高二暑假作業(yè)1：空間向量與立體幾何

高二暑假作業(yè)1:空間向量與立體幾何

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.（2024?湖南省岳陽(yáng)市?單元測(cè)試）給出下列命題

①空間中所有的單位向量都相等；

②方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；

③若口B滿足I1|>|,且商，方同向,則方〉B；

④零向量的方向是任意的；

⑤對(duì)于任意向量。,必有|。+/?|”|4|+|5|.

其中正確命題的序號(hào)為（）

A.①②③B.⑤C.④⑤D.①⑤

2.（2024?四川省成都市?月考試卷）在下列條件中，使〃與A,B,C一定共面的是（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）（）

A.OM=OA-OB-OCB.OM=^OA+^OB+^OC

c.OM+OA+OB+OC=6D.MA+MB+MC=6

3.（2024.江蘇省?聯(lián)考題）如圖，在四面體0ABe中，OA=a>OB=b>OC=c>CQ=2QB,P為線

段的中點(diǎn)，則迎等于（）

112112

A.——rbH—EB.—a——br——

233233

1_1r2_121

C.—aH—bH—cD.——a+—rb+—c

233233

4.（2024.湖南省常德市?月考試卷）定義萬(wàn)廣-濟(jì)5,若向量1=（1,—2,2）,向量分為單位向量，則

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6)D.(-1,5)

5.（2024?甘肅?期中考試）已知空間中三點(diǎn)A（O,L。），6（2,2,0）,C（-l,3,l）,貝！J（）

A.初與恁是共線向量

B.與向量四方向相同的單位向量是2個(gè)

\55）

C.荏與祝夾角的余弦值是且

11

D.平面ABC的一個(gè)法向量是（1,-2,5）

6.（2024?重慶市?月考試卷）已知。，b為異面直線，Aea,Bea,Cwb,Deb,ACYb,

BD±b,AB^2,CD=1,則a,b所成的角6為（）

7.（2024.河北省?單元測(cè)試）如圖，在三棱錐A—J3CD中，平面ABC,平面BCD,^BAC與ABCD均為

等腰直角三角形，且N54C=ZBCD=90°,3C=2,點(diǎn)尸是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若線段CD上存在點(diǎn)Q,

使得異面直線P。與AC成30°的角，則線段PA長(zhǎng)的取值范圍是（）

3

8.（2024.浙江省.模擬題）如圖所示，在正三棱臺(tái)ABC-A4G中，AB=3AAl=-AlBl=3,記側(cè)面

ABB^與底面ABC,側(cè)面ABB^與側(cè)面BCQB,,以及側(cè)面ABB^與截面\BC所成的銳二面角的平

面角分別為〃，7,貝1k）

A.y</3=aB.p=a<yC./3<a<yD.a</3<y

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.（2024.甘肅省武威市?期中考試）已知向量G=（1,2,x）,B=（2,y,l）,若|G|=3,方_]_方，則》+、=（）

A.-2B.1C.-1D.0

10.（2024.山西省?月考試卷）下列命題中正確的是（）

A.已知q和22是兩個(gè)互相垂直的單位向量，a=2ex+3e2,b=ke[-4e^,且〃J_B，則實(shí)數(shù)比=6

B.已知正四面體O48C的棱長(zhǎng)為1,貝1（西+礪）?（□?+國(guó)）=1

C.已知41,1,0）,3（0,3,0）,C（2,2,3）,則向量/在池上的投影向量的模長(zhǎng)是哈

D.已知4=q-2%+1,b=-e1+3e^+2e3,=-3q+7e2（｛q,e2，e3｝為空間向量的一個(gè)基底），則向量

a,b,不可能共面

11.（2024?河北省.入學(xué)測(cè)驗(yàn)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A4CQ中，點(diǎn)區(qū)廠分別滿足題=2荏，

麗=〃沅，其中彳=[。,1],AG[0,l],貝心）

A.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐A—4EE的體積為定值

B.當(dāng)彳=!時(shí)，點(diǎn)A,8到平面用ER的距離相等

2

C.當(dāng)〃=；時(shí)，存在X使得3。，平面

D.當(dāng)時(shí)，\F±QE

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2024?浙江省杭州市?月考試卷）在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，麗=（1,1,2）,AC=（2,1,1）,則點(diǎn)B到直

