2024北京八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)匯編：四邊形章節(jié)綜合（京改版）（解答題）2

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京初二（下）期末數(shù)學(xué)匯編四邊形章節(jié)綜合（京改版）（解答題）2一、解答題1．（2024北京房山初二下期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)B，C不重合），連接過(guò)點(diǎn)E作的垂線，交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．（2024北京東城初二下期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于線段和點(diǎn)Q，給出如下定義：若在直線上存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形，則稱點(diǎn)Q為線段的“相隨點(diǎn)”．(1)已知，點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，，中，線段的“相隨點(diǎn)”是；②若點(diǎn)Q為線段的“相隨點(diǎn)”，連接，，直接寫出的最小值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)為2，且以點(diǎn)為中心，各邊與坐標(biāo)軸垂直或平行，若對(duì)于正方形上的任意一點(diǎn)，都存在線段上的兩點(diǎn)M，N，使得該點(diǎn)為線段的“相隨點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．3．（2024北京東城初二下期末）如圖，正方形中，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，在射線上方作，且．連接．(1)補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)連接，若正方形邊長(zhǎng)為5，直接寫出線段的長(zhǎng)．4．（2024北京東城初二下期末）已知：如圖，在中，．求作：以為對(duì)角線的矩形．作法：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N；分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線與交于點(diǎn)D；②以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫??；再以點(diǎn)C為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的右側(cè)交于點(diǎn)E；③連接．四邊形為所求的矩形．(1)根據(jù)以上作法，使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成以下證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形()．(填推理的依據(jù))由作圖可知，平分，又∵，∴()．(填推理的依據(jù))∴．∴平行四邊形是矩形()．(填推理的依據(jù))5．（2024北京房山初二下期末）如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求矩形的面積．6．（2024北京房山初二下期末）如圖，B，D是對(duì)角線EF上兩點(diǎn)，．求證：四邊形是平行四邊形．7．（2024北京豐臺(tái)初二下期末）如圖，在中，分別過(guò)點(diǎn)B，D作的垂線，垂足為E，F(xiàn)．求證：．8．（2024北京海淀初二下期末）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，的面積為y，探究y與x的函數(shù)關(guān)系．(1)x與y的兩組對(duì)應(yīng)值如下表，則______________；x0…myn…n(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為______________，此時(shí)，自變量的取值范圍是_______________；(3)①在圖2中畫出函數(shù)圖象；②若直線與此函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_________________．9．（2024北京豐臺(tái)初二下期末）如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．10．（2024北京通州初二下期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)三角形中作內(nèi)接菱形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：；求作：菱形（點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在上，點(diǎn)F在上）；作法：①作的角平分線，交于點(diǎn)D；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F；③連接、．所以四邊形為所求的菱形．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明：證明：平分，．是線段的垂直平分線，，，，，．（_____________）（填推理的依據(jù)）四邊形為平行四邊形．（______________）（填推理的依據(jù)），四邊形為菱形．（_____________）（填推理的依據(jù)）11．（2024北京二中初二下期末）如圖，E、F是平行四邊形的對(duì)角線上的點(diǎn)，若，求證：．12．（2024北京東城初二下期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，如果點(diǎn)，，，按逆時(shí)針?lè)较蚺帕袠?gòu)成菱形，則稱線段是點(diǎn)的“菱線段”，點(diǎn)是點(diǎn)的“菱點(diǎn)”．例如，圖1中線段是點(diǎn)的“菱線段”．

