湖南省2024-2025學年高三下學期第三次適應性考試數(shù)學試題（解析）VIP

名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高考考前仿真聯(lián)考三數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后；用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合，由集合的關系、運算即可判斷.【詳解】集合，，，則，都是的真子集，故，故C正確，ABD均錯誤.故選：C.2.設復數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則復數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算規(guī)則計算出復數(shù)即可.【詳解】計算，虛部為.故選：A3.已知事件，是相互獨立事件，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的性質(zhì)可知事件，也是相互獨立事件，再由相互獨立事件的概率公式計算可得.【詳解】因為事件，是相互獨立事件，所以事件，也是相互獨立事件，又，，所以，，所以.故選：A4.在中，角的對邊分別為，若.則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉角得，再利用倍角公式和商數(shù)關系，即可求解.【詳解】因為，得到，又，，則，所以，又，則，所以，得到，所以，即，故選：B.5.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，底面半徑為2，該圓錐PO側面展開圖的圓心角為，則圓錐PO的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據(jù)題意列方程求出即可進一步求解.【詳解】設，則母線，所以，解得，故所求為.故選：B.6.已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，A為雙曲線C上的一點，且，，，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出，由雙曲線定義得即可求解.【詳解】由題意，，，所以，所以，所以.故選：C.7.若P是△ABC所在平面內(nèi)一點，則“”是“△ABC為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先得到的充要條件是，進一步即可判斷.【詳解】由，得，即，兩邊平方并化簡得，則，即，由于以上每一步變形都是等價的，故的充要條件是，而是△ABC為直角三角形的充分不必要條件，“”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.8.已知是定義在上連續(xù)可導函數(shù)，其導函數(shù)為，若，且，則不等式解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)，根據(jù)條件得在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可得，即可求解.【詳解】令，則，因為，則，所以，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，由，得到，所以，解得，故選：D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結論正確的是（）A. B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的圖象關于點中心對稱 D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，得，即可判斷A的正誤；對于B，利用周期的計算公式，即可求解；對于C，計算，即可求解；對于D，利用的性質(zhì)，求出的增區(qū)間，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)，所以選項A正確，對于選項B，因為的最小正周期為，所以選項B正確，對于選項C，因為，所以函數(shù)的圖象不關于點中心對稱，故選項C錯誤，對于選項D，由，得到，所以的增區(qū)間為，令，得到一個增區(qū)間為，又，所以選項D正確，故選：ABD.10.已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，，離心率為，直線l過點與橢圓C交于M，N兩點，若x軸上存在一定點P，使得的內(nèi)切圓圓心在x軸上.則下列結論正確的有（）A.橢圓C的方程為B.的周長為4C.定點P的坐標為D.當軸時，的內(nèi)切圓圓心坐標為【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項，先由焦距求出，再根據(jù)離心率求出，最后用算出，從而得到橢圓方程.對于B選項，依據(jù)橢圓定義，周長等于，都為2a，算出周長判斷對錯.對于C選項，設直線方程與橢圓聯(lián)立，用韋達定理得到和，由內(nèi)心在軸推出，進而求出.對于D選項，當軸，求出值，設內(nèi)切圓圓心，根據(jù)點到直線距離公式列方程求解圓心橫坐標，舍去不合理值.【詳解】對于A選項，已知，可得.又離心率，則.由，得，所以橢圓方程為，故A正確.對于B選項，周長為，根據(jù)橢圓定義，，，，所以周長是，故B錯誤對于C選項，，設，，.根據(jù)題意,設方程，與橢圓方程聯(lián)立得，由韋達定理，.因為內(nèi)心在軸上，所以，即，即，即，經(jīng)化簡得，代入韋達定理則，得，解得.故C正確.