線AC的距離為

13.（2024.江蘇省?單元測(cè)試）已知單位向量。，b,中，aLb[a,c）==60°,貝“G-5+2^=

14.（2024.遼寧省沈陽(yáng)市?聯(lián)考題）如圖，正方體ABC。-A4G2的棱長(zhǎng)為

2,尸是過(guò)頂點(diǎn)8,D,0,四的圓上的一點(diǎn)，。為CG的中點(diǎn).當(dāng)直線

P。與平面ABC。所成的角最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為；直線PQ

與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（2024.江蘇省?單元測(cè)試）（本小題13分）

已知"=（1,2,-1），5=（-2,4,2）；

（1）若方〃"且同=2逐，求5的坐標(biāo)；

⑵若伽+5）乂6-25）,求實(shí)數(shù)大的值.

16.（2024遼寧省沈陽(yáng)市?聯(lián)考題）（本小題15分）

如圖，M,N分別是四面體OA8C的棱OA,8c的中點(diǎn)，P,。是的三等分點(diǎn)（點(diǎn)P靠近點(diǎn)N）,若

AO=a,AB=b,AC=c.

⑴以他，友可為基底表示麗；

(2)若|初=出|=1,|可=2,NQ4B=NOAC=：,NC4B=g,求|而|的值.

17.（2024?天津市?真題）（本小題15分）

已知四棱柱ABCO-A2IG2中，底面ABC。為梯形，AB//CD,4A,平面A8CD,AD±AB,其

中AB=AA=2,A￡>=OC=LN是4a的中點(diǎn)，M是3,的中點(diǎn).

⑴求證。N//平面CAM；

（2）求平面CB.M與平面BBg的夾角余弦值;

⑶求點(diǎn)B到平面CB}M的距離.

18.（2024?安徽省.模擬題）（本小題17分）

如圖所示的圓錐中，P為頂點(diǎn)，在底面圓周上取A、B、C三點(diǎn)，使得AC=4,BC=2,在母線PA上取

一點(diǎn)，過(guò)D作一個(gè)平行于底面的平面，分別交尸2、PC于點(diǎn)E、F,且石尸=1,DE=6

p

⑴求證：平面平面ABC;

⑵己知三棱錐F-BCD的體積為2,求平面EBD與平面BDF夾角的正切值.

19.（2024?湖北省武漢市?模擬題）（本小題17分）

如圖，正方形的中心為。，四邊形。2所為矩形，平面OBEF_L平面ABC。，點(diǎn)G為的中

點(diǎn)，AB=BE=2.

（2）求二面角O-EF-C的正弦值；

2

⑶設(shè)X為線段AP上的點(diǎn)，且AH=—HF,求直線班/和平面C跖所成角的正弦值.

3

答案和解析

I.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查空間向量的基本知識(shí)，命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

利用空間向量的定義判斷①；相反向量的定義判斷②；向量的性質(zhì)判斷③；零向量的定義判斷④；向量

的三角形法則判斷⑤.

【解答】

解：對(duì)于①，單位向量?jī)H是模長(zhǎng)為1的向量，方向不一定相同，故不是所有的單位向量都相等，①錯(cuò)

誤；

對(duì)于②，方向相反的兩個(gè)向量，并且模長(zhǎng)相等時(shí)，是相反向量；所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，向量之間不能比較大小，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，零向量的方向是任意的，故④正確；

對(duì)于⑤，對(duì)于任意向量扇5,必有|4+石I,,I萬(wàn)1+1方I,滿足向量運(yùn)算的三角形法則，故⑤正確；

故答案選：C.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查幾何與代數(shù)，涉及空間向量共面定理，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)四點(diǎn)共面的條件逐項(xiàng)判斷即可求得結(jié)論.

【解答】

解:空間向量共面定理：OM=xOA+yOB+zOC,若A,3,C不共線，且A氏共面，其充要條件

是x+y+z=l.

對(duì)A,因?yàn)?—1—1力1,所以A,民CM四點(diǎn)不共面；

對(duì)B,因?yàn)間+g+g=|^wl，所以A3,CM四點(diǎn)不共面；

對(duì)C,由麗+兩+礪+元=6可得加=-由一麗一反，

因?yàn)椤?—1—1=—3/1,所以A氏CM四點(diǎn)不共面；

對(duì)。，由加+加+西=0可得苗一荻+55—麗+宓一兩=6,

——.1—.1—.1—.ill

即OM=—OA+—05+—OC,因?yàn)橐?—+—=1,所以A,3,C,M四點(diǎn)共面.