(1)如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是0,2．點(diǎn)，，，，其中點(diǎn)的“菱點(diǎn)”有__________；若線段是點(diǎn)的“菱線段”，且菱形的面積是2，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)記，若線段與線段都是點(diǎn)的“菱線段”，且線段與線段都經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0，直接寫出的取值范圍．13．（2024北京朝陽(yáng)初二下期末）如圖，在矩形中，相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．求證：四邊形是菱形．14．（2024北京海淀初二下期末）如圖1，和是的對(duì)角線，．點(diǎn)為射線上的一點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖1；②求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，用等式表示線段，和的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．（2024北京海淀初二下期末）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得.連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接．若，，求的長(zhǎng)．16．（2024北京海淀初二下期末）已知：如圖1，．求作：．作法：①作的平分線；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，作射線；③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，連接；∴四邊形為所求．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法在圖2中補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面證明．∵，∴________，∵是的平分線，∴，∴________，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（___________）（填推理的依據(jù)）．17．（2024北京海淀初二下期末）如圖，在中，點(diǎn)為對(duì)角線上的兩個(gè)點(diǎn)，且，求證：．18．（2024北京燕山初二下期末）定義：對(duì)于給定的一次函數(shù).把形如的函數(shù)稱為一次函數(shù)的衍生函數(shù).(1)已知函數(shù)，若點(diǎn)在這個(gè)一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，則,(2)已知矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，當(dāng)函數(shù)的衍生函數(shù)的圖象與矩形有1個(gè)交點(diǎn)時(shí).當(dāng)函數(shù))的衍生函數(shù)的圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出k的取值范圍.(3)已知點(diǎn)，以為一條對(duì)角線作正方形，當(dāng)正方形與一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍.19．（2024北京朝陽(yáng)初二下期末）數(shù)學(xué)課上老師提出一個(gè)命題：如果四邊形和都是平行四邊形，則四邊形也是平行四邊形．下面是某同學(xué)根據(jù)自己畫出的圖形給出的證明過(guò)程．證明：因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以．又因?yàn)橐彩瞧叫兴倪呅?，所以．所以．即．所以四邊形是平行四邊形．討論后大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)證明過(guò)程存在問(wèn)題(1)請(qǐng)說(shuō)明該同學(xué)證明中出現(xiàn)的問(wèn)題；(2)給出正確的證明．20．（2024北京昌平初二下期末）如圖，在平行四邊形中，DE平分交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．21．（2024北京昌平初二下期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B都是格點(diǎn)．請(qǐng)按下列要求在的網(wǎng)格中完成畫圖，并回答問(wèn)題．(1)在圖1中，點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)，請(qǐng)作出點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)D；(2)以點(diǎn)A，B為頂點(diǎn)的矩形中，存在頂點(diǎn)在函數(shù)y=2x的圖象上：①請(qǐng)?jiān)趫D2中作出一個(gè)符合要求的矩形；②所有滿足要求的矩形對(duì)角線長(zhǎng)分別為________．22．（2024北京燕山初二下期末）一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求k的值并在坐標(biāo)系中畫出該一次函數(shù)的圖象；(2)已知點(diǎn)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．23．（2024北京昌平初二下期末）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在的延長(zhǎng)線上，且，連接．求證：．24．（2024北京昌平初二下期末）數(shù)學(xué)課上，發(fā)現(xiàn)結(jié)論“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”后，張明同學(xué)又提出一個(gè)新的問(wèn)題：過(guò)三角形一邊中點(diǎn)，且平行于另一邊的直線，是否會(huì)過(guò)第三邊的中點(diǎn)呢？為研究此問(wèn)題，同學(xué)們進(jìn)行了作圖，并將問(wèn)題進(jìn)行如下轉(zhuǎn)述．已知：在中，點(diǎn)D是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．求證：．以下是兩位同學(xué)給出的輔助線做法，請(qǐng)你選擇其中一種做法，補(bǔ)全圖形，完成證明．張明同學(xué)：作輔助線：延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．李宏同學(xué)：作輔助線：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．25．（2024北京昌平初二下期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)P，Q和圖形W，給出如下定義：若射線與圖形W的一個(gè)交點(diǎn)為M，射線與圖形W的一個(gè)交點(diǎn)為N，且滿足四邊形為平行四邊形，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于圖形W的“平心點(diǎn)”．如圖1中，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于圖中線段的“平心點(diǎn)”．已知點(diǎn)：．(1)點(diǎn)，F(xiàn)中，是點(diǎn)C關(guān)于直線“平心點(diǎn)”的有________；(2)若點(diǎn)C關(guān)于線段的“平心點(diǎn)”J的橫坐標(biāo)為a時(shí)，求a的取值范圍；(3)已知點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與端點(diǎn)C，K重合），若直線l：上存在點(diǎn)P關(guān)于矩形的“平心點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．26．（2024北京昌平初二下期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E和F分別在和上，且關(guān)于對(duì)稱，連接，，過(guò)點(diǎn)F作，點(diǎn)G在的右側(cè)，且，連接交于H，連接．(1)請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖形，求證：；(2)猜想的數(shù)量關(guān)系并證明．27．（2024北京十一中學(xué)初二下期末）如圖，BD平分，點(diǎn)A是射線BM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，過(guò)A作，過(guò)點(diǎn)D作．(1)求證：四邊形是矩形；(2)在上取點(diǎn)C使得，連接、CD．求證：．28．（2024北京東城初二下期末）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是、的中點(diǎn)．求證：．

