第十三章 立體幾何初步（知識(shí)歸納題型突破）

第十三章立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）

示要求

1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖.

2.理解棱錐、棱臺(tái)的定義，知道棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖.

3.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體.

4.會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.

5.會(huì)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.

6.會(huì)用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)以及簡單組合體的直觀圖.

7.會(huì)根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.

8.了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面.

9.能用符號(hào)語言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.

1。.能用圖形、文字、符號(hào)三種語言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，理解三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論的作用.

H.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義.

12.理解并掌握基本事實(shí)4和“等角”定理，并能解決有關(guān)問題.

13.會(huì)用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在三角形中求簡單的異面直線所成

的角.

14.理解直線與平面平行的定義,會(huì)用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，

會(huì)用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系.

15.理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有

關(guān)的平行問題.

16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性.

17.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問題.

18.了解直線和平面所成的角的含義，并會(huì)求直線與平面所成的角.

19.理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的概念.

20.理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定

理解決有關(guān)的垂直問題.

21.了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系.

22.理解平面與平面平行的定義,會(huì)用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，

會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系.

23.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題.

24.T解兩個(gè)平行平面間的距離.

25.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡單的二面角的大小.

26.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理.

27.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理

解決有關(guān)的垂直問題.

28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它

們之間的關(guān)系.

29.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，掌握圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系.

30.能利用柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系.

31.掌握球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.

32.會(huì)利用分割、補(bǔ)形求組合體的表面積和體積.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

結(jié)構(gòu)特征及分類圖形及記法

結(jié)構(gòu)特(1)兩個(gè)底面是全等的多邊形,且對應(yīng)邊互相E'D'

征平彳工⑵側(cè)面都是平行四邊形

側(cè)面i::)底面

側(cè)棱/；一一口/

棱E

柱按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱

分類A頂點(diǎn)

柱……記作棱柱

ABCDEF-

ABCDEF

結(jié)構(gòu)特(1)底面是多邊形N頂點(diǎn)

征側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

(2)側(cè))棱/側(cè)面

棱

錐按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱

分類

錐……4B

記作

棱錐S-ABCD

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截朵

結(jié)構(gòu)特面和底面之間的部分稱之為棱臺(tái)4或普片上底面

征(1)上下底面互相平行，且是相似圖形側(cè)面/窈*側(cè)棱

棱臺(tái)(2)各側(cè)棱延長線相交于一點(diǎn)

入(\/今底面

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)頂點(diǎn)

分類

分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……記作棱臺(tái)

ABCD?A'B'C'D

2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系

在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、整整棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例).

FvH上底面變小JR上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)/k

［一一一」工底面擴(kuò)高(一一一一)頂點(diǎn)拓展為與下底/\

7/與下底面全等7/面平行，相似但不

全等的面

三樓柱三棱臺(tái)三棱錐

3.多面體

由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體.

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

分類定義圖形及表示表示

%軸

將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一母一

圓柱/一側(cè)面圓柱00'

周，形成的空間圖形叫作圓柱線

4匕gL底面

將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直4

圓錐圓錐so

線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓錐

將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的

圓臺(tái)A圓臺(tái)00'

直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓臺(tái)

生圓繞著它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形

球成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形球。

叫作球體，簡稱球0k：

5.旋轉(zhuǎn)體

一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的

空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體.

母線/

圓錐面

6.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于。點(diǎn).畫直觀圖時(shí)把它們畫成對應(yīng)的V軸與V

軸，兩軸交于點(diǎn)。'，并使/尤W=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.

(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于反軸或國的線段.

(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段，長度為原

來的一半.

7.空間幾何體直觀圖的畫法

(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是，軸.

(2)直觀圖中平面voy表示水平平面，平面歹0勿和V。勿表示豎直平面.

(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.

(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

8.平面

(1)平面的概念

平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念.平面通常用平行四邊形來表示,當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般

用水平放置颯正方域的直觀圖作為平面的直觀圖.

