數(shù)學(xué)（四）-2025年中考考前20天終極沖刺攻略（解析版）VIP

第第頁01圖形的相似01圖形的相似考點考情分析比例有關(guān)的概念和性質(zhì)選擇題和填空題?？疾楸壤幕拘再|(zhì)、平行線分線段成比例定理的簡單應(yīng)用、黃金分割的概念等；解答題可能與三角形、四邊形、相似圖形等知識綜合考查。相似三角形的性質(zhì)與判定選擇題和填空題通常直接考查相似三角形的基本概念、判定條件或簡單的性質(zhì)應(yīng)用；解答題可能與三角形、四邊形等幾何圖形結(jié)合；與函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))結(jié)合；在一些實際問題中，利用相似的性質(zhì)來求解未知量。位似常出現(xiàn)在選擇題、填空題中，也可能在解答題中與其他知識點結(jié)合考查，整體難度中等或偏下考查分值：分值在3-19分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：相似三角形的基本性質(zhì)與判定:仍是重點內(nèi)容。位似圖形:考查位似中心的確定、位似比的計算，以及在平面直角坐標系中根據(jù)位似變換求點的坐標。相似與其他知識的綜合:與函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))結(jié)合，通過函數(shù)圖象上的點構(gòu)造相似三角形，解決函數(shù)中的幾何問題，與圓結(jié)合，利用圓中的圓周角、弦切角等關(guān)系構(gòu)造相似三角形，求解與圓相關(guān)的線段長度、角度問題:在實際問題中構(gòu)建相似三角形模型，如測量物體高度、河寬等問題。知識點1：比例有關(guān)的概念和性質(zhì)線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=c【高分技巧】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：比例的性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：ab=2）變形：ab=3）合、分比性質(zhì)：a4）等比性質(zhì)：如果ab=c5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB【注意】1）AC=5?12AB≈0.648AB2）一條線段的黃金分割點有兩個.【擴展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例．知識點2：相似三角形的性質(zhì)與判定相似多邊形的的概念：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2)相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.知識點3：位似位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點連線相交于一點,對應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心.常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時，注意關(guān)于某點的位似圖形有兩個.）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點的連線是否經(jīng)過位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對應(yīng)頂點的連線所在直線相交與一點；2）位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點.2）確定位似比.3）以位似中心為端點向各關(guān)鍵點作射線.4）順次連結(jié)各截取點，即可得到要求的新圖形.真題1（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網(wǎng)格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．故選D．真題2（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，

A．165 B．167 C．2【答案】A【分析】先證得四邊形DEFC是平行四邊形，得到DE=FC，再利用平行線截線段成比例列式求出FC即可．【詳解】∵DE∥BC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DE=FC，∵EF∥∴FCBF∵BF=8，∴FC=16∴DE=16故選：A．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．真題3（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?1【答案】5?1或【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．先證明四邊形ABPN是矩形，根據(jù)黃金分割的定義可得BCAB【詳解】解：∵四邊形MNPQ是正方形，∴∠N=∠P=90°，又∵AB∥∴∠BAN+∠N=180°，∴∠BAN=90°，∴四邊形ABPN是矩形，∴AB=NP=2cm又∵BCAB∴BC=5故答案為：5?1或?1+真題4（2024·重慶·中考真題）如圖，在△ABC中，延長AC至點D，使CD=CA，過點D作DE∥CB，且DE=DC，連接AE交BC于點F．若∠CAB=∠CFA，CF=1，則BF=．【答案】3【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證AF=EF，進而得DE=CD=AC=2CF=2，AD=4，再證明△CAB≌△DEA，得BC=AD=4，從而即可得解．【詳解】解：∵CD=CA，過點D作DE∥CB，CD=CA，DE=DC，∴FAFE=CA∴AF=EF，∴DE=CD=AC=2CF=2，∴AD=AC+CD=4，∵DE∥CB，∴∠CFA=∠E∵∠CAB=∠CFA，∴∠CAB=∵CD=CA，DE=CD，∴CA=DE，∴△CAB≌△DEA，∴BC=AD=4，∴BF=BC?CF=3，故答案為：3，【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．真題5（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求證：△ABE∽【答案】見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9，進而得出ABEC【詳解】解：∵BE=3，EC=6，∴BC=9，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，∵ABEC=∴又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽真題6（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，連接BD，過點C作CE⊥AB，垂足為E，CE交BD于點F，∠1=∠ABC．