二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（含解析）-2025年中考數(shù)學基礎知識分點練

第十一講二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

類型一線段問題(117考)重難

1.(2024德陽)如圖拋物線y=/一%。與x軸交于點.71(-1-0)和點B,與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當0<xW2時，求y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍；

(3)將拋物線的頂點向下平移:個單位長度得到點M,點P為拋物線的對稱軸上一動點，求P4+當PM的最小

45

值.

類型二面積問題(82考)重難

2.(2024揚州)如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)、B(l,0)兩點.

⑴求b、c的值；

⑵若點P在該二次函數(shù)的圖象上,且△P4B的面積為6,求點P的坐標.

3.(2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C其中4(-2,0),

C(。一2).

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點，目點P在第二象限，線段PC交x軸于點D,APDB的面積是△CDB的

面積的2倍，求點P的坐標.

第3題圖

4.（2024通遼）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-|x+3與x軸,y軸分別交于點C,D,拋物線y=-；

-2尸+fc（k為常數(shù)）經(jīng)過點D且交x軸于A,B兩點.

⑴求拋物線表示的函數(shù)解析式；

⑵若點P為拋物線的頂點，連接AD,DP,CP,求四邊形ACPD的面積.

類型三角度問題(27考)重難

5.(2024連云港)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx-l(a,b為常數(shù),(a>0).

⑴若拋物線與x軸交于A(-l,0),B(4,0)兩點,求拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)如圖，當b=1時，過點C(-l-a),。(1，a+2魚)分別作y軸的平行線，交拋物線于點M,N,連接MN,M

D.求證：MD平分Z.CMN;

(3)當a=1,6Wslant-2時，過直線y=%-1(1<%<3)上一點C作y軸的平行線，交拋物線于點H.若G

H的最大值為4,求b的值.

第5透圖

類型四特殊三角形判定問題(40考)重難

6.(2024遂寧)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象與x軸分別交于點A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點C

(0--3),P,Q為拋物線上的兩點.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)當P,C兩點關于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點Q的坐標；

(3)設P的橫坐標為m,Q的橫坐標為m+1,,試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值，若存在，請求出最

小值，若不存在，請說明理由.

類型五特殊四邊形判定問題（55考）重難

7.（2023重慶A卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y^ax2+bx+2過點（1,3）,且交x軸于點4（-1，0）,B

兩點，交y軸于點C.

（1）求拋物線的表達式；

⑵點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD回BC于點D,過點P作y軸的平行線交直線BC于點

E,求△PDE周長的最大值及此時點P的坐標；

（3）在（2）中△PDE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移四個單位長度，點M為平移后

的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點N，使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條

件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程.幾何畫板動態(tài)演示

類型六相似三角形判定問題（含全等）（15考）

8.（2024內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù).y=-2x+6的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,

拋物線y^-x2+bx+c經(jīng)過A.B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D,過點D作.DC回生軸于點C,交AB于點

E.

（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；

⑵是否存在點D,使得△BDE和△力CE相似?若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點D重合），過點F作x軸的垂線交AB于點G,連接DF,當四邊形E

GFD為菱形時，求點D的橫坐標.

1.解：(1)：拋物線y=——久+c與X軸交于點A(-l,0),；.l+l+c=0,

解得c=-2,

拋物線的解析式為y=/-久一2;

⑵-：y=x2-x-2的對稱軸為直線x=-熱=］而0<x<2,

函數(shù)最小值為y=1_|_2=_：,

當x=0時,y=-2,

當x=2時,y=4-2-2=0,

：.y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍為一JWyW0;

4

(3)解題思路

過點P構造直角三角形，將PA與遮PM聯(lián)系起來,再結合拋物線的對稱性及兩點之間線段最短求最值.

y=x2-x—2,

當.x=0時,y=-2,

???C(0,-2),

當y=x2—x—2=0時,

解得/=-l,x2=2,

???B(2,0),

???AB=3,

設直線AC的解析式為y=kx-2,

.\-k-2=0,

：.k=-2,

?,?直線AC的解析式為y=-2x-2,

??,拋物線的頂點向下平移9個單位長度得到點M,而頂點為。

4\24/

:當x=1時y=-2x|-2=-3,

；.M在直線AC上.

如解圖，過點P作PGXAC于點G,連接MB,過點P作PH_LMB于點H,連接AP,AH,

VA(-l,0),C(0,-2),

AC=V5,sinzXCO==y,

:對稱軸與y軸平行，

ZAMP=ZACO,

.-.sin乙4Mp,

PM5

PG=yPM,

由拋物線的對稱性可得PG=PH,/MAB=ZMBA,

PA+^-PM=PA+PG=PA+PH>slantAH,

當A,P,H三點共線時取等號，

sin^MAB=迫=三=正=sin^ABH=—,

i4CV55AB

.AH_2V5

??3—5，

AH=—,

5

即PA+gPM的最小值為等.

第1題解圖

2.解:⑴將點A(-2,0),B(l,0)代入y=-x2+bx+c得=”解得?=]

—1十。十C=U,C—L.

