費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)專題突破-2025年中考數(shù)學(xué)解析版

費(fèi)馬點(diǎn)與施權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)評X總年

知識點(diǎn)梳理

【希黑費(fèi)與點(diǎn)】

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

里三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

滿分?技巧/

知識點(diǎn)梳理

【雷加費(fèi)馬點(diǎn)】

【問題提出】如圖AABC所有的內(nèi)角都小于120度，在△力BC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接P4PB、PC,

當(dāng)PA+PB+PC的值最小時，求此時/力PB與/APC的度數(shù).

【問題處理】如圖1,將A4CP繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60度得到ATTCP,則A4CP絲A4CP',CP=CP,,AP=A,P,,

又；NPCP，=60°,.?.△PCP'是等邊三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC^P,A,+PB+PP,,

如圖2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P\4共線時，P4+PB+PC最小，最小值為力'B,此時/BPC=/4PC=/APB=

【問題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：

①對于一個各角不超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120。的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三

角形的等角中心；

@對于有一個角超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn).

【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3,連接44，，我們發(fā)現(xiàn)△4C4為等邊三角形，點(diǎn)P在4B上，同理，我們可以得到等邊

△及1月，點(diǎn)P也在CB，上，因此，我們可以以A4BC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的交

點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120°時）

【例1】如圖，在△4BC中，ZACB=9Q°，AB=AC=1,尸是△/3C內(nèi)一點(diǎn)，求刃+P2+PC的最小值.

【答案】遙+班

2

【分析】如圖，以NC為邊構(gòu)造等邊△/&),連接8。，8。的長即為以+P3+PC的最小值.至于點(diǎn)P的位

置？這不重要！

如何求BD?考慮到4ABC和4ACD都是特殊的三角形，過點(diǎn)D作DH±BA交BA的延長線于H點(diǎn)，根

據(jù)勾股定理，8加=即2+?！?即可得出結(jié)果.

【練習(xí)1】如圖，已知矩形ABCD，AB=4,BC=6，點(diǎn)/為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為2c邊上任意一點(diǎn),則MA+MD+ME

的最小值為.

【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.

分別以為邊構(gòu)造等邊△/DF、等邊△4WG,連接尸G,

易證絲△/GF,:.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

過/作FH±BC交BC于H點(diǎn)、,線段的長即為所求的最小值.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，解決方法類似，也

是通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。

【知一單系期》

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：、門對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°,百對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°

另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形ABC中，邊長為4,P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求4P+8尸+J5尸。的最小值

A

BC

原圖

【簡析】本題有2種解題策略，旋轉(zhuǎn)特殊角和旋轉(zhuǎn)放縮

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1,ZV1PC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，易知PP=&PC,4B即為所求

圖1

方法一：如圖2,B,P,P\4共線時取最小，此時NBPC=N4PC=135°,易知BP=4P'=2右,

PC=CH-PH=273-2,:.PP'=2底-2叵,PB+PP,+A,P,=276+2^

方法二：作力于易知N4cH=30°,：.AH=2,CH==BH=4+2框,由勾股可得力'B=

2A/6+2A/2

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】可按如下方法去旋轉(zhuǎn)放縮（方法不唯一）

如圖4,將三角形BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°,再擴(kuò)大為原來的血■倍，得到△BPC'

則AP+BP+拒PC=AP+PP'+P'C>AC'

補(bǔ)充：也可以按圖5方式旋轉(zhuǎn)

A

【練習(xí)2】在Rt^ABC中，AC=3,BC=2#),P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求。的最小值

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1,△力PC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)120。，則有PP'=GPC,

AP+BP+PC^AP'+BP+PP'WA'B=2幣

圖1

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】如圖2,AAPC繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)30。，再擴(kuò)大為原來的倍,

則AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',計算略

圖2

【知二多不峰】

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.#?小系數(shù)發(fā)■知

2.中國大小的系奧?定Mr比例；

3.最大章卻?定*修中心（例*最大系"PA1T面，就以A為*修中心），於橋系數(shù)不為1的■條謂盤南

荏的三雋都.

【例3】如圖，在AABC中，4C5=60。，BC=3,ZC=4,在AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接尸4PB,PC,

則（1）!尸/+@尸8+尸。的最小值為;（2）立尸/+工必+尸。的最小值為

2222

A

【簡答】（1）將最小系數(shù);提到括號外，得到;（R4+GPB+2PC）

A

中間大小系數(shù)為百，故放大倍數(shù)為百倍，最大系數(shù)在PC前面，故以點(diǎn)c為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)APBC.