333333

故選：D

3.【答案】D

【解析】【分析】

由向量的線性運(yùn)算求解即可.

本題主要考查空間向量及其線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解:由題意可得用=詼-麗

=OB+BQ-^OA

—.1—.1—.

=OB+-BC——OA

32

1一一.1—--.

=--OA+OB+-(OC-OB)

1--2--1―.

=——OA+-OB+-OC

233

12-1

=——a+—b+—c.

233

故選：D

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查空間向量數(shù)量積運(yùn)算和模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)百區(qū)5=1菊2一無(wú)5,利用空間向量的數(shù)量積和模的公式求解.

【解答】

解:由題意知|7|=3,|5|=1,

設(shè)1與B的夾角為

貝！I日③B=|萬(wàn)『-萬(wàn).6=|萬(wàn)『一|.|5|-cose=9-3cos6,

又6v[0,幻,

cos6e[-1,1],

:.a?b[6,12].

故選B.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查空間向量共線的判斷，考查單位向量和向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查平面的法向量的求解，屬

于中檔題.

可根據(jù)向量的相關(guān)概念和數(shù)量積運(yùn)算、以及求法向量的方法逐一驗(yàn)證即可.

【解答】

解：AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),AB^AAC,所以羽與衣不共線，所以A錯(cuò)誤;

\AB\=y/5,與向量低方向相同的單位向量為,0)，所以B錯(cuò)誤;

配=(-3,1,1),所以&甌而,瑞嘉一/所以C錯(cuò)誤;

設(shè)平面ABC的法向量是萬(wàn)=(x,y,z),

AB-n=02x+y=0

則一,即

AC-n=0-x+2y+z=0'

令X=l,可得y=—2,z=5,所以平面ABC的一個(gè)法向量是(1,—2,5),所以。正確.

故選D

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查空間向量數(shù)量積運(yùn)算，空間向量線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

由南=AC+CI5+DB,利用向量法求解.

【解答】

解：如圖所示:

貝U羽=衣+麗+麗，

AB-CD=(AC+CD+DB)-CD,

=AC-CD+|CD|2+DB-CD,

=0+1+0=1,又1=2,\CD1=1,

所以8S*且里=工

\AB\-\CD\2

因?yàn)椤(0,一],

2

所以異面直線。與6所成的角是|.

故選：D

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查線段的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.

以。為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過(guò)C作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法能求出線段厚長(zhǎng)的取值范圍.

【解答】

解：以C為原點(diǎn)，C。為x軸，C8為y軸，過(guò)C作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(O,1,1),B(0,2,0),C(0,0,0),

設(shè)Q(d。,。)(噴。2),AP=AAB=(0,A,-2)(0g!k1),

貝“尸(0,2+1,1—2),

則返=電-西

=(d0,0)—(0,4+1,1—2)—(q,—1—A,A,—1),

v異面直線PQ與AC成30°的角，

I而屈|=2=亞=#

ICAI-IP2I-萬(wàn)揚(yáng)+(1+獷+(")2-&2+2尤+2-1

.-.^2+222+2=|,:.q2=1-222s[0,4],

又噴。2,源必1,

2,

2譏.0

6

則；,解得保收

[-4丁

.?.|麗=岳6［0,當(dāng)，

，線段PA長(zhǎng)的取值范圍是［0,坐］.