(2)平面的表示法

平ffi通常用希臘字母a,p,y,…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母表示；如圖的平面可

表示為平面a、平面ABCD、平面AC或平面BD.

DC

9.幾何里的平面的特點(diǎn)

⑴平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量.

(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的.

10.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系

位置關(guān)系符號(hào)表示

點(diǎn)P在直線AB上P^AB

點(diǎn)C不在直線AB上C^AB

點(diǎn)M在平面AC內(nèi)A/e平面AC

點(diǎn)4不在平面AC內(nèi)40平面AC

直線AB與直線BC交于點(diǎn)BABHBC=B

直線AB在平面AC內(nèi)A8u平面AC

直線AAi不在平面AC內(nèi)44雙平面AC

◎微思考)

11.平面的基本事實(shí)

基本事實(shí)文字語言圖形語言符號(hào)語言作用

過不在一條直線①確定平面的依

基本

上的三個(gè)點(diǎn)，直平面ABC據(jù)

事實(shí)1

且只有一個(gè)平面Z./②判定點(diǎn)線共面

如果一條直線上

①確定直線在平

的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)

基本面內(nèi)的依據(jù)

平面內(nèi)，那么這

事實(shí)2②判定點(diǎn)在平面

條直線在這個(gè)壬/

內(nèi)

面由

如果兩個(gè)不重合

①判定兩平面相

的平面有一個(gè)公

基本pea且pep今a交的依據(jù)

共點(diǎn)，那么它們

事實(shí)3np=/,且pe/②判定點(diǎn)在直線

有且只有一條過

上

該點(diǎn)的公共直線

基本事實(shí)1：確定平面的依據(jù)；

基本事實(shí)2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；

基本事實(shí)3：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù).

12.基本事實(shí)的推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

圖形語言表述：如圖所示.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

圖形語言表述：如圖所示.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

圖形語言表述：如圖所示.

13.空間直線的位置關(guān)系

(1)異面直線

定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線.

(2)空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)

平行直線在同一平面也沒有

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有

14.平行直線

(1)基本事實(shí)4

文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質(zhì)叫作空間平行線的傳遞性.

a//b]

符號(hào)表示：r0aHc.

b//c\------

(2)"等角"定理

如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.

15.異面直線所成的角

(1)定理：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

(2)異面直線所成的角

定義：。與6是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,作直線"〃a,b'//b,我們把直線〃和，所成的銳角(或

直角)叫作異面直線6所成的角(或夾角).

范圍：設(shè)。為異面直線a與方所成的角，則0。＜。?90。.特別地，當(dāng)。=鱉時(shí)，。與。互相垂直，記作

b.

異面直線所成角的范圍是0。＜6?忘90。，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直.

16.直線與平面平行的判定定理

文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平

面平行

符號(hào)語言bua,且「〃/?=〃〃a

-------a

圖形語言/a--b/

17.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直

文字語言

線與交線乎彳工

符號(hào)語言a//a,qu￡,aCB=b0a//b

t---X

圖形語言

/b/

(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)

①直線a與平面a平行，即a〃a；

②平面a,尸相交于一條直線，即aC4=6；

③直線a在平面「內(nèi)，即。點(diǎn).

以上三個(gè)條件缺一不可.

⑵定理的作用

①線面平行今線線平行；

②畫一條直線與已知直線平行.

(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行,

這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

18.直線與平面垂直

定義如果直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面a垂直

記法

有關(guān)直線a叫作平面a的垂線,平面a叫作直線a的垂面,垂線和平面的交點(diǎn)稱

概念為垂足

A

a

圖示及

畫法/B/

畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線

19.直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平

文字語言

面垂直

圖形語言Z

符號(hào)語言

a_Lmf〃_L〃,mua,nua,mC\n=A=>a-La

20.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線里在

q_La|

符號(hào)語言f=>a//b

b-La\

ab

圖形語言

①線面垂直今線線平行

作用

②作平行線

21.從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.一條直線和一

個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離.