如圖1,將APBC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,并放大為石倍，B'P'=y/3BP,PP'=2PC.

；(PA+布PB+2PC)=；(PA+PP'+P'B')N；AB'=^~.

(2)將最小系數(shù);提到括號外，得到;(也24+必+2PC),

圖2

如圖2,將4APB繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,并放大為倍，A'P'=y/3AP,PP'=2PC.

g?PA+PB+2PC)=P」BP+PP'zgA'B=回

【練習(xí)3】如圖，在△力BC中，/。5=60°，3。=36，/。=6,在448。內(nèi)部有一點(diǎn)「,連接尸4PB,PC,

則2PA+PB+亞PC的最小值為.

P'A=2PA,PP'=>/5PC

2PA+PB+也PC=AP+P'P+PB>AB,A'C=2AC=12,N/'C3=90°+60°=150°,

:.AH=-AC=6,CH=—AC=6S/3，BH=9也，由勾股定理可得AB=3A/31，

22

2PA+PB+小PC的最小值為3用.

■，/核心?題型/

普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

1.（2021濱州）如圖，在中，/ACB=90。,ZBAC=30°,AB=2,點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則

p/+PB+PC的最小值為?

B

CA

【答案】J7

【解析】將4ABP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60。到△ABP,連接PT,B'C.

則AB,=AB=2,PB=PB,NBAB』60。，PA=P,A,NPAP，=60。,

.?.△PTA是等邊三角形，/.PA=P,P.

??ZBAC=30°,ZB,AC=90°,

VZACB=90°,:.AC=與AB=6

?"-BC=JAC?+BM=S-

：PA+PB+PC=P'P+P'B'+PC》B'C,

APA+PB+PC的最小值為J7.

2.問題背景：如圖1,將△力BC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△力DE,DE與BC交于點(diǎn)P,可推出結(jié)論：PA

+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4JL點(diǎn)。是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到4

MNG三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是

圖2

【解析】過點(diǎn)“作HQJ-NM交NM延長線于Q點(diǎn)，根據(jù)NNMG=75。，NGMH=60。,可得NHMQ=45。,

是等腰直角三角形,；.MQ=HQ=4,,麗=行砂=時記=2回

3.如圖，在△力BC中，ZCAB=90°,AB=AC=2,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求必+PB+PC的最小值.

【解析】如圖1,以4D為邊構(gòu)造等邊△4CD,連接BD,BC的長即為R4+PB+PC的最小值.

考慮到AXBC和A4CD都是特殊的三角形，所以構(gòu)造特殊直角三角形

如圖2,過點(diǎn)。作交胡的延長線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，BD2=BH2+DH2=46+y/2

/%

定一二：死D

//

、

圖1圖2

4.已知，在△力BC中，ZACB=30°,AC=4,AB=/j(CB>CA)點(diǎn)P是"BC內(nèi)一動點(diǎn)，則PA+PB+PC

的最小值為________

///?

//?

//'

/二/i

//\

4//

，/

BZ-------------------------------------------^C4H2昭0

原圖圖1

【解析】如圖1,將△力PC逆時針旋轉(zhuǎn)30。,得“PC,BC卿以+PB+PC最小值，考慮到Z

BCA=3Q°,；.NBCC'=90。，作力H_LBC,可得8。=36，：.BC=743

5.如圖，已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則M4+MD+

ME的最小值為.

【解析】如圖1,依然構(gòu)造60。旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.分別以4。、4M為邊構(gòu)造等邊△ADR

等邊△力MG,連接FG,易證△AMD/ZkAGF,：.MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如圖2,過F作FH_LBC交BC于”點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值.FG=4+優(yōu)

6.4B、C、。四個城市恰好為一個邊長為2a正方形的四個頂點(diǎn)，要建立一個公路系統(tǒng)使得每兩個城市之

間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長度CAP+BP+PQ+DQ+CQ）最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？最小

長度是多少？

【解析】如圖1,A4BP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到同樣，將AOCQ繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

△D'CQ’,連結(jié)力2、D'D,貝IAABA、ADCD'均為等邊三角形，連結(jié)PP'、QQ,,則ABPP',

△QCQ'均為等邊三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

/~~>D'