對于D選項，軸時，直線MN方程，代入橢圓方程得.設內(nèi)切圓圓心，不妨設直線，根據(jù)點到直線距離公式，解得，舍去，故D正確.故選：ACD.11.若函數(shù)滿足：對任意，恒有，則稱函數(shù)為“類余弦型”函數(shù).已知函數(shù)為“類余弦型”，若，且對任意非零實數(shù)，.則下列結論正確的是（）A.B.若，則C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若有理數(shù)，滿足，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)條件，令，即可求解；對于B，令，結合選項A中結果，即可求解；對于C，令，得到，即可求解；對于D，令，證明出，即可說明對任意、且，有，然后設，，、是非負整數(shù)，、為正整數(shù)，利用偶函數(shù)和前面的結論，即可求解.【詳解】對于選項A，令，得到，又因為對任意非零實數(shù)，，所以，故選項A正確，對于選項B，令，得，由選項A知，又，，得到，所以選項B錯誤，對于選項C，令，得到，又，得到，所以C正確，對于選項D，因為時，，則，所以，令，即對任意的正整數(shù)有，則，所以，對于任意正整數(shù)，成立，對任意的、且，則有成立，、為有理數(shù)，所以可設，，其中、為非負整數(shù)，、為正整數(shù)，則，，令，，，則、為正整數(shù)，，，所以，，即，由選項C知，函數(shù)為偶函數(shù)，，，，故選項D正確，故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線斜率等于切點處的導數(shù)值求出切線斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題意，點是切點，，則；故曲線在點處的切線方程為：，即.故答案為：.13.如圖，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D為AC的中點，點E在棱上，且，若，，則點到平面BDE的距離為__________.【答案】【解析】【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出，其中是平面的法向量，結合公式即可運算求解.【詳解】如圖，取的中點，因為平面，平面，所以，因為三角形是等邊三角形，點是中點，所以，所以兩兩互相垂直，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為，，，D為AC的中點，所以，所以，設平面的法向量為，所以，令，解得，所以可取，點到平面BDE的距離為.故答案為：.14.某無人機愛好者在年春節(jié)，設計了利用紅、橙、黃、綠、紫五種顏色無人機群呈現(xiàn)如圖的方形陣，方形陣分為六個區(qū)域，呈現(xiàn)要求是：同一區(qū)域為相同顏色的無人機群，且相鄰區(qū)域的無人機群顏色不能相同，區(qū)域必須是紅色無人機群，則不同的呈現(xiàn)方式共有__________種.【答案】【解析】【分析】先給區(qū)域選，再給區(qū)域選，再分區(qū)域和區(qū)域無人機顏色相同和不同兩種情況討論，利用分類、分步計數(shù)原理和組合，即可求解.【詳解】先給區(qū)域選，有種選法，再給區(qū)域選，有種，①若區(qū)域和區(qū)域無人機顏色相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機顏色相同，則區(qū)域有種選法，若區(qū)域和區(qū)域無人機顏色相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機顏色不相同，則有種選法，區(qū)域有種選法，所以區(qū)域和區(qū)域無人機顏色相同時，共有種，②若區(qū)域和區(qū)域無人機顏色不相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機顏色相同，則區(qū)域有種，區(qū)域有種選法，若區(qū)域和區(qū)域無人機顏色不相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機顏色不相同，則區(qū)域有種，和區(qū)域只有種選法，所以區(qū)域和區(qū)域無人機顏色不相同時，共有種，因此，不同的呈現(xiàn)方式共有種，故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.我國新能源汽車的卓越性能贏得全球人民的信賴，某品牌新能源汽車憑借科研創(chuàng)新、廣告宣傳和可靠售后保障，在全球贏得了很好的營銷局面.下表為2017年—2024年（年份代碼分別記為：1，2，3，4，5，6，7，8）該品牌新能源汽車的科研經(jīng)費投入和全球市場規(guī)模統(tǒng)計.年份代碼i12345678科研經(jīng)費（單位：百億元）2361013151821市場規(guī)模（單位：百萬輛）1122.53.53.54.56參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關系數(shù).（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關，并計算樣本相關系數(shù)，推斷它們的線性相關程度（結果精確到0.01，當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱）；（2）已知在國內(nèi)，新能源車主購買的新能源汽車為該品牌新能源汽車的概率為p（），從國內(nèi)新能源車主中隨機抽取5人，記這5人中選擇購買該品牌的人數(shù)為隨機變量X，若，求隨機變量X的數(shù)學期望和方差【答案】（1）樣本相關系數(shù)，兩個變量線性相關且線性相關程度很強.