22.直線與平面所成的角

(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的

交點(diǎn)叫作斜足,斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段.

如圖所示，過平面外一點(diǎn)P向平面a引斜線和垂線，那么過斜足。和垂足尸1的直線就是斜線在平面內(nèi)的

射影.平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳魚，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角.

(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，

那么稱它們所成的角是0°角.

(3)范圍：直線與平面所成角。的范圍是0。忘。忘90。.

23.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有一條公共直線

符號(hào)表示a//13aC\/3=l

圖形表示口

A__/4y”

24.兩個(gè)平面平行的判定定理

文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行

符號(hào)語言qua,b^a?_aAb=Ab//_^=>a//P

Zasy

圖形語言

A/

(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的.

(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行.

25.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線乎衽

符號(hào)語言a//P，aC\y=a,.=?=>〃〃b

圖形語言

26.公垂線、公垂線段

與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線,它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這

兩個(gè)平行平面的公垂線段;我們把公垂線段的長度叫作兩個(gè)平行平面間的至離.

27.二面角

(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的西仝生生面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面

角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面.

⑵圖形和記法

圖形：

記作：二面角a-AB-13.

28.二面角的平面角

(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成

的角叫作二面角的平面角.

⑵圖形、符號(hào)及范圍

圖形：

I

符號(hào)：OA±l,08_L/n/A0B是二面角a-//的平面角.

范圍：0OWNAOBW180。.平面角是直色的二面角叫作直二面角.

29.平面與平面垂直

(1)定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,那么就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂1邛

線，那么這兩個(gè)平面垂直7

Zlua

30.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,

文字語言

那么這條直線與另一個(gè)平面垂直

aC0=l

符號(hào)語言

aua

a.Ll>

圖形語言□

①面面垂直n線面垂直

作用

②作面的垂線

31.直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積

(1)有關(guān)概念：

側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)棱長就是

直棱柱的高.

如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心,那么稱這樣的棱錐為正棱錐.正棱

錐的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形.

正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái).正棱臺(tái)的側(cè)棱長都相等,側(cè)面均為

全等的等腰梯形.

(2)公式：S直棱柱惻=改(。為直棱柱的底面周長，川為直棱柱的高)

S正棱鏈惻=3c〃(c為正棱錐的底面周長，〃為斜高)

S正棱臺(tái)惻=；(c+c')h'(c,d分別為正棱臺(tái)的上下底面周長，〃為斜高)

32.直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積之間的關(guān)系

S正檢m?（=5（c+c'）/i'

1(:，=0>[5正/卷傅=三-<：/?，

z

圓柱側(cè)=c/=2TTr4<^c=c|s圓臺(tái)側(cè)=/(c+c')，'=ir(r+r')1

1。'=0)15圓錐側(cè)=/以="〃)

35.體積公式

(1)柱體：柱體的底面面積為S,高為h,則丫=題.

(2)錐體：錐體的底面面積為S,高為h,則V=^_Sh.

(3)臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為s、s,高為h,則(S'+、度+s)〃.

36.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

1,__S'=01

V^#=Sh——?V行休=1(S'+小取+S)h——?Sh.

37.球的表面積和體積公式

4

設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=4TTR2；球的體積17=壬這.

對球的體積和表面律的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

⑴從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng)，故

表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù).

(2)由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式

的推導(dǎo)方法是不一樣的.

(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍.

重要題型

題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【例1】(1)下列命題中正確的是()

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

(2)下列關(guān)于棱柱的說法：

①所有的面都是平行四邊形；

②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；

③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確的序號(hào)是.

【解析】(1)由棱柱的定義可知，選D.

(2)①錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

②錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形；

③正確，由棱柱的定義易知正確；

④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，所以正確說法的序號(hào)是③④.

【答案】(1)D⑵③④

思維升華

棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧

(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義.①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)

互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行.