故選：B.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查簡(jiǎn)單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，二面角的計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理

能力，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，依次求出各角即可求解

【解答】

解:如圖，取8C中點(diǎn)E,用G中點(diǎn)。，連接4。，AE,

設(shè)AABC的中心為。，△4月。］的中心為a，

則根據(jù)正三角形的中心與重心重合得a分別為AE,4。的三等分點(diǎn)，且須=2礪，麗=22萬(wàn)，

3

由于在正三棱臺(tái)ABC-A4G中，AB=3M=-A5I=3,

所以AQ=|AO=￥>QO=；AO=*AO=,AE=?OE=；AE=與,

由正三棱臺(tái)的性質(zhì)得。。11平面ABC,0a1平面4片￡,

過(guò)。點(diǎn)作D尸，AE于R

根據(jù)幾何關(guān)系易知。石=走，EF=叵,DF區(qū),OO、=叵,

2633

故以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

所以A（0,-g,0）,B,C,

Jo一組"1"i走逅1

7

易知西=卜,0，￥］是平面ABC的法向量，

設(shè)平面AM/的法向量為陽(yáng)=（和％e），平面5CG用的法向量為為=（%,%,Z2），平面45c的法

向量為S=（W，%，Z3）,

(334'

由于通=

\2^-°7

m-AB=0

所以<

比?A4t=0

所以cos<所,00]>=——今=J.

3x^—3

3

所以側(cè)面AB44與底面ABC所成銳二面角余弦值為g,即cosa=g,

、

1屈

由于阮=（一3,0,0）BBX=，--，

J26-V7

同理可得平面BCCXBX的法向量為為=（0,2應(yīng),1b平面A3C的法向量為”他,2后,7卜

-311A/57

所以cos<m,n>=---=——,cos<m,s>=---；==

3x333x757

所以側(cè)面A34A與側(cè)面BCG區(qū)所成銳二面角余弦值為:即cos/?=L,

33

側(cè)面ABB.A,與截面\BC所成銳二面角余弦值為察，即cos/=等，

由于B,7,均為銳角，cosa=cosP=~^>cos/=f

所以e=

9.【答案】AD

【解析】【分析】

此題考查空間向量垂直的坐標(biāo)表示和向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量萬(wàn)的模為3求得無(wú)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得到》進(jìn)而得到結(jié)果.

【解答】

解：?.tlai=A/12+22+x1=3,.,.x=+2,

又:.a-b=2+2y+x^0,

當(dāng)x=-2時(shí)，y=0,則x+y=—2,

當(dāng)x=2時(shí)，y--2,貝I］尤+y=0.

故選AD.

10.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查空間向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，屬于較綜合的中檔題.

利用向量的基本概念逐一進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】解：A.因?yàn)槲?2,+302,5=左《-4e2,且MJ_B，

所以限5=(2^+3e2)?-4e2)

=2k(AY+(3k-8)1?心12④2=2)-12=0,

解得左=6,所以A正確.

B.(OA+OB)(CA+CB)

=OACA+OACB+OBCA+OBCB

=lxlxcos600+lxlxcos90°+lxlxcos900+lxlxcos60°=l,所以B正確.

C.AC=(1,1,3),AB=(-1,2,0),

向量M在Am上的投影向量的模長(zhǎng)是

,AC-AB,,1X(-1)+1X2+3X0,后

I—=:-1-I/-1-,所以C正確.

IAB\7(-1)+2+°25

。假設(shè)向量扇及3共面，貝I商=x5+W，

以q—2e,+^=x(—q+3e?+2e§)+y(-3q+7e?),

即q-2e2+e3=(-x-3y鳩+(3x+7y)e2+2xe3，

i=-x-3y,x=—,

所以-2=3x+7y,解得j2

1=2%,>=一天

所以向量。反工共面，所以。不正確.

故選ABC.

11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查了空間垂直、平行關(guān)系，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算、用空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

對(duì)于A,當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐A-用石E的體積等于匕^畫(huà)c，因?yàn)椤?片。，所以E到面A與c的

距離為定值，可得三棱錐4-的體積為定值；對(duì)于2,當(dāng)時(shí)，E為線段48的中點(diǎn)，即可判

斷；對(duì)于C,當(dāng)〃=；時(shí)，利用不可能有3。，男尸即可判斷；對(duì)于。、以。為原點(diǎn)，DA、DC、DDX

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，只需證明質(zhì)?取=0,可得

【解答】

解：對(duì)于A,當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐4一片石尸的體積等于匕.°，因?yàn)椤?片。，所以E到面

44c的距離為定值，可得三棱錐4-用石尸的體積為定值，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)彳=!■時(shí)，E為線段AB的中點(diǎn)，易得三棱錐%.AFE=%-ME,

利用等體積得知匕.GFE=%-CFE，則點(diǎn)48到平面耳EE的距離相等，故8正確；

對(duì)于C,當(dāng)〃=；時(shí)，不可能有3。，用尸，則不存在彳使得32，平面耳環(huán)，故C錯(cuò)；

對(duì)于D,以D為原點(diǎn)，DA,DC、DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,0,l)、Q(0,1,1),設(shè)AE=m,則E(l,a,O),F(l-m,l,0),

從而衣=(—根』,—1),QE=(l,m-l,-l),.-.A^F-QE=-m+m-l+l=Q,：.A,FLCXE,故。

正確.