(1)求證：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①請判斷線段BC，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若BC=13，AD=5，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)①BC=BD，理由見解析；②EF=【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）由余角的性質(zhì)可得∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°，根據(jù)∠1=∠ABC，可得∠2=∠3；（2）①設(shè)∠2=∠3=x，可求∠BFE=90°?x=∠DFC，可求∠BCD=∠BDC=45°+x，根據(jù)等腰三角形的判定可得BC=BD；②由勾股定理可求AB=12，由“AAS”可證△ADB≌△EBC，可得BE=AD=5，通過證明△EFB∽△ADB，可得EFAD【詳解】（1）證明：∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°=∠A，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°，∵∠1=∠ABC，∴∠2=∠3；（2）解：①BC=BD，理由如下：設(shè)∠2=∠3=x，∴∠BFE=90°?x=∠DFC，∵∠4=45°，∴∠CDB=180°?45°?(90°?x)=45°+x，∵∠BCD=∠4+∠2=45°+x，∴∠BCD=∠BDC，∴BC=BD；②∵BC=BD=13，AD=5，∴AB=B∵BC=BD，∠A=∠CEB，∠2=∠3，∴△ADB≌△EBCAAS∴BE=AD=5，∵∠A=∠CEB，∠3=∠3，∴△EFB∽△ADB，∴EFAD∴EF5∴EF=25真題7（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長線相交于點(1)求證：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)45°【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等弧所對的圓周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等邊對等角得出∠DAB=∠E，等量代換可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．（2）連接BD，由直徑所對的圓周角等于90°得出∠ADB=90°，設(shè)∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值，進一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵CD∴∠CAD=∠DAB，∵DE=AD，∴∠DAB=∠E，∴∠CAD=∠E，又∵∠C=∠C∴△CAD∽△CEA，（2）連接BD，如下圖：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，設(shè)∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°真題8（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上．若∠BAD=∠C，則AB（2）【靈活運用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，點D為邊BC的中點，CA=CD=2，點E在AB上，連接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延長AD，BF相交于點G．若BE=4，DG=6，求FG的長．【答案】（1）見解析；（2）BE=13?1【分析】（1）證明△ABD∽△CBA，得出ABBC（2）過點C作CF⊥AB于點F，過點D作DG⊥AB于點G，解直角三角形得出CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cos60°=2×12=1，證明△BDG∽△BCF，得出DGCF=（3）連接BD，證明△BED∽△GEB，得出DEBE=BEEG，求出DE=2，證明△ABE為直角三角形，得出∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理求出BG=B【詳解】解：（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC∴AB（2）過點C作CF⊥AB于點F，過點D作DG⊥AB于點G，如圖所示：則∠AFC=∠AGD=90°，∴DF∥∵∠BAC=60°，∴CF=AC×sin60°=2×3∵D為BC的中點，∴BD=CD=1∵DF∥∴△BDG∽△BCF，∴DGCF∴DG=1∴BG=B∴BF=2BG=13∴AB=AF+BF=1+13∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠AED=∠CAD，∴∠AED=∠CDA，∴∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°，∴∠BED=∠ADB，∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BAD，∴BEBD即BE2解得：BE=13（3）連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD=AB=BC=5∵∠ABC=2∠EBF，∴∠ABD=∠CBD=∠EBF，∴∠EBF?∠DBF=∠CBD?∠DBF，即∠DBE=∠CBF，∵AD∥∴∠CBF=∠G，∴∠DBE=∠G，∵∠DEB=∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴DEBE∵DG=6，∴EG=DE+6，∴DE4解得：DE=2，負值舍去，∴EG=2+6=8，∴AE=AD?DE=3，∵AE∴△ABE為直角三角形，∠AEB=90°，∴∠BEG=180°?90°=90°，∴在Rt△BEGBG=B∴BF=BG?FG=45∵AD∥∴△DFG∽△CFB，∴FGBF即FG4解得：FG=24【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．預(yù)測1（2025·浙江·二模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點DA．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．根據(jù)平行線分線段成比例定理進行解答即可．