(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示的三棱柱ABC-AiSG，其中E,F,G,X是三棱柱對應(yīng)邊上的中點(diǎn)，過此四點(diǎn)作截面跖GH

把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請

說明理由.

【解析】截面以上的幾何體是三棱柱AEFAiHG,截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-BiHGCi.

題型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【例2】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：

①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；

②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

③棱錐的側(cè)面只能是三角形；

④由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確的序號(hào)是.

【解析】①錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱

臺(tái).

②正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形.

③正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.

④正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

⑤錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

所以正確說法的序號(hào)為②③④.

【答案】②③④

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判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

(1)舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.

(2)直接法

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在三棱臺(tái)4BC-A8C中，截去三棱錐4-ABC,則剩余部分是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺(tái)

【解析】選B.由題意知，在三棱臺(tái)4BC-A8C中，截去三棱錐4-ABC,剩下的部分如圖所示，故剩余

部分是四棱錐4-88'C'C.故選B.

2.（多選）下列說法中，正確的是（）

A.棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形

B.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐

C.四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面

D.棱錐的各側(cè)棱長相等

【解析】選AC.由棱錐的定義知，棱錐的各側(cè)面都是三角形，故A正確；有一個(gè)面是多邊形，其余各面

都是三角形，如果這些三角形沒有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)幾何體就不是棱錐，故B錯(cuò)；四面體就是由4

個(gè)三角形所圍成的封閉幾何體，因此以四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確；棱錐

的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，故D錯(cuò).

題型三旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

【例3】（多選）下列說法正確的是（）

A.圓柱的底面是圓面

B.經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面

C.圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交

D.夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

【解析】A正確，圓柱的底面是圓面；B正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一■個(gè)矩形面；

C不正確，圓臺(tái)的母線延長相交于一點(diǎn)；D不正確，圓柱夾在兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)

體.

【答案】AB

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（1）判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法

①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；

②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

（2）簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

①簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量；

②在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想.

鞏固訓(xùn)練

1.給出以下說法：

①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長；

②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間所連線段的長；

③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面可以是一個(gè)正方形；

④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形.

其中正確的序號(hào)是.

【解析】根據(jù)球的定義知，①正確；②不正確，因?yàn)榍虻闹睆奖剡^球心；③不正確，因?yàn)榍虻娜魏谓孛娑?/p>

是圓面；④正確.

【答案】①④

題型四簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的（）

ABCD

【解析】該幾何體自上而下由圓錐、圓臺(tái)、圓臺(tái)、圓柱組合而成，故應(yīng)選A.

【答案】A

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不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略

⑴分割：首先要對原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本

圖形.

(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過程進(jìn)行分析.

鞏固訓(xùn)練

1.若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

【解析】①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺(tái)；③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓

柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示.通過觀察可知，該幾何體是由一■個(gè)圓錐、一■個(gè)圓臺(tái)和一■個(gè)圓柱自

上而下拼接而成的.

2.已知AB是直角梯形A3C。中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB,BC,CD,所在的直線為軸旋

轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

【解析】(1)以42邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖①所示.

(2)以8C邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)組合體：下部為圓柱，上部為圓錐，如圖②所示.

(3)以CD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐,

如圖③所示.

(4)以AD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)組合體：一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐，如圖④所示.

①②

題型五旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問題

【例5】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐S。底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：16,

截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺(tái)。。的母線長.

【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長為/cm,由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1：16,可設(shè)

S

截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為rem,4rcm.過軸SO作截面，如圖所示,

則△SO'A's/\sOA,SA'=3cm.

解得/=9,即圓臺(tái)的母線長為9cm.

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解決旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問題的解法

用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)

體中的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面）的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程（組）

而解得.

［注意］在研究與截面有關(guān)的問題時(shí)，要注意截面與物體的相對位置的變化.由于相對位置的改變，截面

的形狀也會(huì)隨之發(fā)生變化.