29．（2024北京門頭溝初二下期末）如圖，在正方形中，E是邊上的一點(diǎn)（不與A，D重合），連接，點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)F，連接，，直線與直線交于點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)Q．

(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求的度數(shù)；(3)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．30．（2024北京大興初二下期末）如圖，在中，，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：．

參考答案1．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了垂直的定義、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握正方形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知補(bǔ)全圖形即可；（2）如圖：過(guò)F作交延長(zhǎng)線于N，即；再證明可得然后再說(shuō)明，最后利用勾股定理即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．（2）解：，證明如下：如圖：過(guò)F作交延長(zhǎng)線于N，即，∴,∵正方形，∴，∴,，∴，∵,∴，∴∴∴,即,∴,∵，∴,即，則,∴．2．(1)①，；②；(2)或【分析】（1）①首先求出，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，然后設(shè)，然后分別驗(yàn)證求解即可；②首先判斷出點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，連接，，作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，得到，當(dāng)點(diǎn)，Q，B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即的長(zhǎng)度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；（2）首先得出正方形左上角的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，右下角的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，然后分種情況討論，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）①∵點(diǎn)，．∴∵四邊形為平行四邊形∴，∵點(diǎn)P在直線上∴設(shè)∴若，且∴，∴∴符合題意，∴是線段的“相隨點(diǎn)”；∴若，且∴，∴∴，此時(shí)點(diǎn)P，Q和點(diǎn)A，B共線，圍不成平行四邊形，不符合題意；∴若，且∴，∴∴符合題意，∴是線段的“相隨點(diǎn)”；∴若，且∴，∴，，矛盾，不符合題意；綜上所述，線段的“相隨點(diǎn)”是，；②∵點(diǎn)Q為線段的“相隨點(diǎn)”，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴設(shè)，∴∴∴點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)如圖所示，連接，，作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，∴∴∴當(dāng)點(diǎn)，Q，B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即的長(zhǎng)度∵點(diǎn)O和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱∴∵∴∴的最小值為；（2）∵正方形邊長(zhǎng)為2，且以點(diǎn)為中心，各邊與坐標(biāo)軸垂直或平行，∴正方形左上角的頂點(diǎn)坐標(biāo)，右上角的頂點(diǎn)坐標(biāo)，左下角的頂點(diǎn)坐標(biāo)，右下角的頂點(diǎn)坐標(biāo)，∵點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)設(shè)所在直線表達(dá)式為，∴，解得∴所在直線表達(dá)式為，若與等長(zhǎng)，如圖所示，當(dāng)正方形左上角的頂點(diǎn)為線段的“相隨點(diǎn)”時(shí)，∴，∴，解得當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，不存在線段上的兩點(diǎn)M，N，使得該點(diǎn)為線段的“相隨點(diǎn)”，∴點(diǎn)在上∴解得∴；若與等長(zhǎng)，如圖所示，當(dāng)正方形右下角的頂點(diǎn)為線段的“相隨點(diǎn)”時(shí)，∴，解得當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，不存在線段上的兩點(diǎn)M，N，使得該點(diǎn)為線段的“相隨點(diǎn)”，∴點(diǎn)在上∴解得∴；綜上所述，t的取值范圍或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與四邊形綜合題，新定義問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確分析題目，掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．(1)見解析(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）作交的延長(zhǎng)線于，則，證明，得出，從而得到，進(jìn)而得出，作交的延長(zhǎng)線于，連接，則四邊形為正方形，再證明得出，證明出為等腰直角三角形，最后由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案；（3）由（2）可得：四邊形為正方形，，，由正方形的性質(zhì)結(jié)合題意得出，，計(jì)算出，即可得解．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：；（2）解：，證明如下：如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，即，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，即，作交的延長(zhǎng)線于，連接，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，即，∴為等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：如圖所示：，由（2）可得：四邊形為正方形，，，∵正方形邊長(zhǎng)為5，，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了矩形的判定，角平分線的尺規(guī)作圖，等腰三角形三線合一：（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)矩形的判定定理和等腰三角形三線合一定理證明即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵，∴四邊形為平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．由作圖可知，平分，又∵，∴(三線合一定理)．∴．∴平行四邊形是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形)．5．(1)證明見解析(2)矩形的面積是【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)和判定、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先證四邊形為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理和菱形的面積公式解答即可．