//

,///

BC

圖1

如圖2,當(dāng)點(diǎn)4,P,P,Q,Q',￡>'共線時,整個公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段4'。'的長，此時點(diǎn)P,

Q在"'上,最小值為R+2百"

尹--二》。

--

BC

圖2

2023?隨州中考真題

7.1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點(diǎn)4B,C,求平

面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明,

該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點(diǎn))

當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120。時,

如圖1,將△4PC繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到“'PC,連接PP',

由尸。=尸‘怎"CP'=60°,可知△尸CP為①三角形,板PP'=PC,又P/=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時，以+必+尸。取最小值，如圖2,最小值為48,此時

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有NAPC=NBPC=NAPB=③；

已知當(dāng)“BC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn).如圖3,若/A4C2120。，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn).

(2)如圖4,在△48c中，三個內(nèi)角均小于120。，且2。=璜5。=4食44以=30°,已知點(diǎn)P為。8c的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求尸/+尸3+尸。的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊4B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知4。=41?11食3。=2瓜111食乙4。8=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,a元/km,0a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2V13a

【解題思路】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)的方法將△/PC繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AZ'P'C,即可得出可知當(dāng)B,P,P,4在

同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值,最小值為A'B,在根據(jù)ZACB=30°可證明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求即可，

(3)由總的鋪設(shè)成本=a(P/+P8+0PC),通過將繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AHP'C,得到等

腰直角APPC,得到CPC=PF，即可得出當(dāng)B,P,P,4在同一條直線上時，尸'/'+尸5+尸尸'取最小值，

即R4+P5+血尸。取最小值為AB,然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出H2即可.

【詳解】(1)解：PC=P'C^ZPCP'=60°,

△尸CP為等邊三角形；

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又尸'4=尸4,^PA+PB+PC=PA'+PB+PP'2A'B,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時，尸/++取最小值，

最小值為/'2,此時的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又："PC=AA'P'C,

：.ZAPCZAP'C=120°,

：.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

NAPC=ZBPC=/APB=120°；

NB4czi20°,

：.BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

二三個頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)4到另外兩個頂點(diǎn)的距離和最小.

又：已知當(dāng)^ABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn).

該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)4,

故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

(2)將△4PC繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得至IAA'P'C,連接PP,

由(1)可知當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時，尸/+尸3+尸。取最小值，最小值為H2,

,/AACP=ZA'CP',

：.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30°,

又：ZPCP'=60°

ZBCA'=ZA'CP'+NBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

A'B=^BC2+A'C2=4+32=5,

P/+PB+PC最小值為5,

(3):總的鋪設(shè)成本=PA-a+PB-a+PC?五a=a(PA+PB+也PC)

當(dāng)R4+P8+五尸。最小時，總的鋪設(shè)成本最低，

將繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A/'PC,連接PP,A'B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,4C=/C=4km,

:?PP=0PC,

PA+PB+42PC=PA+PB+PP',

當(dāng)B,P,P',力在同一條直線上時，PH+尸8+PP取最小值，即上4+。5+內(nèi)(取最小值為42,

f

?：ZACB=60°,ZACA=90°f

：.ZACH=30。,

：.A'H^-A'C^2km,

2

?*-HC=ylAC2-AH2=A/42-22=2?km),

?.BH=BC+CH=2y/3+2百=4有(km),

A'B=4AH'+BH2=J(4A/3)2+22=2而(km)

++0PC的最小值為2jilkm

總的鋪設(shè)成本=PA-a+PB>a+PC?缶=a{PA+PB+gPC)=2岳a(元)

廣東省江門市一模

8.如圖，在。BC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=243＞點(diǎn)尸為“8C內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到。8C三個頂點(diǎn)

之和的最小值是.

［分析】將4ABp繞著點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)60°,得至1^AEH,連接EP,CH,過點(diǎn)C作CN，，交HA的

延長線于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得484P=Ntt4E,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,易得

△/EP是等邊三角形，可得AE=AP=EP,進(jìn)而得到/P+3P+PC=EP+E〃+PC,當(dāng)點(diǎn)、H、E、P、C共

線時，/尸+8尸+尸（？有最小值〃7,再求出CN和HV的長度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將“AP繞著點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△/￡〃，連接EPCH,過點(diǎn)C作CN14",交際

的延長線于N,

，NBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,

：.△/￡尸是等邊三角形,

AE=AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,

當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共線時，/P+5P+尸C有最小值〃C.