【詳解】解：∵l1∴DE∴EF=2DE=4，故選：C．預(yù)測2（2025·浙江·模擬預(yù)測）若4b?aa=2，則A．14 B．4 C．34 【答案】D【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)進行變形求解即可，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵4b?aa∴4b?a=2a，∴4b=3a，∴ab故選：D．預(yù)測3（2025·甘肅·一模）小孔成像是光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播形成的一種物理現(xiàn)象．如圖1是小孔成像實驗圖，抽象為數(shù)學(xué)模型如圖2所示．在小孔成像的實驗中，帶小孔的紙板和光屏平行，蠟燭與有小孔的紙板之間的水平距離為30cm．當蠟燭火焰的高度是它的像高度的13時，有小孔的紙板與光屏之間的水平距離為（A．10cm B．30cm C．90cm【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．設(shè)有小孔的紙板與光屏之間的水平距離為xcm，根據(jù)題意得到30x=【詳解】解∶設(shè)有小孔的紙板與光屏之間的水平距離為xcm根據(jù)題意得30x解得x=90，∴設(shè)有小孔的紙板與光屏之間的水平距離為90cm，故選：C．預(yù)測4（2025·河北唐山·一模）如圖，老師利用復(fù)印機將一張長為20cm，寬為8cm的矩形的數(shù)學(xué)檢測卷等比例縮小，其中縮小后的長為10cmA．100cm2 B．80cm2 C．【答案】D【分析】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，由相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，即可求解．【詳解】解：設(shè)縮小后的寬是xcm∵縮小前后的兩個矩形相似，∴20:10=8:x，∴x=4，∴放大后的寬是4cm放大后的矩形的面積=10×4=40cm故選：D．預(yù)測5（2025·青海海東·一模）【探究與證明】【問題情境】寬與長的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：【操作發(fā)現(xiàn)】第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．【問題解決】(1)圖③中AB=______（保留根號）；(2)如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；(3)如圖④，請證明矩形BCDE和矩形MNDE是黃金矩形．【答案】(1)5(2)四邊形BADQ是菱形，理由見解析(3)見解析【分析】本題考查了黃金分割，黃金矩形，折疊與矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握黃金分割的定義．（1）根據(jù)四邊形MNCB是正方形得NC=MN=2，由折疊的性質(zhì)得，AC=12NC=（2）四邊形BADQ是菱形，由折疊的性質(zhì)可知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，證明四邊形BADQ為平行四邊形，由AB=AD，即可證明；（3）根據(jù)黃金矩形的定義證明即可得．【詳解】（1）解：由題知四邊形BCNM為正方形，且MN=2，∴BC=NC=2，∠NCB=90°，又∵矩形MNAF與矩形FACB相等，∴NA=CA=1，∴AB=A（2）解：四邊形BADQ是菱形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，又∵四邊形ACBF為矩形，∴BQ∥AD，則∠BQA=∠DAQ，∴∠BAQ=∠BQA，∴AB=BQ，AD=BQ，∴四邊形BADQ為平行四邊形，又∵AB=AD，∴四邊形BADQ為菱形；（3）證明：∵FA=BC=2，AC=1，AB=AD=5∴CD=AD?AC=5則CDBC故四邊形BCDE為黃金矩形，∵MN=2，NA=1，AD=5∴ND=NA+AD=1+5∴MNND故四邊形MNDE為黃金矩形．押題1如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為OC的中點，EF∥AB交BC于點F．若AB=4，則EF的長為（A．12 B．1 C．43【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出CE=14AC【詳解】解∶∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC=1∵點E為OC的中點，∴CE=1∵EF∥∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CE∴EF=1，故選：B．押題1如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似中心為點O．若點A(?3,1)的對應(yīng)點為A'A．(?4,8) B．(8,?4) C．(?8,4) D．(4,?8)【答案】A【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點A、A'的坐標可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C∴△A'B'C∴點B(?2,4)的對應(yīng)點B'的坐標為?2×2,4×2，即?4,8故選：A．押題2如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點H，若AB=6，CE=2，則DH的長為（

）A．2 B．3 C．52 D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：∵正方形ABCD，AB=6，∴AB=AD=CD=6，∵正方形CEFG，CE=2，∴CE=GF=CG=2，∴DG=CD?CG=4，由題意得AD∥∴△ADH∽△FGH，∴ADGF=DH解得DH=3，故選：B．押題3如圖，雙曲線y=12xx>0經(jīng)過A、B兩點，連接OA、AB，過點B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點E，且E為AO的中點，則△AEBA．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，過點A作AF⊥BD，垂足為F，設(shè)Aa,12a，證明△AFE∽△ODE，有AFOD=AEOE=EFDE，根據(jù)E為AO的中點，可得AF=OD，EF=DE，進而有【詳解】如圖，過點A作AF⊥BD，垂足為F，設(shè)Aa,12a∵BD⊥y軸，AF⊥BD，∴AF∥y軸，DF=a，∴△AFE∽△ODE，∴AFOD∵E為AO的中點，∴AE=OE，∴AFOD∴AF=OD，EF=DE∴EF=DE=12DF=∵OD=y∴yB∴xB∴BD=x∴BE=BD?DE=3∴S△ABE故選：A．押題4《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12