【詳解】（1）∵菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵，∴四邊形是矩形；（2）∵，∴是等邊三角形．∴，四邊形是菱形，∴，∴∴，∴，∴矩形的面積是6．證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，主要利用了對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，作出輔助線證出是解題的關(guān)鍵．連接交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得，，然后求出，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】證明：連接，交于點(diǎn)O，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．7．見解析【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握證三角形全等，是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，求出，然后證明出，即可得到．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．8．(1)4(2)，(3)①圖見解析②或【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)題意，得到到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，的面積相同，進(jìn)行求解即可；（2）求出時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的函數(shù)為一次函數(shù)，且過(guò)兩點(diǎn)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而表示出的取值范圍即可；（3）描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，隨著的增大，先減小，后增大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，的面積相同，∵正方形，∴，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，∴；故答案為：；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)：，設(shè)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，由題意，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴；故答案為：，；（3）①∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴畫圖如下：②如圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則：，解得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則：，解得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,4時(shí)，則：，∵直線與此函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴或．9．(1)見詳解(2)3【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，則，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，即可求解．本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，平行四邊形是矩形．（2）解：如圖，連接四邊形是菱形，，∵四邊形是矩形∴∴在中，由勾股定理得：．10．(1)見解析(2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組兩邊相等的平行四邊形是菱形【分析】本題考查了菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)題意直接作圖即可；（2）由作圖可得平分，是線段的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角以及角平分線的定義可得，利用平行線的判定可得，，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，四邊形即為所求，（2）證明：平分，．是線段的垂直平分線，，，，．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）四邊形為平行四邊形．（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），四邊形為菱形．（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．11．證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，可得，結(jié)合，進(jìn)而證明，最后根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”得出答案．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．∵，∴，∴．12．(1)①，；②或(2)【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，利用勾股定理逐一計(jì)算即可得到答案；②根據(jù)題意，點(diǎn)由兩種情況，作軸，根據(jù)菱形的性質(zhì)和面積可知，，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，得到，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，得到，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)2,0作的平行線，以、為圓心，長(zhǎng)為半徑作，，當(dāng)，分別與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，且線段、線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0時(shí)，滿足條件．根據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可證明，當(dāng)線段與線段完全重疊時(shí)，點(diǎn)只有一條“菱線段”符合題意，此時(shí)取得最小值，可根據(jù)計(jì)算得到；當(dāng)線段與線段的點(diǎn)與點(diǎn)重疊時(shí)，此時(shí)t取得最大值，根據(jù)點(diǎn)、在2,0可得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：①的坐標(biāo)是0,2四邊形是菱形點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)的“菱點(diǎn)”故答案為：，．②根據(jù)題意，點(diǎn)有兩種情況，四邊形是菱形，如圖所示，作軸交軸于，則

菱形的面積是2，即當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的正上方，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的正下方，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)2,0作的平行線，以、為圓心，長(zhǎng)為半徑作，，當(dāng)，分別與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，且線段、線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0時(shí)，滿足條件．