故選：ABD.

12.【答案】匯

6

【解析】【分析】

本題考查點(diǎn)線距離的向量求法.

根據(jù)空間向量點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【解答】

AC_(2,1,1)_ZA/6?R、

解：取4=徑=(1,1,2),u=芮亍石‘不)

則小"逅+逅+諉=逐，

3636

所以點(diǎn)B到直線AC的距離為擊2_(落到=卜一之=華.

V66

故答案為：叵.

6

13.【答案】娓

【解析】【分析】

本題考查下來(lái)的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，由空間向量的模長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)閍Vb>(a,c)=(b,c^=60°,>a,b,c為單位向量,

貝I|々-5+2刈=\j(a—b+2c)2

=-J|a|2+|^|2+4|c|2-2a-b+4a-c-4b-c

=Jl+l+4-0+4xlxlx；-4xlxlxg=y/6.

故答案為：屈

14.【答案】(1,1,±6+1)

【解析】【分析】

本題考查直線與平面所成角的求法，屬于較難題.

結(jié)合圖形可得出，過(guò)點(diǎn)。作石尸，平面ABC。，交B］D［于點(diǎn)E,BD于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E或點(diǎn)下的位

置時(shí)，直線P。與平面A8CD所成的角最大，再利用空間向量求解，即可得直線P。與平面A8C。所成角

的正弦值的取值范圍.

【解答】

解：過(guò)點(diǎn)。作所，平面ABC。，交BQ］于點(diǎn)E,BD于點(diǎn)、F，

易得OE=OF=>/3，Q(。,2,1),￡(1,1,A/3+1),/^(l,1,—A/3+1),

所以班=(1,-1,岔)，QF=(l,-l,-y/3\

由圖可知當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E或點(diǎn)尸的位置時(shí)，直線尸。與平面A8C。所成的角最大.

由題可得平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1).

設(shè)直線與平面ABC。所成的角為6,

貝Usin0=|cos<QE,n>|=|拓|=/"—『=,

\QE\-\n\Jl+1+3xJT5

即直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為理，

當(dāng)尸！2〃平面ABCD時(shí)，直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值最小為0,

所以直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是［0,?］.

故答案為：(1,1,±若+1)；［。，羋］?

15.【答案】解:已知4=（1,2,-1）,*=（-2,4,2）；

（1）因?yàn)橥?e，同=2遙，a//c,

所以d=或^=—2萬(wàn)，所以1=（2,4,-2）或^=（一2,-4,2）;

（2）因?yàn)槌?B=（左,2￡-%）+（-2,4,2）=（Z-2,2左+4,2-％）,

a—2b=（1,2,—1）—（—4,8,4）=（5,-6,—5）,

由（依+B）_L（M-25）得（妨+8）?（乙一25）二0,

即5（左一2）—6（2左+4）—5（2—左）=0,解得k——22.

【解析】本題考查空間向量垂直的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

（1）由題意可得忑=22或1=—25,進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）分別求出（ka+b\（a-2b］的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積為0可解出k.

16.【答案】解：（1）M,N分別是四面體。4BC的棱。4,BC的中點(diǎn)，P,。是的三等分點(diǎn)（點(diǎn)尸靠

近點(diǎn)N）,若無(wú)AB=b>^.所以=g加，整理得加一。必=:函-1加，故

,1.2___?.1.1.1,1,1.21fl

OQ=-ON+-OM,由于ON=—OB+—OC,所以O(shè)Q=—06+—OC+—OA=——a+-b+-c;

3322663366

__2ii__.21i__.2

（2）由（1）得：OQ=--a+-b+-c,所以|OQ|=|—彳4+二5+:日，故|。?！?|一；4+

3663663

—b+—c|2=—a2+—b2+—c2-—a-b-—a-c+—c-b=—,故|OQ|=—.

