=x2-2x-3,當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，X2-2X-3=0,解得：4=3,受=-1,

A（-1,O）,

設(shè)某直線的表達(dá)式為y=h+",直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)為：&，%），（%，%）,

則吐〉整理得:心號①，

該直線的表達(dá)式我們也可表示為：尸②.

過點(diǎn)B作交丫軸于點(diǎn)M,設(shè)直線AD交丫軸于點(diǎn)H,

設(shè)直線AD表達(dá)式中的表達(dá)式為尸丘+心

由②知，AD的表達(dá)式為廣總+1）,則點(diǎn)切。陽，

同理，直線3M的表達(dá)式為，=小-3）,則點(diǎn)M（0,-3Q,

s

?.?△ABD和AADC是同底均為AD,且p迺=2,

MH=2CH,即-3左-左=2（左+3）,解得左=—1,

故直線AD的表達(dá)式為尸《+1）=-%-1,

由點(diǎn)C、3的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為丁=%-3,

聯(lián)立上述兩式得：x-3=-x-\,解得％=1,

當(dāng)％=1時(shí)，y=x-3=-2,

即點(diǎn)*2）；

聯(lián)立直線短和拋物線的解析式，得：｛；:；二：_3,解得：｛[I或

AD（2,-3）;

AE=7（1+1）2+22=2y/2,DE=^/（2-1）2+（3-2）2=>/2,

?AE25/2

..DE五7=^=2;

（3）解：?.?點(diǎn)以3,0）、尸（|,?）,

答案第10頁，共28頁

n2n

則由①知，該直線的左值=七~7,

2

由②知，直線班的表達(dá)式為…（%-3）=-,+2〃③,

同理可得，直線b的表達(dá)式為產(chǎn)竽④，

由（1）知拋物線的表達(dá)式為y=--勿-3⑤,

x=-i(2?+3)

聯(lián)立③⑤并解得,3，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為?第，"招,

y=-(4/+24〃)

聯(lián)立③⑤，同理可得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（誓，“/+%+電）;

設(shè)直線”、N的表達(dá)式為產(chǎn)sx+，,

An2+24〃4n2+36〃+45i./2鹿+32〃+12、,

由①得：§=（：-)-(-----------)=1,

99

2〃+124n2+36〃+454n2+30〃+9

由②知，直線"N的表達(dá)式為y=%----------------=x+---------------

99

過點(diǎn)。作CD〃腦V,交％軸于點(diǎn)。，則直線CD的解析式為y=x-3,

當(dāng)y=o時(shí)，％=3,

0(3,0),

CD=V32+32=3>/2,A￡)=4,AC=Vl2+32=>/10

過點(diǎn)A作AH_LCD,

s“A8rn=2-ADOC=2-CDAH,

4x3=3"4H，

AH=242，

??CH=VAC2—AH2=5/2,

/.tanZACH=9=半=2,

CHV2

即：直線MN與直線AC相交所形成夾角中銳角的正切值為2.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，平行線的性質(zhì)，解直角三角

形，處理復(fù)雜數(shù)據(jù)是本題解題的關(guān)鍵.

8.（1）?=1,噢

（2）面積最大時(shí)點(diǎn)。卜；：

⑶

【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)分別代入直線與拋物線方程求得未知數(shù)即可;

答案第11頁，共28頁

（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求得點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)C到直線度距離最大時(shí)，三角形ABC的面積取得最大值，

將直線AB向下平移得到的解析式為廣-9+9+〃，與拋物線方程聯(lián)立，令A(yù)=0,解得k-霍，則平移得到的解

析式為尸即可求得面積最大時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)為「，專）；

（3）根據(jù)題意直接取6=0,此時(shí)直線AB的表達(dá)式為：尸-氐，將直線AB與拋物線進(jìn)行聯(lián)立求得點(diǎn)8坐標(biāo)，求

得直線助表達(dá)式為：產(chǎn)-2x,進(jìn)一步求得點(diǎn)尸坐標(biāo)為（子,北，同理，求得直線.表達(dá)式為：＞=（-2-冷）X-京，

\UCljI4a-乙）4?！猌

（"；）,將直線的與拋物線聯(lián)立，求得點(diǎn)E坐標(biāo)為：[品].產(chǎn)”],結(jié)合題意可得比例系數(shù)相等即可求得。.