鞏固訓(xùn)練

1.已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm,2cm,截得圓臺(tái)的圓錐的母線長為12cm,則圓臺(tái)的母

線長為.

【解析】如圖是圓臺(tái)的軸截面，由題意知AO=2cm,40=1cm,SA=12cm.

A'Q'VA'A'Q'|

由7萬，得SA'=777X12=6（cm）.所以SA'=12—6=6（cm）.所以圓臺(tái)的母線長為

/iCzo/l/iCzZ

【答案】6cm

2.某地球儀上北緯30。緯線圈的長度為12兀cm,如圖所示，則該地球儀的半徑是一

【解析】如圖所示，由題意知，北緯30。所在小圓的周長為12兀cm,則該小圓的半徑r=6cm,其中/AB。

=30°,所以該地球儀的半徑R=/忘心=4、/5(cm).

【答案】4小

題型六畫水平放置的平面圖形的直觀圖

【例6】畫水平放置的直角梯形(如圖所示)的直觀圖.

0B

【解析】(1)在已知的直角梯形中，以底邊02所在直線為尤軸，垂直于的腰所在直線為y

軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖①所示.

⑵畫相應(yīng)的x'軸和y'軸，使/x'O'y=45°,在x'軸上截取0'8'=03,在y'軸上截取OZ>'=30。過點(diǎn)。'

作7軸的平行線I,在/上沿V軸正方向取點(diǎn)。使得OC=OC.連接B'C,如圖②.

(3)所得四邊形03Y7。就是直角梯形0BCD的直觀圖.如圖③.

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畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)

(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的

頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖.

(2)畫圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長度關(guān)系是否發(fā)生變化.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，在△A8C中，BC=8cm,8c邊上的高AO=6cm,試用斜二測畫法畫出其直觀圖.

A

RDC

【解析】(1)在三角形ABC中建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x'0'y',

使Nx'Oy=45°.

(2)在坐標(biāo)系VOy中，在7軸上截取05=。8,O'C^OC;在y軸上截取04,使

(3)連接AE,CA',擦去輔助線，得到9C,即為△ABC的直觀圖(如圖③所示).

圖③

題型七畫簡單幾何體的直觀圖

【例7】已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長為2,下底面邊長為6,高為4,用斜二測畫法畫出此正四棱臺(tái)的

直觀圖.

【解析】(1)畫軸.如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)。使/xOy=45°,NxOz=90°.

(2)畫下底面.以。為中點(diǎn)，在x軸上取線段EF,使得￡尸=6,在y軸上取線段GH,使得GH=3,再過

////

G,H分別作A8=ERCD=EF,且使得A8的中點(diǎn)為G,C￡)的中點(diǎn)為H,連接A。，BC,這樣就得到了

正四棱臺(tái)的下底面ABCD的直觀圖.

(3)畫上底面.在z軸上截取線段0。1=4,過01作//Ox,Oiy'〃。丫，使Nx'Qy'=45°,建立坐標(biāo)系尤'Qy',

在x'Oiy'中仿照(2)的步驟畫出上底面AiBiCiDi的直觀圖.

(4)連接AAi，BBi，CG，DDi，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺(tái)的直觀圖(如圖②).

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畫空間圖形的直觀圖的原則

⑴用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于尤軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平

行于V軸、y軸、z，軸的線段.

⑵平行于x軸、Z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼膅.

鞏固訓(xùn)練

1.已知一棱柱的底面是邊長為3cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為4cm,試用斜二測畫法畫出

此棱柱的直觀圖.

【解析】⑴畫軸.畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)0,使NxOy=45。，^xOz=90°.

、3

(2)畫底面.以點(diǎn)0為中點(diǎn)，在x軸上畫A/N=3cm,在y軸上畫尸。=1cm,分別過點(diǎn)N作y軸的平

行線，過點(diǎn)尸，。作1軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,則四邊形ABC。就是該棱柱的底

面.