【答案】6【分析】根據(jù)題意可得△ABD∽△AQP，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵∠ABC和∠AQP均為直角∴BD∥∴△ABD∽△AQP，∴BD∵AB=40cm，∴PQ=AQ×BD故答案為：6．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．押題5如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，過點C作⊙O的切線l，過點A作AD⊥l，垂足為D，連接AC、(1)求證：△ABC∽(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)25【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．（1）連接OC，根據(jù)題意得∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°（2）先由勾股定理確定AD=3，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示：∵CD是⊙O的切線，點C在以AB為直徑的⊙O上，∴∠OCD=∠OCA+∴∠ACD=∵OC=OB，∴∠OBC=∴∠ACD=∵AD⊥l，∴∠ADC=90°∴∠ADC=∴△ABC∽（2）∵AC=5，CD=4，∴AD=5由（1）得△ABC∽∴ABAC=AC∴AB=25∴⊙O的半徑為253押題6在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；(3)如圖，OP交AB于點C，PD∥BO交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，【答案】(1)y=?(2)存在，2,16(3)存在，9【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=?43x+163，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．可得S△PAB=S△PNB+S（3）由已知條件可得△OBC∽△PDC，進而可得S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB，過點B,P分別作x軸的垂線，垂足分別F,E，PE交AB于點Q，過D作x的平行線，交PE于點G，可得△DPG∽△OBF，設(shè)【詳解】（1）解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入y=ax得16a+4b=0a+b=4解得a=?4所以拋物線的解析式為y=?4（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+tk≠0將A（4，0），B（1，4）代入y=kx+t，得4k+t=0k+t=4解得k=?4所以直線AB的解析式為y=?4過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．所以S===3因為A（4，0），B（1，4），所以S△OAB因為△OAB的面積是△PAB面積的2倍，所以2×32PN=8設(shè)Pm,?43所以PN=?即?4解得m1=2，所以點P的坐標為2,16（3）∵PD∴△OBC∽△PDC∴記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3．則如圖，過點B,P分別作x軸的垂線，垂足分別F,E，PE交AB于點Q，過D作x的平行線，交PE于點G∵B1,4，∴F∴OF=1∵PD∴△DPG∽△OBF∴PD設(shè)P∵直線AB的解析式為y=?4設(shè)Dn,?4PG=?=DG=m?n∴整理得4n=∴S1S=2=2=2=?=?∴m=52時，S【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，第三問中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵．押題7問題提出：如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于點G，探究∠GCF與

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當α=90°時，直接寫出∠GCF的大?。?2)再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當α=120°時，若DGCG=1【答案】(1)45°(2)∠GCF=(3)BE【分析】（1）延長BC過點F作FH⊥BC，證明△ABE≌△BHF即可得出結(jié)論．（2）在AB上截取AN，使AN=EC，連接NE，證明△ANE≌△ECF，通過邊和角的關(guān)系即可證明．（3）過點A作CD的垂線交CD的延長線于點P，設(shè)菱形的邊長為3m，由（2）知，∠GCF=32a?90°=90°【詳解】（1）延長BC過點F作FH⊥BC，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEH，在△EBA和△FHE中∠ABE=∠EHF∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴BC=EH，∴BE=CH=FH，∴∠GCF=∠FCH=45°．

故答案為：45°．（2）解：在AB上截取AN，使AN=EC，連接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°，∠ABC=∠AEF，∴∠EAN=∠FEC．∵AE=EF，∴△ANE≌△ECF．∴∠ANE=∠ECF．∵AB=BC,∴BN=BE∵∠EBN=α，∴∠BNE=90°?1∴∠GCF=∠ECF?∠BCD=∠ANE?∠BCD=90°+

（3）解：過點A作CD的垂線交CD的延長線于點P，設(shè)菱形的邊長為3m，∵∴DG=m,CG=2m．在Rt△ADP∵∠ADC=∠ABC=120°,∴∠ADP=60°，∴PD=3∵α=120°，由（2）知，∠GCF=3∵∠AGP=∠FGC,∴△APG∽△FCG．∴AP∴3∴CF=6在AB上截取AN，使AN=EC，連接NE，作BO⊥NE于點O．由（2）知，△ANE≌△ECF，∴NE=CF，∵AB=BC，∴BN=BE，OE=EF=1∵∠ABC=120°，∴∠BNE=∠BEN=30°，∵cos30°=∴BE=6∴CE=∴BE