.*.b的值為-l,c的值為2;

(2)由⑴可得，二次函數(shù)的解析式為y=-/—%+2,設P(m,n),

???點P在二次函數(shù)的圖象上，

n=—m2—m+2.

VA(-2,0),B(l,0),

；.AB=3,

又「△PAB的面積為6,

x|n|=6,解得n=±4,

當n=4時，即-m2-m+2=4,化簡得m2+m+2=0,該方程無實數(shù)解，不符合題意；

22

當n=-4時，即—m—m+2=—4化簡得m+m—6=0,解得=2,m2=—3,

綜上所述，點P的坐標為Pi(2,-4)或P2(-3,-4).

易錯點撥

點P在二次函數(shù)圖象上，表示三角形面積時，高需要帶絕對值符號，分不同的情況討論.

3.解:⑴將A(-2,0),C(0,-2)代入y=/+版+c中，得｛4一?+；=。解得｛"=，

c=一乙,c=—Z.

二次函數(shù)的表達式為y=x2+x-2-,

(2)

解題思路

由題可知^PDB與ACDB是同底不等高三角形，將SgDB=2SACDB，轉化為以BD為底邊時，△PDB的高

是4CDB的高的2倍,即點P到x軸的距離是點C到x軸的距離的2倍，即可求出點P的坐標.

設P(m,n),

?.?點P在第二象限，

m<0,n>0.

依題意，得變些=2,1冷=2,

SxCDB-BDCO

—=2,

co

VCO=2,

An=2CO=4.

???p是二次函數(shù)圖象上的一點，目點P在第二象限，

22

m+m—2=幾即m+m—2=4,解得=-3,m2=2(舍去),

???點P的坐標為(-3,4).

4.解:⑴把y=0代入函數(shù)y=—|x+3中，得—|x+3=0,解得x=2,

，C(2,0),

把x=0代入函數(shù)y--|x+3中，得y=3,

???D(0,3),

V拋物線y=—久式—2￥+k(k為常數(shù))經(jīng)過點D,

-；x(0-2)2+/c=3,解得k=4,

..?拋物線表示的函數(shù)解析式為y=--2)2+4；

⑵???拋物線的函數(shù)解析式為=-i(x-2)2+4,

y4

頂點P的坐標為(2,4),

VC(2,0),

；.PC_Lx軸,PC=4,

如解圖，過點D作DEXPC于點E,則DE=2,

11

SACDP=-PC-DE=-x4x2=4;

把y=0代入函數(shù)y=-2尸+4中，得-［（久-2/+4=0,

角牟得%i=-2,X2=6,

???A(-2,0),B(6,0),

???AC=4,

???D(0,3),

/.DO=3,

ii

???S“CD=~AC-DO=-x4x3=6,

S四_邊形ACPD=S^ACD+SMDP=6+4=10.

5.⑴解:分別將點A(-l,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-l,

_1

［曰,CL—b—1=0,碗［曰ra4，

將｛16a+4b-1=0,用牛后與=_三

4，

???拋物線對應的函數(shù)表達式為y=：/-1;

44

Vb=l,

???y=ax2+%—1.

當x=-l時,y=a-2,即M(-l,a-2),當x=l時,y=a，即N(l,a).

VC(-l,a),N(l,a),

???CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM_LCN,

???在RtACMN中，MN=yJCM2+CN2=2企.

??.DN=a+2A/2—a=2V2,

ADN=MN,

ZNDM=ZNMD.

VDN//CM,

ZNDM=ZCMD,

JZNMD=ZCMD,

AMD平分NCMN;

(3)

解題思路

由題可得GH〃y軸，則點G,H的橫坐標相等，所以設出點G的坐標，即可表示出點H的坐標，再結合b的

取值范圍，確定點G與H的位置關系，即可用含參數(shù)的代數(shù)式表示線段GH的長，將其轉化為二次函數(shù)，對二次

函數(shù)對稱軸的范圍進行分類討論并求解.

解:設G(m,m-1),貝!]H(mfm2+bm—1),1<m<3.

當a=l時，y=x2+bx—1.

2

令x+bx-1=x-1,解得xr=0,x2=1—b.

Vb<-2,

x2=1—b>3,

???點G在H的上方（如解圖②）.

設GH=t,故t=—m2+（1—b）m,

其對稱軸為直線m=瞪,目y>slants

①當j<^<3時，即-5WbW-2.

畫出t關于m的二次函數(shù)圖象如解圖③，

由解圖③可知：

當爪時，t取得最大值小=4.

解得b=-3或b=5（舍去）：

②當一〉3時，即b<-5,

畫出t關于m的二次函數(shù)圖象如解圖④，

由解圖④可知：

當m=3時,t取得最大值-9+3-3b=4.

解得b=一胃（舍去）.

綜上所述，b的值為-3.

冊

6.解:⑴把人(-1,0)以3,0),(2(0,-3)代入y=ax2+bx+c,

a—b+c=0,a=1,

得｛9a+35+c=0,解得｛b=—2,

c=—3,c=—3.