（2）隨機變量的數(shù)學期望，方差.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的相關系數(shù)公式，結合已知的參考數(shù)據(jù)，計算出樣本相關系數(shù)，再依據(jù)相關系數(shù)與線性相關程度的關系進行判斷.（2）由已知條件可知隨機變量服從二項分布，我們先根據(jù)求出的值，再利用二項分布的數(shù)學期望和方差公式求出和.【小問1詳解】；.然后計算，將，，，代入可得：.接著計算，將，，代入可得：.再計算，將，，代入可得：.最后計算相關系數(shù)：根據(jù)公式，將，，代入可得：，因為，所以.由于接近，所以兩個變量線性相關且線性相關程度很強.【小問2詳解】已知隨機變量（因從國內(nèi)新能源車主中隨機抽取人，每個人購買該品牌汽車的概率為，符合二項分布的定義），根據(jù)二項分布的概率公式，由可得：，即，因為，得，解方程，得.再根據(jù)二項分布的數(shù)學期望公式和方差公式，將，代入可得：；.16.在如圖所示的多面體中，已知四邊形為菱形，其對角線和相交于H點，G是棱的中點，，且.（1）求證：平面；（2）若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構造中位線來實現(xiàn)線線平行，通過構造平行四邊形得到線線平行,進而證明線面平行.（2）先建立合適的空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，最后利用向量的夾角公式求出面面角的余弦值.【小問1詳解】因為四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相平分，所以為的中點.又因為為線段的中點，在中，根據(jù)三角形中位線定理可得，且.已知且，所以且.可知四邊形為平行四邊形.由于平行四邊形的對邊平行，所以.又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在菱形中，因為，且菱形的鄰邊相等，所以和都是正三角形.取的中點為，連接，根據(jù)正三角形三線合一的性質(zhì),可得，又因為，所以.又因為平面，平面，所以，，即兩兩垂直.以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系.已知，則可得，，.因為，，，所以平面的法向量可取為.又，.設平面的法向量為，則由，由可得，取，則，將，代入，可得，解得，所以.設平面與平面所成角為，根據(jù)向量的夾角公式，.17.已知函數(shù)，其中為常實數(shù).（1）當時，討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極大值點，證明：.【答案】（1）增區(qū)間為，，減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接對求導，得，求出和的解，即可求解；（2）對求導，根據(jù)條件得到，且，將問題轉化成證在上恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出的最小值，即可求解.【小問1詳解】當時，，易知，又，由，得到或，由，得到，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.【小問2詳解】因為，易知的定義域，則，令，得到，令，其對稱軸為，圖象開口向上，當，即時，恒成立，當且僅當時取等號，此時，在上單調(diào)遞增，無極值點，當，即，當時，，此時在上只有一個根，當時，，時，，不合題意，則，則，所以有兩根，且，當時，，當時，，當時，所以是的極大值點，由題知，所以，要證，即證，即證在上恒成立，令，則，令，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以在區(qū)間上恒成立，即.18.在平面直角坐標系xOy中，動點（）到點的距離與到x軸的距離之差等于1，記動點P的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過直線l：上一點Q作軌跡的兩條切線，切點分別為A，B.證明：直線AB過定點，并求出定點坐標；（3）過點的動直線與軌跡交于C，D兩點，直線CF交軌跡于另一點E，記△CDE，△CFR的面積分別為，，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析，定點坐標（3）81【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式和點到直線的距離公式，根據(jù)條件列出等式，然后化簡可求得軌跡的方程.（2）利用導數(shù)求出軌跡在點處的切線方程，因為在兩條切線上，根據(jù)韋達定理化簡，進而得到直線的方程，通過變形找出直線所經(jīng)過的定點.（3）設出直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達定理得到交點坐標關系，進而表示出關于某一變量的表達式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出最小值.【小問1詳解】根據(jù)兩點距離公式，點到點的距離為，點到軸的距離為，因為，所以.根據(jù)條件可得：，則，展開化簡得：.所以軌跡的方程為.【小問2詳解】因為點在直線上，設，則.設，對已求得的軌跡方程求導得：.則在點處的切線方程為：，又.所以切線方程可化為：.因為點在切線上，所以①.同理，在點處的切線方程為：.因為點在切線上，所以②.由①②可知是方程的兩個根，即的兩個根.，根據(jù)韋達定理：.直線的方程為，又，所以.則直線的方程為，展開得.將代入得.再把代入得：