???ZNAC=1800-ZBAH-ZBAC=180°-60°-90°=30°,AC=243,

:.CN=；AC=C,

：.AN=yjAC2-CN2=_（可=3,

：.HN=AH+AN=5+3=S.

在RtACW中，CH=y]HN2+CN2=^82+（名/

即點(diǎn)P到△48c三個頂點(diǎn)之和的最小值是J而

武漢中考

9.問題背景：如圖1,將△NBC繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE與BC交于點(diǎn)、P,可推出結(jié)論:

PA+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△〃、心中，MN=6,ZM=75°,MG=4^2,點(diǎn)。是△"△燈內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到

三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

圖2

【答案】2月

【分析】本題的問題背景實(shí)際上是提示了解題思路，構(gòu)造60°的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)然如果已經(jīng)了解了費(fèi)馬點(diǎn)問題,

直接來解決就好了！

如圖，以MG為邊作等邊aMGH,連接NH,則NH的值即為所求的點(diǎn)O到GIVING三個頂點(diǎn)的距離和的最

小值.（此處不再證明）

過點(diǎn)H作HQ_LNM交NM延長線于Q點(diǎn)，

根據(jù)NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45°,

Z.AMHQ是等腰直角三角形，

,\MQ=HQ=4,

NH=^NQ2+HQ2=V100+16=2A/29.

2023?四川宜賓?中考真題

10.如圖，拋物線y=a?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)/（-3,0）,頂點(diǎn)為刊（-1,加），且拋物線與丁軸的交點(diǎn)B在（0,-2）和

（0，-3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

II/

1/

/

f（

1/

'6；

?l

①當(dāng)一3?尤41時，y<0；

②當(dāng)?shù)拿娣e為）叵時，a=也;

22

③當(dāng)為直角三角形時，在“。8內(nèi)存在唯一點(diǎn)P,使得尸2+尸。+尸8的值最小，最小值的平方為

18+93

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②

【解題思路】根據(jù)條件可求拋物線與X軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線為

y=a(%-l)(x+3),即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)。為

旋轉(zhuǎn)中心，將“08順時針旋轉(zhuǎn)60°至^AOA,連接AA，PP，AB，得到PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,

判斷③.

【詳解】解：：拋物線y=o%2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)/(-3,0),頂點(diǎn)為/(-1,根)，

:.對稱軸x=-l,

?,?拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

由圖象可得：當(dāng)—時，y<0；

???①正確，符合題意；

，?,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

.二設(shè)拋物線為歹=〃(％—1)(%+3),

當(dāng)％=-1時，y=-4a,當(dāng)x=0時，y=-3a,

??."(—1,-4Q),B(0,-34/),

如圖所示，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線/,過點(diǎn)力作ZE1/,過點(diǎn)、B作BNJJ,

設(shè)直線45的解析式為y=k'x+b,

/\/\1―3左'+//=01左'=―〃

把30,-3〃，/一3,0代入得：,解得：

[b=-3a[匕=-3a

J直線Z5的解析式為y=-QX-3Q,

當(dāng)x=T是，y=~2a,

?(T—2〃),

MF=2a,

.」233=也

22

解得：a=—,故②正確；

2

點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn),

???當(dāng)x=0時，y=~3af

8(0,-3a),

,?4ABM為直角三角形，

當(dāng)N/Affi=90°時，

AM2+BM2=AB2^

,?*AM=,J(-2)2+(-4a)2="+16/,BM=,J(-1)2+(-a)2=J1+/,AB=J(-3,+(-3甫=，9+9八,

；?4+16/+1+/=9+9/,整理得:8a2=4,

解得：a=—^~—(舍)

22

.?.jo,-等］,

I27

當(dāng)ZABM=90°^,

AB2+BM2=AM2,

A4+16a2=9+9a2+l+a2,整理得：6o2=6

解得：。=1或-1(舍)

.*.5(0-3),

當(dāng)/跖13=90。時，

**-AB2+AM-=BM\

；?4+16/+1+/=9+9/,無解；

以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將“。8順時針旋轉(zhuǎn)60°至A/O/',連接44',pp,/B，如圖所示，

：.OP=PP',AP=AP',

：.PA+PO+PB^P'A'+PP'+PB>A'B,

/為等邊三角形，/(TO)

x.-,y,=—xtan60°=,

/2乙22

“I"

當(dāng)30,--時,

、2>

549&

---+------

42

當(dāng)5(0,—3)時,

2

“郎=|+爵+3、18+95此時不符合題意故③錯誤;

故答案為：①②.

