2022-2024北京重點校高一（下）期末數(shù)學匯編：三角函數(shù)的應用

第1頁/共1頁2022-2024北京重點校高一（下）期末數(shù)學匯編三角函數(shù)的應用一、單選題1．（2022北京石景山高一下期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結構，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023北京第九中學高一下期末）一半徑為的水輪，水輪圓心距離水面2，已知水輪每分鐘按逆時針方向轉動3圈，當水輪上點從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點開始計算時間.將點距離水面的高度(單位：)表示為時間(單位：)的函數(shù)，則此函數(shù)表達式為A． B．C． D．3．（2023北京海淀高一下期末）海洋中的波動是海水的重要運動形式之一．在外力的作用下，海水質點離開其平衡位置做周期性或準周期性的運動，由于流體的連續(xù)性，必然帶動其鄰近質點，從而導致其運動狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學導論》馮士筰李風岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學小組的同學為了研究海水質點在豎直方向上的運動情況，通過數(shù)據(jù)采集和分析，同學們發(fā)現(xiàn)海水質點在某一時間段相對于海平面的位移（米）與時間（秒）的關系近似滿足，其中常數(shù)．經(jīng)測定，在秒時該質點第一次到達波峰，在秒時該質點第三次到達波峰．在時，該質點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒4．（2023北京平谷高一下期末）如圖，單位圓上角的始邊為軸正半軸，終邊射線交單位圓于點，過點作軸的垂線，垂足為，將點到射線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

5．（2023北京東城高一下期末）如圖，質點在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當時，動點的縱坐標關于（單位：）的函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．（2024北京昌平高一下期末）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）的部分記錄表.時間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個港口的水深值與時間的關系可近似的用三角函數(shù)來描述.試估計13：00的水深值為（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67二、填空題7．（2023北京第九中學高一下期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(如圖).假設在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.現(xiàn)有一半徑為2米的筒車，在勻速轉動過程中，筒車上一盛水簡M距離水面的高度H(單位：米)與轉動時間t(單位：秒)滿足函數(shù)關系式，且時，盛水筒M與水面距離為2.25米，當筒車轉動100秒后，盛水筒M與水面距離為米.8．（2022北京第十二中學高一下期末）一半徑為4m的水車，水車圓心距離水面2m，已知水車每分鐘轉動（按逆時針方向）3圈，當水車上點從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點開始計算時間，當秒時，點離水面的高度是m.9．（2023北京石景山高一下期末）水車在古代是進行灌溉的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個半徑為米的水車逆時針勻速轉動，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉動1圈，如果當水輪上一點從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計時，經(jīng)過秒后，水車旋轉到點.給出下列結論：

①在轉動一圈內(nèi)，點的高度在水面米以上的持續(xù)時間為秒；②當時，點距水面的最大距離為米；③當秒時，；其中所有正確結論的序號是.10．（2024北京東城高一下期末）某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關系：，，a，b為正實數(shù)，若，，則該實驗室這一天的最大溫差為；若該實驗室這一天的最大溫差為10，則的最大值為．三、解答題11．（2024北京北師大附中高一下期末）某玩具廠為測試一款可升降玩具炮臺的性能，建立了如下的數(shù)學模型：①如圖，建立平面直角坐標系，炮口A的坐標為，炮臺從炮口向右上方發(fā)射玩具彈，發(fā)射仰角為，初速度；②設玩具彈在運行過程中t（單位：s）時刻的橫縱坐標分別為（單位：m），且滿足；③玩具彈最終落在點.根據(jù)上述模型，解決下列問題：(1)當時.（i）若時，玩具彈剛好落在點，求及此次的發(fā)射仰角θ的值；（ii）求的最大值及此時的發(fā)射仰角θ；(2)當時，求證：.12．（2022北京海淀高一下期末）正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號的疊加．正弦信號的波形可以用數(shù)學上的正弦型函數(shù)來描述：，其中表示正弦信號的瞬時大小電壓V（單位：V）是關于時間t（單位：s）的函數(shù)，而表示正弦信號的幅度，是正弦信號的頻率，相應的為正弦信號的周期，為正弦信號的初相．由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設計中，科學家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源（輸入信號）去研究整個電路的工作機理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標是一個運算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為，，，（單位：Ω）．和是兩個輸入信號，表示的是輸出信號，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關系為：．例如當，輸入信號，時，輸出信號：．(1)若，輸入信號，，則的最大值為___________；(2)已知，，，輸入信號，．若（其中），則___________；(3)已知，，，且，．若的最大值為，則滿足條件的一組電阻值，分別是_____________．