6693636991842

【解析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積，向量的模和夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生

的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

⑴直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果；

（2）利用向量的數(shù)量積和夾角運(yùn)算求出結(jié)果.

17.【答案】⑴證明：取。用中點(diǎn)P,連接NP,MP,

由N是用G的中點(diǎn)，故NP//CC，且NP=；CG，

由M是。2的中點(diǎn)，故。M=g￡>，=；CG，且RM//CC-

則有2M//7VP、RM=NP,

故四邊形RMPN是平行四邊形，故D\NHMP,

又MPu平面CBXM,D\NU平面CBXM,

故。N//平面C4M；

(2)解：以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

有A(OQO)、5(2,0,0)、與(2,0,2)、M(0,1,1),。(1,1,0)、^(1,1,2),

則有函=(1,—1,2)、CM=(-1,0,1),甌=(0,0,2),

設(shè)平面。耳"與平面的法向量分別為初二(公如4)、n=(x2,y2,z2),

m-CB=x—y+2z=0n-CB=x—y+2z=0

則有《X1llX222

m-CM=-xv+Z]=0n-BB、=2Z2=0

分別取玉=%2=1，則有M=3、Z]=1、y2=1,z2=0f

即成=(1,3,1)、n=(1,1,0),

m-n1+32

則cos{m,萬(wàn))

\m\-\n\71+9+1?Jl+111

故平面CBM與平面BB?G的夾角余弦值為拽2；

11

⑶解：由甌=(0,0,2),平面C隼W的法向量為求=(1,3,1),

\BB,-m2A/1T

則有2

I詞71+9+111

即點(diǎn)B到平面CBtM的距離為2叵

11

【解析】本題考查線面平行的判定，考查平面與平面所成交的向量求法，點(diǎn)面距離的向量求法，屬于中

檔題.

⑴取C4中點(diǎn)P,連接NP,MP,借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)可得2N//MP,結(jié)合線面平行判

定定理即可得證；

(2)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解;

⑶借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.

18.【答案】⑴由題意可知P—ABC為一個(gè)三棱錐，且PA=PB=PC,

因?yàn)锽C=2,EF=1,所以。、E、尸分別為PA、PB、PC的中點(diǎn)，且AB=2DE=2非.

取的中點(diǎn)連接PM、CM,貝UPM±AB.

因?yàn)锳C—4,BC=2,AB=2-^5，

所以AC2+BC2=AB2,所以C4±CB.

AM=CM=亞，則APAM=APCM,故ZPMA=ZPMC=9§,

即PMVMC.

因?yàn)?AB,MCu平面ABC,

所以PM，平面ABC.

又EWu平面AB。，故平面ABD，平面ABC.

V=V=V2V8

⑵因?yàn)閂F-BCD=~D-BCP~A-BCP~P-ABC=-所以P-ABC=-

而S4ABe=5*4x2=4,

所以VP-ABC=^S^ABCxPM=^x4xPM,解得PM=6.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB所在直線分別為無(wú)軸，y軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(4,0,0),*2,1,6),5(0,2,0),時(shí)別,心別.

設(shè)1=(尤,y,z)為平面的一個(gè)法向量，

=(-4,2,0)%-AB=-4x+2y=0

因?yàn)椋?所以

市=(-2,1,6)4-AP=—2x+y+6z=0

不妨設(shè)x=l,則平面￡8。的一個(gè)法向量第=(1,2,0).

同理設(shè)a=(a,b,c)為平面BDF的一個(gè)法向量,

3――.3

BD=(3,--,3)%?BD=3a—b+3c=0

因?yàn)?，所以：一2

而=

(-2,0,0)n2?DF=-2a=0

不妨設(shè)b=2,可求得平面3￡)方的一個(gè)法向量幾2=(。，2,1).

々?馬0+4+043

所以cos(4，%

一^?一丁一5

3

所以平面班。與平面3。尸夾角的正切值為一.

【解析】本題主要考查面面垂直的判定、二面角，屬于中檔題.

⑴根據(jù)面面垂直判定定理證明即得；

(2)根據(jù)體積求得邊長(zhǎng)，再應(yīng)用空間向量法求面面角余弦，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系最后求正切即可.

19.【答案】⑴證明：取的中點(diǎn)