一題四問，從特殊到一般

11.背景資料：在已知“BC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小.這個問題是

法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖

1,當(dāng)“3C三個內(nèi)角均小于120。時，費(fèi)馬點(diǎn)尸在418c內(nèi)部，當(dāng)//尸3=/4?。=/。％=120。時，則

尸/+尸3+尸C取得最小值.

(1)如圖2,等邊03C內(nèi)有一點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求必的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將A/BP繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到處，此時A/CP'WA/3?這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段尸/、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與“8C的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請同學(xué)們探索以下問

題.

⑵如圖3,A48c三個內(nèi)角均小于120。，在A48c外側(cè)作等邊三角形連接CB',求證：C8'過A48c

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在中，ZC=90°,AC=l,ZABC=30°,點(diǎn)P為“8C的費(fèi)馬點(diǎn)，連接/尸、BP、CP,

求尸/+P3+PC的值.

(4)如圖5,在正方形4BCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接NE、BE、CE,且邊長N8=2；^AE+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)見詳解;(3)療;(4)76+5/2.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出四△/CP,得出NBAP=NCAP\ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

根據(jù)及48。為等邊三角形，得出N3/C=60。，可證A/PP為等邊三角形，PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根據(jù)勾股

定理逆定理尸P?+PC2=32+42=25=2。2,得出APPC是直角三角形，NPP，C=90。,可求乙4PC=NNPP+

ZPPC=60°+90°=l50°即可；

(2)將A/PB逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到A48P,連結(jié)尸P,根據(jù)AAPB/AAB'P',AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據(jù)NR4P'=NBAB'=60°,A/PP和及423'均為等邊三角形，得出PP'=AP,根據(jù)PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時，PA+PB+PCt,.=CB',點(diǎn)尸在C8'上即

可；

(3)將AAPB逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△NP8',連結(jié)BB',PP',得出A4PBq△APB，,可證和A/BB'均

為等邊三角形，得出PP'=4P,BB'=AB,ZABB'=60°,<<PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點(diǎn)C,點(diǎn)尸，

點(diǎn)尸'，點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時，PA+PB+PCt,.=CB',利用30。直角三角形性質(zhì)得出48=2/C=2,根據(jù)勾股定理

BC=-JAB2-AC2=A/22-12=V3，可求BBIB=2,根據(jù)NC8B'=N/3C+NABB'=300+60°=90°,在R3C25'

中，皮c73c2+叱=J陰Q22=a即可;

(4)將ABCE逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACEB，，連結(jié)EE\BB，,過點(diǎn)皮作2戶J_4B,交延長線于尸，得出4臺方

支CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證AECE'與△3C3'均為等邊三角形，得出EE=EC,BB'=BC,Z

B'BC=60°,AE+BE+CE^AE+EE'+E'B',得出點(diǎn)C,點(diǎn)、E,點(diǎn)E',點(diǎn)2'四點(diǎn)共線時，

AE+BE+CE^AE+EE'+E'B't,.=AB根據(jù)四邊形/BCD為正方形，得出/B=2C=2,ZABC=9Q°,可求

NF8夕=180。-/48c-NCB夕=180。-90。-60。=30。，根據(jù)30。直角三角形性質(zhì)得出BF=-BB'^-x2=l,勾股定

22

理BF=4BB,2-B'F2=A/22-12=V3，可求AF=AB+BF=2+石，再根據(jù)勾股定理AB'=

y/AF2+B'F2=?2+⑷+B="+及即可.