圖1中，四邊形、是菱形，，，，，，，，，當(dāng)線段與線段完全重疊時(shí)，點(diǎn)只有一條“菱線段”，此時(shí)取得最小值，如圖2所示，四邊形是菱形，，又，此時(shí)，解得：當(dāng)線段與線段的點(diǎn)與點(diǎn)重疊時(shí)，點(diǎn)有兩條“菱線段”，此時(shí)取得最大值，如圖3所示，此時(shí)點(diǎn)、在2,0當(dāng)時(shí)，滿足條件．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了理解“菱點(diǎn)”和“菱線段”的定義，菱形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確理解“菱線段”的定義和熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．見解析【分析】本題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形先證明四邊形是平行四邊形，再由矩形對(duì)角線相等且互相平分得到，由此即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：∵E為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是菱形．14．(1)①見解析；②見解析(2)，證明見解析．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②由等邊對(duì)等角得出，由平行四邊形的性質(zhì)得出，推出，證明，即可得證；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，從而推出，即可得證．【詳解】（1）解：①依題意補(bǔ)全圖形

②證明：∵，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴∴．∵，∴∵，∴．在和中，，∴∴．（2）解：線段，和的數(shù)量關(guān)系為．證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．由（1）②可得∴．∵，∴．∵，∴．∴．．15．(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了菱形與平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)內(nèi)容是解題關(guān)鍵.（1）根據(jù)．，先求證四邊形是平行四邊形；結(jié)合即可求證；（2）過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．根據(jù)勾股定理分別求出即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．

∵在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴．

∴四邊形是菱形．（2）解：過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∴．∵四邊形是菱形，，∴．∴．∴．在中，，∴．

∴．

∵．∴．在中，，∴．16．(1)見解析(2)；；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【分析】本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線及平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)角平分線的定義及平行四邊形的判定定理即可得答案．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：（2）∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．17．證明見解析．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)得出，．證明得出，即可得證，熟練掌握平行線的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．

∴．∵，∴.