???二次函數(shù)的表達式為y=/-2%-3;

(2)如解圖①，

由y=——2%一3彳導拋物線對稱軸為直線x=l,

VP,C兩點關于拋物線對稱軸對稱,C(0,-3),

???P(2,-3),

設Q(mfm2—2m—3),

VZOPQ=90°,

...0P2+pQ2=0Q2,

即[(0—2)2+(0+3)2]+[(2—m)2+(—3—m2+2m+3)2]

=(0—m)2-|-(o-m2+2m+3)2,

整理得3m2—8m+4=0,

解得恤=|,啊=2舍去)，

2

???m=

3

?.山(衿數(shù)

第6題解圖①

(3)存在，理由如下：由題知點P橫坐標為m,點Q橫坐標為m+1,則點P(m>m2-2m-3),則點Q(m+1,(m

+1)2-2(m+1)-3),,當點P在y軸左側,Q在y軸右側,如解圖②,設直線PQ交y軸于點H,

由點P,Q的坐標得，

直線PQ的表達式為：y-(2m—1)(%—m)+m2—2m—3,令x=0,則y=—m2—m—3,則OH=m2+m+

2m

3,S=S^OHQ+S&OHP—|OH(XQ-xP)=|(m+m+3)x1=|(+1)+昔，

-?-->0,

2

.?.當巾=-S存在最小值，S的最小值為2當點P,Q同時在y軸左側和當點P,Q同時在y軸右側方法

Zo

同上，經(jīng)驗證均不是仆OPQ面積的最小值.

..?綜上所述，S存在最小值為三

O

第6題解圖②

解題技巧

求面積最值：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值：設動點的橫坐標為m,用含m的代數(shù)式表示出所求圖形的面積，利用

二次函數(shù)的增減性求最值.

類題通法

當所求圖形不規(guī)則或者不易直接求解時，考慮通過分割法或者補形法將所求圖形面積轉化為其他規(guī)則圖形的面

積和差求解.

7.解:⑴將點(1,3),(-1,0)代入瞿勿線y=ax2+bx+2中,

得憶露上得;

..?該拋物線的函數(shù)表達式為y=—]/+|x+2；

(2)

解題思路

根據(jù)PD，BC,PE〃y軸推導出4PDEs^BOC,得出DE,PE,PD之間的關系是解題的關鍵.

當x=0時,y=2,

，C(0,2),

當y=0時.-|x2+|x+2=0,解得%]=一1,X2=4,

，B(4,0),

.?.OC=2,OB=4,BC=2V5

???直線BC過點B(4,0),C(0,2),

..?直線BC的函數(shù)表達式為y=-|x+2.

：PD_LBC,PE〃y軸，

ZPDE=ZBOC=90°,ZPED=ZBCO,

APDE^ABOC,

DE_PE_PD

''OC~BC~BOr

：.DE=—PE,PD=—PE.

5'5

設P(mf—|m2+|m+2^

貝!jE（m-—jm+2^（0<m<4）.

???PF=-|m2+|m+2-|m+2^=—|（m—2）2+2,?；一<0,

當m=2時，PE有最大值，最大值為2,

/.APDE周長的最大值為DE+PD+PE=^-PE+qPE+PE=等+2.

此時，點P的坐標為（2,3）;

（3）點N的坐標為（一|弓）或或（（|一誓）

由⑴得，原拋物線解析式為y=-號（X-1）2+葛將拋物線沿射線CB方向平移近個單位長度，即拋物線向

右平移2個單位長度，向下平移1個單位長度，易得平移后拋物線的解析式為y=-9—a?+?

Z\Zzo

：M在平移后拋物線的對稱軸上，設乂（1,t）,N（n,k）.

2

①當AP為對角線時，由題意得,MA=MP,即（1+I/+產(chǎn)=弓_2）+（t-3產(chǎn)解得t=—*

二nT,T即--|彳）；

②當AP為菱形的邊長時，若AP=PM,則（2+I）2+32=（2-1）2+（3-t）2解得t=3士亭

;n=1,/c=土季即N&乎）或N（|，-乎），若，AP=AM,則（2+I）2+32=（1+0+戶,無解.

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（-］，），弓手），（3—答）

類題通法

當所求圖形為菱形時，通常分兩定點構成的線段為菱形的邊長和為菱形的對角線兩種情況去分類討論.

8.解:⑴令y=0,則-2x+6=0解得x=3;

令x=0,解得y=6,

.*.A(3,0),B(0,6),

把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,

(b=1,

9+3b+c=。，解得lc=6.

c=6,

這條拋物線所對應的函數(shù)表達式為y=-/+%+6；

(2)存在點D坐標為(1,6)或(|，m),使得△BDE和△ACE相似.理由如下：

設點D(t--t2+t+6),則E(t,-2t+6),C(t,0)(0<t<3),

EC=-2t+6,AC=3-t,DE=-t2+3t,

VABDE和4ACE相似,NBED=NAEC,

AACE^ABDE或△ACEs/\D