【詳解】⑴解：將點(diǎn)4（-3,9）,代入直線＞=（*0）,得〃=與，

將點(diǎn)A（-3,9）代入丁=加（〃＞0）,得”=1,

故a=l,=y;

15

（2）解：聯(lián)立直線方程與拋物線方程，即，二一5?萬，

解得另一交點(diǎn)8的坐標(biāo)為：仁昌，

當(dāng)點(diǎn)C到直線的度距離最大時(shí)，三角形ABC的面積取得最大值，

將直線AB向下平移得到的解析式為》=-?+：+力，

15

與拋物線方程聯(lián)立得工三,+了，則/+白一3-/,=0,

i22

△=/_4ac=（g）-4xlx,￡—"=0,解得力=_詈，

則平移得到的解析式為尸-9+片-[=-9-J，

2216216

此時(shí)，交點(diǎn)C即為面積最大，點(diǎn)C坐標(biāo)為

a

（3）解：對于任意b值（/0且總有鉆〃EF,

則直接取。=0,

此時(shí)直線AB的表達(dá)式為：y=-1x,

將直線AB與拋物線進(jìn)行聯(lián)立，即尸弓。設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)，

[y=ax2

解得：A點(diǎn)坐標(biāo)為（-三，圭），點(diǎn)3坐標(biāo)為（。,0）,

設(shè)直線BD表達(dá)式為：y=mx+nf

將3,。兩點(diǎn)分別代入求得仁武〃，解得仁;

直線BD表達(dá)式為：＞=-2x,

將直線BD與拋物線聯(lián)立，

即憶:，解得點(diǎn)尸坐標(biāo)為信3），

同理，設(shè)直線AD為，=必+",將A,。兩點(diǎn)分別代入求得,

直線AD表達(dá)式為：y=12-擊〉-高，（。弓），

答案第12頁，共28頁

將直線AO與拋物線聯(lián)立，即'=(-2-力口一石三,

y=ax1

可化為.ax2+\2+---\x+---=0

」也"(4a-2)4a-2'

由一元二次方程的求根公式可得，該方程組的解為:

2a

經(jīng)化簡可得點(diǎn)￡坐標(biāo)為:

設(shè)直線石尸方程為：將石，尸兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得,

-74+16。-4(-7a+2)(a-2)-7a+2

直線用的比例系數(shù)為:

2a之—5a+2(2a-l)(a-2)2a-1

.AB//EF,

，直線AB與直線匹比例系數(shù)相等，即壬=[,解得。=：；且滿足上述成立.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)圍成面積最大、

一次函數(shù)的平移、判別式在函數(shù)中的意義、一次函數(shù)和二次函數(shù)交點(diǎn)的意義以及直線平行對應(yīng)的比例系數(shù)相

等，此題計(jì)算量較大，對計(jì)算的準(zhǔn)確性考驗(yàn)較高.尤其是第三小問考慮取特殊值和比例系數(shù)相等求解.

9.⑴y=2￡

⑵2

(3)存在，*=

【分析】(1)結(jié)合拋物線y=&+及+C的對稱軸是y軸，且經(jīng)過(0,0)和(1,2)這兩個(gè)點(diǎn).得出-1=0,b=o,c=0,a=2,

即可作答.

(2)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出。(0,-4),eg,0),結(jié)合反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，得出A(而例-4),B?,g-4),

證明W/sQ。，因?yàn)锳C=2CD,貝^=3*9，即中|，0),A(-2,4),建立方程組進(jìn)行計(jì)算，然后運(yùn)用割補(bǔ)法

歹!|式“IB。的面積=￡板,,進(jìn)行作答即可.

(3)設(shè)AB的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作ME_Ly軸，過點(diǎn)4作AF_L"E,聯(lián)立拋物線和直線得到2f-h+4=0,然后求出

/k-y/k2-32k2-ky/k2-32fk+yJk2-32k2+ky/k2-32kk2心u土山”/女八一

A—4—，——4----------，—D4—，——4---------------，小”9力+%=5-8,然后求出加叮彳-4}表示

出AF=,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到sin4PM=鬻=與然后證明出.AFM^MEP，得到黑=蕓=。,

4PM3MEPM3

代入求解即可.