(3)畫側(cè)棱.過點(diǎn)A,B,C,。分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4cm長的線段AV,BB:

CC,DD',如圖①所示.

D'7C'

AfIIB'I

y

DQ

M,c

AXP\B

①

(4)成圖.連接A0,B'C,CD',D'A',并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到該棱

柱的直觀圖，如圖②所示.

DfC'

Ag

題型八直觀圖的還原與計(jì)算

2

【例8】如圖所示，梯形A/iGDi是一平面圖形A8CD的直觀圖.若4。1〃。了，4S〃GDi，4場=§

GZ)i=2,AiDi=OZ)i=l.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.

'y

4Bi

D、/O'G%'

OC=OfCi=2.

在過點(diǎn)。與y軸平行的直線上截取0A=2。14=2.在過點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取A8=AiBi=2.連接

BC,便得到了原圖形(如圖).

由圖可知，原四邊形ABC。是直角梯形，上、下底邊長度分別為A5=2,0)=3,直角腰長度為AZ)=2.

2+3

所以原圖形面積為S=三一X2=5.

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(1)直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與v軸、y軸平行的直線或線段，且平行于v軸的線段還原時(shí)長度不變，

平行于y軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.

(2)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S,則有￡=*S或S=2陋S.利用這一公式可由原圖

形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.

鞏固訓(xùn)練

1.已知正三角形4BC的邊長為由那么△ABC的直觀圖的面積為()

近

A2

a8a2

B.逅

c2D.

。2

16a

【解析】選D.如圖①②所示，分別為正三角形A3C的實(shí)際圖形和直觀圖.

由②可知，B'C'=BC=a,O'A'=j0A=^~a,在圖②中作于點(diǎn)D',則AZT=3/0,4=a.

Zo

ZZo1O

題型九圖形、文字、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化

【例9】(1)用符號(hào)語言表示下面的語句，并畫出圖形.

平面ABD與平面BDC交于BD,平面ABC與平面ADC交于AC.

(2)將下面用符號(hào)語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示.

aC/3=l,AG/,ABcot,ACu0.

【解析】(1)符號(hào)語言表示：平面ABDA平面平面ABCCl平面AOC=AC.用圖形表示如圖①所

(2)文字語言敘述為：點(diǎn)A在平面a與平面力的交線/上，直線AB,AC分別在平面a,￡內(nèi)，圖形語言表

示如圖②所示.

-----3

圖①

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三種語言的轉(zhuǎn)換方法

(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)

系如何，試著用文字語言敘述，再用符號(hào)語言表示.

(2)根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

鞏固訓(xùn)練

1.根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.

⑴點(diǎn)P與直線A&

⑵點(diǎn)C與直線AB；

⑶點(diǎn)M與平面AC;

(4)點(diǎn)Ai與平面AC；

(5)直線AB與直線BC；

(6)直線AB與平面AC；

⑺平面AiB與平面AC.

【解析】(1)點(diǎn)PG直線48.

(2)點(diǎn)C0直線AA

⑶點(diǎn)平面AC.

(4)點(diǎn)40平面AC.

(5)直線45C直線BC=點(diǎn)、B.

(6)直線ABu平面AC.

(7)平面4由CI平面AC=直線AB.

題型十點(diǎn)、線共面問題

【例10］證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).

【解析】已知：如圖所示，/inI2—A,12ch=B,hnh—c.

求證：直線/i,I?,在同'一?平面內(nèi).

證明：方法一：(納入平面法)

因?yàn)?iAL=A,所以/1和L確定一個(gè)平面a.

因?yàn)?2C/3=B，所以BW%.

又因?yàn)?zua,所以同理可證Cda.

又因?yàn)?6/3，Ce/3，所以bua.

所以直線乙，辦，，3在同一平面內(nèi).

方法二：(輔助平面法)

因?yàn)?1口/2=4,所以/i,A確定一個(gè)平面a.

因?yàn)?/p>