【點睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．02銳角三角函數(shù)02銳角三角函數(shù)考點考情分析正弦﹑余弦和正切根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系來確定正弦、余弦、正切的值。特殊角的三角函數(shù)的有關(guān)計算整體難度不大，屬于中等及以下難度。對于單純考查特殊角三角函數(shù)值記憶的題目，只要學(xué)生牢記特殊角的三角函數(shù)值，就能輕松得分解直角三角形選擇題?？疾榻庵苯侨切蔚幕靖拍詈秃唵螒?yīng)用；填空題可能涉及根據(jù)已知條件直接計算直角三角形的邊或角的度數(shù)，也可能在實際問題情境中，讓學(xué)生利用解直角三角形的知識求出相關(guān)的長度或角度并填空；解答題:通常結(jié)合實際問題，如測量物體高度、距離、坡度等問題，要求學(xué)生通過構(gòu)建直角三角形模型，運用解直角三角形的知識進行求解?？疾榉种担悍种翟?-10分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：基礎(chǔ)的三角函數(shù)定義、特殊角的三角函數(shù)值以及簡單的解直角三角形應(yīng)用，難度依然保持較低主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握和簡單運用能力。在與其他知識綜合考查的題目中，難度會有所上升，屬于中等偏上難度。這類題目需要學(xué)生具備較強的分析問題、解決問題的能力，以及對知識的綜合運用能力。學(xué)生需要能夠從復(fù)雜的情境中抽象出直角三角形模型，并靈活運用三角函數(shù)知識，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識和方法進行求解。知識點：銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tanA=tan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sinA2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°23323135.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠B所對的邊斜邊cosA=∠A所鄰的邊斜邊=tanA=∠A所對的邊鄰邊=解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③真題1（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面119m的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機沿水平方向飛行74m到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,A,B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sinA．41m B．42m C．48m【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長BA交MN于點C，根據(jù)題意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m，然后在Rt△CNB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CN的長，從而求出MC的長，再在【詳解】如圖，延長BA交MN于點C．由題意得BC⊥MN,BC=119m在Rt△CNB中，∠CNB=45°∴CN=BC∴MC=MN+NC=193m在Rt△AMC中，∠AMC=22°∴AC=MC?tan∴AB=BC?AC=119?77.2≈42(m故選B．真題2（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．253米 B．25米 C．252米【答案】A【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．設(shè)DC=x米，在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AC，在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出BC，再由AC?BC=AB=50列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到【詳解】解：設(shè)DC=x米，在Rt△ACD中，∠A=30°tanA=DCAC整理得：AC=3在Rt△BCD中，∠DBC=60°tan∠DBC=DCBC整理得：BC=3∵AB=50米，∴AC?BC=50，即3x?解得：x=253側(cè)這棟樓的高度為253故選：A．真題3（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB=6，BC=8，則cos∠ABF的值是【答案】24【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證BF=DF，再利用Rt△ABF【詳解】解：∵折疊，∴∠DBC=∠DBF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF，∴AF=AD?DF=8?BF，在Rt△ABF中，A∴6解得BF=25∴cos故答案為：2425真題4（2024·西藏·中考真題）計算：?13【答案】0【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，先計算乘方、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式，再計算乘法，最后計算加減即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：?1=?1+2×=?1+2=0．真題5（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實驗是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實驗裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管AB=24cm,BE=13AB(1)求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實驗時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁MN，延長BM交CN的延長線于點F，且MN⊥CF于點N（點C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：DE=28cm，MN=8cm，【答案】(1)8(2)8【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）先求出BE=8cm，再在Rt（2）過點B作BP⊥CF于點P，過點M作MQ⊥BP于點Q，先解直角三角形可得EG的長，從而可得DP,BQ的長，再判斷出Rt△BMQ是等腰直角三角形，從而可得QM,PN的長，最后根據(jù)DN=DP+PN【詳解】（1）解：∵AB=24cm∴BE=8cm由題意可知，BG⊥DE，在Rt△BEG中，∠ABG=12°∴BG=BE?cos答：試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度8cos（2）解：如圖，過點B作BP⊥CF于點P，過點M作MQ⊥BP于點Q，則四邊形BPDG和四邊形MNPQ都是矩形，∴∠PBG=90°,DP=BG=8cos在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8∴EG=BE?sin∵DE=28cm∴BP=DG=DE?EG=28?8∴BQ=BP?PQ=20?8∵∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°，∴∠MBQ=45°，∴Rt△BMQ∴QM=BQ=20?8∴DN=DP+PN=DP+QM=8答：線段DN的長度為8cos真題6（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm；當擺球運動至點C時，∠COA=37°，CE⊥OA．