【詳解】(1)解：：已知拋物線."江+"+c的對稱軸是y軸，且經(jīng)過(0.0)和(1,2)這兩個(gè)點(diǎn).

b

...-----=0,b=0,c=0

2a

y=ax2

把0,2)代入y

??2=izxI2

??Q=2

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2/.

答案第13頁，共28頁

（2）解：???直線產(chǎn)丘-4（左<o）與該拋物線交于A、5兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），且與1軸、y軸分別交于C、

。兩點(diǎn).

.?.當(dāng)％=。時(shí)，則y=-4

.?.0(0,-4)

?,?當(dāng)>=。時(shí)，則0=丘-4

,_4

**X~~k

則喉,0

設(shè)A&,g一4),B(X2,AXJ-4)

如圖：過點(diǎn)A作AH_Ly軸，連接AO,BO

,/AHLy,/COD=90。

...AH\\CO

I.^ADH^^CDO

,CDCO

…~DA~~AH

VAC=2CD

,CDCO\

',~DA~^H~3

VC（:可，，（與何-9

.2412

..三=3"石=不

itx--4=8

k

JAA

k

把《葭，8）代入

y=2x\解得女=-6（正值已舍去）

,A(-2,8)

y=-6x-4

y=2x2

解出％i=-2,x2=-l

5(-1,2)

VD(0,-4),A(—2,8),

AAB。的面積=S*-S,\BOD-S^O=\AHXDH-^OD^-^OH^AH

答案第14頁，共28頁

（3）解：如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為過點(diǎn)M作軸，過點(diǎn)人作■,腔

拋物線y=2/和直線y=kx-^k<0)

；?聯(lián)立得，

Iy=o-4

整理得，2x2-H+4=0

解得XJ士護(hù)電

4

._k->Jk2-32_k+y/k2-32

??4=-，A=-

代入產(chǎn)h-4得，〃=三_4,%=正孚HH_4

./k-y/k2-32k2-ky]k2-32(k+ylk2-32k2+k-Jk2-32

-4>A

,-kk

??XA+XB=

.k2

??力+%=5-4+/-4=^(xA+xs)-8=--8

???點(diǎn)W為AB的中點(diǎn)

2

.A.(kk八

F=e-k4^_je_y-k^iME」

4(4J44

??屋鉆尸是等邊三角形，點(diǎn)M為A3的中點(diǎn)

/.AB±PM,ZAPM=ZBPM=|ZAPB=30°

sinZAPM=—=—

PM3

ZF=ZAMP=90°

ZFAM+ZAMF=ZPME+ZAMF=90°

ZFAM=ZPME

又,:NF=ZMEP=90。

△AFMS￡J^EP

?AFAM_>J3

**PM-V

-kJ/_32

?4_G

n~=~

4

答案第15頁，共28頁

解得k=±粵

Vk<0

:.k-叵.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，求二次函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角函數(shù)，

相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

10.(l)VMC是直角三角形，5^=5

(2)存在固定的f值，「=0,使CF=4CE成立.理由見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識.

(1)當(dāng)時(shí)，首先可得出點(diǎn)A,8C的坐標(biāo)，利用勾股定理逆定理可得出VMC的形狀；

(2)首先求得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)，設(shè)直線AM的解析式為>=幻+4,直線的解析式為尸質(zhì)x+用，可得

CEW-g,+3-4),CF=；(產(chǎn)+3—4)f,將直線解析式代入拋物線解析式得出關(guān)于X的一元二次方程，利用根與系

數(shù)的關(guān)系可得4%=(產(chǎn)+3”4)-為①，/如=仔+3”4)-24②，結(jié)合B=4CE,可得出關(guān)于看的方程，解答即可得出結(jié)

論.

【詳解】⑴當(dāng)，=。時(shí)，拋物線解析式為y=*+3l),

令y=°,即有；(*+3x-4)=0,解得否=-4,%=1,

:點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，

令％=0,則有產(chǎn)-2,

.?.C(0-2).,

.?..=1一(y)=5.OC=2,AC?=仔+22=5,BO?=42+23=20,

.?.S=J_ABOC=4X5X2=5.

"8C22'

AB2=52=25,AC2+BC2=(l2+22)+(42+22)=25,

：.AB2=AC2+BC2,

「.△ABC直角三角形；

(2)存在固定的方值，使