在與中，，∴．

∴．18．(1)2,3(2)1，(3)或或【分析】（1）根據(jù)衍生函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)題意求出的衍生函數(shù)，畫出圖形即可求出答案；根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)點(diǎn)D在衍生函數(shù)上時(shí)k取最小值，當(dāng)點(diǎn)A在衍生函數(shù)上時(shí)k取最大值，求解即可；（3）分情況討論：當(dāng)E在y軸正半軸上，當(dāng)E在y軸負(fù)半軸上，分別畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可【詳解】（1）由題意得：函數(shù)的衍生函數(shù)為∵點(diǎn)在這個(gè)一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，∴，；（2）由題意得：函數(shù)的衍生函數(shù)為，當(dāng)函數(shù)的衍生函數(shù)的圖象與矩形有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)如圖所示，此時(shí)過(guò)點(diǎn)，解得：；②由題意得：函數(shù)的衍生函數(shù)為當(dāng)點(diǎn)D在衍生函數(shù)上時(shí)k取最小值，，解得：當(dāng)點(diǎn)A在衍生函數(shù)上時(shí)k取最大值，，解得：當(dāng)函數(shù))的衍生函數(shù)的圖象與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是；（3）一次函數(shù)的衍生函數(shù)為∵正方形，當(dāng)E在y軸正半軸上∴與x軸正半軸的夾角為∴直線的表達(dá)式為聯(lián)立，解得：∴∴∴∴∴；∵正方形，當(dāng)E在y軸負(fù)半軸上∴與x軸正半軸的夾角為∴直線的表達(dá)式為聯(lián)立，解得：∴∴∴∴；如圖，當(dāng)時(shí)，正方形與一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)∴綜上：t的取值范圍是或或【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)，利用點(diǎn)與分段函數(shù)的關(guān)系求函數(shù)值，與矩形、正方形交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定范圍，掌握新定義函數(shù)，利用點(diǎn)與分段函數(shù)的關(guān)系求函數(shù)值，與矩形、正方形交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定范圍分類討論構(gòu)造方程求解是解題關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定：（1）題中并沒(méi)有指明三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，則無(wú)法證明；（2）由平行四邊形對(duì)邊相等且平行得到，，進(jìn)而得到，由此即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）解：∵題中并沒(méi)有指明三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，∴由并不能得到；（2）證明：因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以．又因?yàn)橐彩瞧叫兴倪呅危裕裕运倪呅问瞧叫兴倪呅危?0．(1)見解析(2)【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形，三角函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是解直角三角形．（1）首先證明四邊形是平行四邊形，再證，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）過(guò)作，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)及及勾股定理和菱形的面積公式解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）如圖，過(guò)作，∴，∵四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴．∴四邊形的面積為．21．(1)見解析(2)①見解析；②5或【分析】題目主要考查利用網(wǎng)格作圖及矩形的性質(zhì)，網(wǎng)格與勾股定理，理解題意，利用網(wǎng)格作圖是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及網(wǎng)格即可作圖；（2）①先作出直線y=2x，然后利用矩形的性質(zhì)即可作圖；②根據(jù)①中圖及網(wǎng)格，求出矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)D即為所求；（2）①如圖所示：矩形或矩形即為所求；②由①得矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度為，矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度，∴滿足要求的矩形對(duì)角線長(zhǎng)分別為5或，故答案為：5或．22．(1)，圖象見解析；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)是或或．【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）將代入可求出k的值，由一次函數(shù)解析式可得出答案．（2）分三種情況：①為對(duì)角線時(shí)，②為對(duì)角線時(shí)，③為對(duì)角線時(shí)；由平行四邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將代入，得：，函數(shù)表達(dá)式：，令，，∴與y軸交于點(diǎn)；畫出函數(shù)的圖象如下：（2）解：在中，令，則有，解得：，∴，分三種情況：①為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；②為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，③為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是或或．23．見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先證明四邊形是平行四邊形，從而得到，從而即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，∴，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．24．見詳解【分析】本題主要考查了平時(shí)四邊形的判定以及性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．張明同學(xué)：延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．先證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得出，，進(jìn)一步證明四邊形是平時(shí)四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出．李宏同學(xué)：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．先證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，進(jìn)一步證明，再證明，由全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】張明同學(xué)：證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平時(shí)四邊形，∴，∴．李宏同學(xué)：證明：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．25．(1)D、F；(2)(3)【分析】題目主要考查新定義，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，理解題意，結(jié)合圖象求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后利用一次函數(shù)確定函數(shù)解析式，確定交點(diǎn)，再由平行四邊形的判定和性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合圖象，得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)，即可求解；（3）“平心點(diǎn)”為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，如圖所示，將各點(diǎn)描出，然后連線，得四邊形為矩形，根據(jù)題意，平移，使得平移后的線段落在矩形上，O點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，P點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，平移線段，平移后的線段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情況結(jié)合圖象求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意作圖如下：，O0,0，，直線AB所在直線為，設(shè)直線所在直線為，將點(diǎn)代入得：，∴，交直線于點(diǎn)，設(shè)直線CD所在直線為，，解得，∴直線CD所在直線為，交直線于點(diǎn)，∴兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，∵AB所在直線平行于x軸，∴四邊形為平行四邊形，符合題意；同理點(diǎn)E不符合題意；點(diǎn)F符合題意；故答案為：D、F；（2）根據(jù)題意結(jié)合圖象，連接，則中點(diǎn)即，連接，則中點(diǎn)即，∴；（3）根據(jù)題意得：“平心點(diǎn)”為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，如圖所示，將各點(diǎn)描出，然后連線，得四邊形為矩形，根據(jù)題意，平移，使得平移后的線段落在矩形上，O點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，P點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，平移線段，平移后的線段可能落在矩形左下角或右上角，當(dāng)落在左下角時(shí)，如圖所示：點(diǎn)P接近點(diǎn)K時(shí)，點(diǎn)M接近點(diǎn)A，點(diǎn)P接近點(diǎn)C時(shí)，由（2）得點(diǎn)M接近AB中點(diǎn)，所在直線即為直線l：