（點O，A，B，C，D，E實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長．（結(jié)果精確到0.1cm參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,【答案】ED的長為8.2【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，先求解OD,OB,OC，再求解OE，從而可得答案；【詳解】解：∵BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm∴OD=BDOB=OD∴OB=OC=22.73，∵∠COA=37°，CE⊥OA，∴OE=OC?cos∴DE=OE?OD=18.2?10=8.2；∴ED的長為8.2cm真題7（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時測得點A到BC所在直線的距離AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意圖如圖3，此時測得∠CDB=37°（點C，A，D在同一直線上，且直線CD與平面平行，圖3中所有點在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan(1)求AB的長；(2)求物體上升的高度CE（結(jié)果精確到0.1m【答案】(1)6(2)2.7【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）解Rt△ABC（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=33，解Rt△BCD求得BD=53，由題意得，BC+AB=BE+BD，故【詳解】（1）解：由題意得，∠BCA=90°，∵AC=3m，∠CAB=60°∴在Rt△ABC中，由cos得：3AB∴AB=6m答：AB=6m（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=在Rt△BCD中，sin∴sin37°=∴BD=53由題意得，BC+AB=BE+BD，∴BE=BC+AB?BD=33∴CE=BC?BE=33答：物體上升的高度約為2.7m真題8（2024·廣東·中考真題）中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個停車位．經(jīng)測量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73(1)求PQ的長；(2)該充電站有20個停車位，求PN的長．【答案】(1)6.1(2)66.7【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的實際應(yīng)用：（1）先由矩形的性質(zhì)得到∠Q=∠P=90°，再解Rt△ABQ得到AQ=27310m（2）解Rt△BCE得到BE=3.2m，解Rt△ABQ得到BQ=2.7【詳解】（1）解：∵四邊形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°，在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4∴AQ=AB?sin∠ABQ=27∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴∠CBE=30°，∴BC=CE∴AD=8∵∠PAD=180°?30°?90°=60°，∴AP=AD?cos∴PQ=AP+AQ=35

（2）解：在Rt△BCE中，BE=在Rt△ABQ中，BQ=AB?∵該充電站有20個停車位，∴QM=QB+20BE=66.7m∵四邊形ABCD是矩形，∴PN=QM=66.7m預(yù)測1（2025·黑龍江佳木斯·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AB交AC于點D．若∠A=30°，OD=20cm．CD的長為（

A．23 B．43 C．26【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形得OA=203，AD=2OD=40，AB=403，AC=60，再根據(jù)【詳解】解：如圖，連接BC，∵OD⊥AB，∠A=30°，∴OA=OD÷tan30°=203∵AB是⊙O的直徑，∴AB=403，且∠ACB=90°∴AC=AB?cos∴DC=AC?AD=60?40=20cm故選：D．預(yù)測2（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）計算：?20240【答案】3【分析】本題考查了實數(shù)的運算，涉及特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，求一個數(shù)的算術(shù)平方根等知識點，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．分別計算零指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，計算算術(shù)平方根，再進行加減計算．【詳解】解：?2024=1?2×=1?=3預(yù)測3（2025·陜西咸陽·二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，DE交BC的延長線于點E，且∠E=∠BAC．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若tan∠DBC=12，BC=2【答案】(1)詳見解析(2)5【分析】本題考查了切線的判定及解直角三角形的應(yīng)用相關(guān)知識，掌握“連半徑，證垂直”這一判定方法及正確運用正切或勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵．（1）由△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，可推出∠BCD=90°，即∠BDC+∠DBC=90°．由同弧所對應(yīng)的圓周角相等可知∠BDC=∠BAC及已知條件∠E=∠BAC，所以可得到∠BDC=∠E，因此∠E+∠DBC=90°，即∠BDE=90°，可證得DE是⊙O的切線．（2）先在△BCD中運用tan∠DBC=12，BC=2，求出DC的長，進而由勾股定理求出BD的長，再在△BCD中，根據(jù)tan∠DBC=1【詳解】（1）證明：∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°∵BC∴∠BDC=∠BAC∵∠E=∠BAC，∴∠BDC=∠E，∴∠E+∠DBC=90°，∴∠BDE=90°，即BD⊥DE∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠BCD=90°，tan∠DBC=∴CD即CD2∴CD=1，∴BD=B∵∠BDE=90°，tan∠DBC=∴DE即DE5∴DE=52，即DE預(yù)測4（2025·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，小明從點A出發(fā)，沿著坡度i（即tanA）為1:2.4的坡道AB向上走了130m到達點B，再沿著水平平臺BC向前走了80m到達點C，最后沿著坡角為36.8°的坡道CD向上走了150(1)當小明到達點B時，求他沿垂直方向上升的高度；(2)求點A，D間的水平距離AE的長．（參考數(shù)據(jù)：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，【答案】(1)50(2)320【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，（1）過點B作BF⊥AE于F，過點C作CG⊥AE于G，延長BC交DE于H，設(shè)BF=x，根據(jù)坡度的概念用x表示出AF，根據(jù)勾股定理求出BF；（2）根據(jù)余弦的定義求出CH，進而求出AE；掌握坡度是坡面的鉛直高度?和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，過點B作BF⊥AE于F，過點C作CG⊥AE于G，延長BC交DE于H，設(shè)BF=x，∵坡道AB的坡度為1:2.4，AB=130，∴AF=2.4x，在Rt△ABF中，A∴1302解得：x=50或x=?50（負值不符合題意，舍去），∴BF=50m答：他沿垂直方向上升的高度為50m（2）如圖，過點B作BF⊥AE于F，過點C作CG⊥AE于G，延長BC交DE于H，由（1）可知：AF=2.4x=2.4×50=120，由題意知：BC∥AE，∵BF⊥AE，CG⊥AE，∴BF∥CG∥∴四邊形BFGC和四邊形CGEH都是平行四邊形，∴四邊形BFGC和四邊形CGEH都是矩形，∴FG=BC=80，GE=CH，∠CHD=90°=∠CHE，在Rt△DCH中，CD=150，∠DCH=36.8°∴CH=CD?cos∴AE=AF+FG+GE≈120+80+120=320m答：點A，D間的水平距離AE長約為320m預(yù)測5（2025·重慶·一模）如圖，A是某動物園入口，B、C、D是入口附近的三個展區(qū)．小明和小華相約從入口A一起去參觀，但由于興趣不同，兩人決定先沿不同的路線參觀，再到達展區(qū)C匯合．如圖是路線平面示意圖，已知展區(qū)C在起點A的東北方向，小明從起點A出發(fā)沿正北方向走了900米到展區(qū)B，在展區(qū)B參觀10分鐘，再沿北偏東75°的方向走一段路即可到達展區(qū)C，小華從起點A出發(fā)向正東方向走到展區(qū)D，在展區(qū)D參觀14分鐘，再沿北偏東30°方向走一段路即可到達展區(qū)C．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)求AC的長度；（結(jié)果精確到1米）(2)已知小明的平均速度為90米/分鐘，小華的平均速度為100米/分鐘，，若兩人同時出發(fā)，請通過計算說明誰會先到達展區(qū)C？（結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)1737米(2)小華先到【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點B作BM⊥AC于點M，則∠AMB=∠BMC=90°，故有△ABM為等腰直角三角形，∠CBM=60°，從而求出AM=BM=4502，又CM=BM（2）過點C作CN⊥AD延長線于點N，求出CB=9002，在Rt△ANC中，∠DAC=45°，AC=4502+4506，則AN=NC=450+4503，在Rt△CDN中，∠CDN=60【詳解】（1）解：過點B作BM⊥AC于點M，則∠AMB=∠BMC=90°，由題意得：∠BAM=45°，AB=900米，∴∠ABM=∠BAM=45°，∴△ABM為等腰直角三角形，∠CBM=60°，∴AM2+B∴AM=BM=4502∴CM=BMtan∴AC=4502答：AC的長度約為1737米；（2）解：如圖，過點C作CN⊥AD延長線于點N，在Rt△BMC中，∠MBC=60°，BM=450∴CB=9002在Rt△ANC中，∠DAC=45°，AC=450∴AN=NC=450+4503在Rt△CDN中，∠CDN=60，NC=450+450∴ND=450+1503（米），CD=900+300∴AD=3003∴小明所花時間：900+900290+10=20+10∵33.4<34.1，∴小華先到達展區(qū)C．預(yù)測6（2025·江蘇鎮(zhèn)江·一模）【閱讀理解】小明用了如下的方法計算出tan15°如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，作線段AB的垂直平分線交BC于點D，連接AD，則BD=AD，∠ADC=30°．設(shè)AC=k，則AD=BD=2k，DC=tan【拓展應(yīng)用】如圖2，矩形ABCD為某建筑物的主視圖，小麗在該建筑物的右側(cè)點M處用地面測角儀（忽略其高度，下同）測得頂點C的仰角α為18.4°，由于某個原因，BM的長度無法測量，于是小麗又到它的左側(cè)點N處測得頂點D的仰角為73.6°，同時測得AN的長度為5米．(1)請模仿小明的方法，求出tan2α(2)求出建筑物的高度．參考數(shù)據(jù)：sin18.4°≈825，cos【答案】(1)3(2)1207【分析】本題考查了有關(guān)仰俯角的解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，難度較大，解題的關(guān)鍵在于添加輔助線．