【詳解】(1)解：連結(jié)PP',

,：AABPg△NCP,

:.NBAP=NCAP',N4PB=NAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△/8C為等邊三角形，

ZBAC=60°

：.NR4P'=NR4C+NCAP'=NR4C+NBAP=6Q°,

：.為等邊三角形，

,：.PP'=AP=3,NAP'P=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'-+P'C2=32+42=25=PC2,

：.APP'C是直角三角形，NPP'C=9Q°,

ZAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90o=150°,

ZAPB=ZAP'C=150°,

故答案為150。；

(2)證明：將A/PB逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△48P,連結(jié)PP,

'：AAPB^^AB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

,：ZR4P'=ZBAB'=6Q0,

：./XAPP'^"BB，均為等邊三角形，

：.PP'=AP,

,：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

.?.點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時，PA+PB+PCtll.=CB',

.,.點(diǎn)P在C9上，

CB'過"BC的費(fèi)馬點(diǎn)、.

(3)解：將及4依逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到及4P夕，連結(jié)BB，,PP',

：.AAPBmAAPB,

：.AP'=AP,AB'=AB,

,：ZR4P'=ZBAB'=60°,

/.ZUPP和A4B9均為等邊三角形,

：.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,

,/PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

.,.點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)尸'，點(diǎn)2'四點(diǎn)共線時，PA+PB+PC^,.=CB',

?：ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

22

:.AB=2AC=2,根據(jù)勾股定理BC=y/AB-AC=五=6

：.BB'=AB=2,

?.,NCWN/BC+NABB，=30o+60o=90。，

在RtzxCBB'中，B'C=ylBC2+BB'2=不⑹+2?=不

:.PA+PB+PC最4、=CB'=ypj;

(4)解：將A8CE逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△CEB，，連結(jié)EE。BB',過點(diǎn)皮作8尸_L/8,交延長線于產(chǎn),

/.△BCEmACEE,

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

,：ZECE'=ZBCB'=60°,

：./XECE'^j4BCB'均為等邊三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,N83c=60。，

:AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.,.點(diǎn)C,點(diǎn)、E,點(diǎn)點(diǎn)8'四點(diǎn)共線時，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB

?.?四邊形/BCD為正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=9Q°,

/.NFBB'=18Q°-NABC-Z。3夕=180。-90。-60。=30。，

'：B'FA.AF,

?*-BF=；89=]x2=1,BF=^BB^-B'F2=《2?-I2=73，

：.AF=AB+BF=2+^3,

/.AB'=ylAF2+B'F2=J(2+可+F=a+也,

AE+BE+CEt,.j.=AB'=a+0.

B'

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

2023?武漢?慧泉中學(xué)校月考

3

12.如圖，RtZi/BC中，/CAB=30。,BC=~,點(diǎn)尸為內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,則尸。+尸8+有川

【答案】-V13

2

【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得。尸=內(nèi)/尸，于是所求

PC+PB+上PA的最小值轉(zhuǎn)化為求。E+尸。+尸3的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DE+PD+PB的最

小值即為線段匹的長，然后求出防的長即可解決問題.

【詳解】解：將△ZC尸繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到連摟DP,EB,過點(diǎn)E作E尸_L8/交A4的延

長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)/作尸于點(diǎn)Af,如圖，

則AD=AP,DE=CP/DAP=120°,ZEAC=120°,

??AMVDP,

：.DM=PM,ZADM=NAPM=30°,

AM=-AP,

2

：.PM=y]AP2-AM2=—AP,

2

/.DP=2PM=&P,

PC+PB+y/3PA=DE+PD+PB>EB,即PC+P3+的最小值為樂的長（當(dāng)點(diǎn)E、D、P、2四點(diǎn)

共線時取最小值），

3

,「RtZkZBC中，ZG4S=30°,BC=~,

2

?JZ7-A^-3石

??A.E=AC----f

2

?：ZCAS=30°,ZEAC=120°,

???/EAF=30。,

則在直角三角形4E1尸中，EF=LAE=^,AF=6EF=2,

244

921i--------------------------

???斯=3+7下：.BE7BF、EF2=」而

2

西安市鐵一中二模

13.已知，如圖在A/BC中，44c8=30。，BC=5,AC=6,在內(nèi)部有一點(diǎn)。，連接D/、Z)B、Z)C.則

DA+DB+-J1DC的最小值是

【分析】把ACD8順時針旋轉(zhuǎn)90。到△（??夕，過夕作夕E_L/C,交/C延長于E,則CD=C。，BD=B'D',Z

CDD'=ZCD'D=45°,可求。。=亞CD,在R於CEB，中,可求CE=g,AE=y,BE=乎，當(dāng)點(diǎn)/、D、

D'、9四點(diǎn)在一直線時，/夕最短，可求AB'=BD+&CD+/Z）=JM.