參考答案1．C【分析】角速度為，游客從離地面最近的位置進入座艙，游玩中到地面的距離為，進而甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和，再利用三角函數(shù)值域的研究方法求解即可【詳解】因為角速度為，所以游客從離地面最近的位置進入座艙，游玩中到地面的距離為，由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和，因為，所以，所以，，所以，所以，即他們所在的高度之和的最大值約為，故選：C2．A【分析】由圖可知將水輪放入平面直角坐標系中,由三角函數(shù)的定義即可得到結果.【詳解】由圖,,則,所以,由水輪每分鐘按逆時針方向轉動3圈,可得,則,設,由題代入可得,故選:A【點睛】本題考查函數(shù)模型的應用,考查三角函數(shù)的解析式,考查三角函數(shù)的定義的應用.3．C【分析】由正弦函數(shù)的性質得出解析式，再由得出總時長.【詳解】解：因為秒時該質點第一次到達波峰，在秒時該質點第三次到達波峰．所以，即，當時，，，即，因為，所以.則，由得出或，.即，或，因為，所以.因此該質點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為.故選：C4．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義、三角形的面積結合正弦函數(shù)的圖象即可判定.【詳解】由三角函數(shù)定義及的面積可得：，由正弦函數(shù)的圖象可知B項正確.而對于A、C項，顯然可排除；對于D項，顯然當時，M與O重合，此時，可排除.故選：B.5．B【分析】依題意可根據(jù)圓周運動規(guī)律求出動點的縱坐標關于（單位：）的函數(shù)，再由整體代換法即可求出單調增區(qū)間的表達式.【詳解】根據(jù)題意可設，因為在單位圓上的角速度大小為，起點為射線與的交點，所以，所以動點的縱坐標關于（單位：）的函數(shù)，由，得，又因為，所以，，，所以該函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，，，.故選：B6．C【分析】觀察表中數(shù)據(jù)求出周期和最大最小值，然后可得，將表中最大值點坐標代入解析式可得，然后可得所求.【詳解】記時間為，水深值為，設時間與水深值的函數(shù)關系式為，由表中數(shù)據(jù)可知，，所以，，所以，又時，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大約為.故選：C7．0.25【解析】根據(jù)時，盛水筒到水面的距離，由函數(shù)關系式，求出，再將代入函數(shù)關系式，即可得出結果.【詳解】因為筒車上一盛水簡M距離水面的高度H(單位：米)與轉動時間t(單位：秒)滿足函數(shù)關系式，且時，盛水筒M與水面距離為2.25米，所以，則，又，所以，則，因此當時，，即當筒車轉動100秒后，盛水筒M與水面距離為米.故答案為：8．4【分析】根據(jù)勻速圓周運動的數(shù)學模型進行求解.【詳解】因為=4，圓心到水面的距離為2，所以到x軸的距離為2，所以x軸與所成角為，由題知水車轉動的角速度為因為水車的半徑為4，設P點到水面的距離為y，根據(jù)勻速圓周運動的數(shù)學模型有：當t=10秒時，y=4，所以點離水面的高度是4m.故答案為：4.9．①③【分析】設經(jīng)過秒后，點的高度為，根據(jù)題意求出，得，由可得，①正確；由，得②錯誤；根據(jù)秒時，，為正三角形，可得③正確.【詳解】設經(jīng)過秒后，點的高度為，則，解得，，因為水輪每分鐘轉動1圈，所以，所以，由，得，因為，所以，所以.對于①，由，得，得，，得，，又因為，所以，，所以在轉動一圈內(nèi)，點的高度在水面米以上的持續(xù)時間為秒.故①正確；對于②，，故②錯誤；對于③，當秒時，，又，所以為正三角形，所以米，故③正確.故答案為：①③.10．4【分析】整理可得，分析可知最大溫差為.若，，直接代入即可；若該實驗室這一天的最大溫差為10，可得，利用基本不等式運算求解.【詳解】因為，且的最小正周期，即正好為一個滿周期，可知的最大值為，最小值為，可得最大溫差為，若，，則最大溫差；若該實驗室這一天的最大溫差為10，即，可得，又因為a，b為正實數(shù)，則，可得，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：4；.11．(1)（i），；（ii）(2)證明見解析【分析】（1）（i）根據(jù)，求得，進而求得；（ii）根據(jù)題意，得，進而求得，即可求解；（2）根據(jù)，整理得，再由輔助角公式化簡得，即可求解.【詳解】（1）（i）當時，，由，得，因為，所以此次的發(fā)射仰角為，；（ii）當時，，由，得，所以，因為，所以，所以時，取得最大值.（2）當時，，由，得，因為，所以，代