【詳解】解：把ACDB順時針旋轉(zhuǎn)90。到ACD皮，過夕作夕E_L/C,交4c延長于E,

則CD=CD',BD=B'D',NCDD=NCD'D=45。,

：.DD'=CD^cos45°=直CD,

NACB=30°,ZB'CB=90°,

/.ZB'CE=180°-ZACB-NBC8'=180°-30°-90°=60°,

在RMCEB，中,

：.CE=B'Ccos600=5x-=-,

22

517

AE=AC+CE=6+,

22

BE=B'Csm600=5xB=短，

22

當(dāng)點(diǎn)/、D、D\3,四點(diǎn)在一直線時，最短，

：.AB'^=yjAE2+B'E2==回，

AB^B'D'+D'D+AD=BD+6CD+AD=791.

故答案為：屈.

2023?成都市鄲都區(qū)中考二模

14.如圖，矩形/3CD中，48=2,8c=3,點(diǎn)E是N3的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是8C邊上一動點(diǎn).將NBEF沿著斯

翻折，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)"處，若點(diǎn)尸是矩形內(nèi)一動點(diǎn)，連接PC、PD,則P84揚(yáng)5C+QD的最

小值為.

【答案】V26-1

【分析】將△CD尸繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACDP,連接尸P,連接E/T,由等腰三角形CPP得出

PP'=yf2PC,再由折疊得出點(diǎn)夕的軌跡在點(diǎn)E為圓心，班為半徑的圓周上，所以EB'+PB'+PP'+P'D'的

最小值為EZT,即PB*gPC+PD的最小值為ED-EB',經(jīng)計算答出答案即可.

【詳解】解：將尸繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACDP,

連接尸尸'，連接ED',

則B,C,D'共線，PD=P'D',

:.CD'=CD=AB=2,

:.PP'=42PC,

???點(diǎn)、E是4B的中點(diǎn)，

:.EB=-AB=-x2=l,

22

■：BD'^BC+CD'=3+2=5,

.-.ED'^^BE1+D'B-=712+52=國

由ABEF折疊成△YEP,

:.EB=EB'=EA,

.,.點(diǎn)8在以點(diǎn)E為圓心，班為半徑的圓上,

:.EB'=i,

???兩點(diǎn)間線段最短，

:.ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即ED'&EB'+PB'+6PC+PD

:.^26<l+PB'+y/2PC+PD,

PB'+42PC+PD2足-1,

則PB'+6PC+PD的最小值為降-L

故答案為：V26-1.

,型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

1、/5

15.在邊長為4的正△ABC中有一點(diǎn)P,連接P4PB、PC,求(-4P+BP+"-PC)?的最小值

22

原圖

【解析】如圖1,44PC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，取P'C,4'C的中點(diǎn)M,N

易知PM=^-PC,MN=-P,A,=-PA,

222

A

圖1

則^AP+BP+與PC=MN+BP+PM《BN,BN2=20+86即為所求

16.在等邊三角形ABC中，邊長為4,P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求3ap+4BP+5PC的最小值

A

A

BC

原圖

△力PC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，在P'C,4c上取M,N,使CM=-CP,CN=

533

易知PM=—PC,MN=—P4=—E4,3AP+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

A

B

圖1

成都七中育才學(xué)校月考

17.在A/3C中，AB=3,AC=4,/3/C的角平分線交8c于E,過C作射線NE的垂線，垂足為D,連

3PC+4PD+5PA

接5。，當(dāng)S#-5段即取大值時，在A/C。內(nèi)部取點(diǎn)尸，則的最小值是.

4

【答案】>/29

【分析】延長CD交4g于點(diǎn)尸，過點(diǎn)A作BC邊上的高///,得出A4D/絲A/DC,則3尸=1,根據(jù)4D是

BF3

/胡。的角平分線，得出設(shè)S△皿=3S,則S?c=4S,過點(diǎn)。分別作/尸,4。的垂線，垂足為姐N,

EC4

得出S=2S“BC，S&ACK-S&BKD=2\S,則當(dāng)鼠瘀最大時，以仆-S△曲取得最大值，進(jìn)而可得當(dāng)

3

/C/5=90°時，S/Bc取得最大值，則/。/。=45°,延長氏4至C',使得/。'=彳/。=3,^P'ALPA,

3