（1）作ME=DC，連接DE，作DE的垂直平分線交MN于點F，連接DF，則四邊形DCME是平行四邊形，由線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角定理得到∠DFA=∠FDE+∠FED=2α，由tan∠DEA=tanα=ADAE=13，設(shè)AD=k，則AE=3k，設(shè)FD=FE=x，在（2）設(shè)AD=3t,AF=4t，作DF的垂直平分線交MN于點G，連接DG，則導(dǎo)角可得∠DGA=2∠DFA=4α°=73.6°=∠N，設(shè)DG=GF=y，在Rt△ADG中由勾股定理得到3t2+4t?y2=y【詳解】（1）解：如圖，作ME=DC，連接DE，作DE的垂直平分線交MN于點F，連接DF，由題意得：DC∥ME，∴四邊形DCME是平行四邊形，∴DE∥CM，∴∠DEF=∠M=α，∵DE的垂直平分線交MN于點F，∴FD=FE，∴∠FED=∠FDE=α，∴∠DFA=∠FDE+∠FED=2α，由題意得：AD⊥AB，∵tan∠DEA=∴設(shè)AD=k，則AE=3k，設(shè)FD=FE=x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：A∴k2解得：x=5∴tan∠DFA=（2）解：∵tan∠DFA=∴設(shè)AD=3t,AF=4t，作DF的垂直平分線交MN于點G，連接DG，則DG=FG，∴∠GDF=∠GFD=2α，∴∠DGA=2∠DFA=4α=4×18.4°=73.6°=∠N，設(shè)DG=GF=y，在Rt△ADG中，A∴3t2解得：y=25∵tan∠AGD=∴tan∠N=∴AD=120答：建筑物的高度為1207預(yù)測7（2025·河北邯鄲·一模）如圖，監(jiān)控攝像頭M固定在墻壁BC上的支架AB上，在墻上的固定點為點B，已知BC=2.8m，BM=0.6m，(1)求點M到地面l的距離；(2)該攝像頭的可監(jiān)控視角∠PMQ=40°（點P，Q在地面l上），MN平分∠PMQ，且MN⊥BM．①求∠MPC的度數(shù)；②求監(jiān)控攝像頭在地面上最遠可視點P到點C的距離．（結(jié)果均精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan40°取0.84，3取【答案】(1)3.1(2)①40°②4.2【分析】（1）過點M作MG⊥PC于點G，過點B作BH⊥MG于點H，得出四邊形BCGH為矩形，HG=BC=2.8m，再得出∠MBH=30°，再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得出MH=0.3（2）①根據(jù)角平分線的定義得出∠PMN=20°，即可得出∠PMB=∠PMN+∠NMB=110°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解即可．②通過解直角三角形得出PG，GC，然后相加即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖1，過點M作MG⊥PC于點G，過點B作BH⊥MG于點H，由題意得：∠HGC=∠BCG=∠BHG=90°，∴四邊形BCGH為矩形，HG=BC=2.8m∵∠ABC=120°，∴∠MBH=∠ABC?∠HBC=120°?90°=30°∴MH=1∴MG=MH+HG=0.3+2.8=3.1m（2）解：①如圖2，∵MN為∠PMQ的平分線，∠PMQ=40°，∴∠PMN=∠NMQ=1∵NM⊥AB，∴∠NMB=90°．∴∠PMB=∠PMN+∠NMB=110°．∴∠MPC=360°?∠MBC?∠BCP?∠PMB=360°?120°?90°?110°=40°．②如圖1，在Rt△PMGPG=MG∵GC=HB=MBcos∴PC=PG+GC=3.69+0.51≈4.2m∴攝像頭的最遠可視點P與點C間的距離約為4.2m【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)應(yīng)用，矩形的判定以及性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計算，四邊形內(nèi)角和定理等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．預(yù)測8（2025·河北邯鄲·一模）情境嘉嘉和淇淇利用水槽和射燈進行綜合實踐探究，如圖1，圖2所示，一水槽放置在水平面上，射燈支架OA垂直于水平面，射燈AB發(fā)出垂直于AB的光線，OA和AB的夾角α=130°，AB=12cm操作嘉嘉進行了兩步實驗操作：①如圖1，光線投射到空水槽底部CD處．②如圖2，向水槽注水，光線投射到水面MN處，然后發(fā)生折射，最后投射到底部EF處．探究(1)請求出CD長（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)在圖2中，嘉嘉認為需要知道折射角的度數(shù)，才能求EF的長度，淇淇認為不需知道折射角度數(shù)就可以求出EF長．你認為誰的看法正確，并寫出理由．（注：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，【答案】(1)15.7cm(2)淇淇看法正確，見解析【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）作CG⊥BD于G，利用矩形的性質(zhì)，通過求得∠GCD=40°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)解直角三角形；（2）延長AM，BM交底部于C，D，結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)進行推理說明．【詳解】（1）解：如圖，作CG⊥BD于G，由題意可得四邊形ABGC是矩形，∴CG=AB=12．又∵∠OAC=α?∠BAC=40°，∴∠ACO=90°?∠OAC=50°，∠GCD=40°．在Rt△CDG中，CD=CG（2）解：淇淇看法正確．理由如下：延長AM，BM交底部于C，D．由題意得MN∥CD，MC∥∴四邊形MNDC是平行四邊形，∴MN=CD．同理，MN=EF．∴EF=CD≈15.7cm押題1計算：?3【答案】3【分析】根據(jù)絕對值的意義、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值分別計算后，再根據(jù)二次根式加減運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：?==3．【點睛】本題考查了絕對值的意義、負整數(shù)指數(shù)冪運算、零指數(shù)冪運算、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式加減運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解本題的關(guān)鍵．押題2如圖，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．(1)尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接BE，若AB=8，求BE的長．【答案】(1)見詳解(2)4【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于12AB為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E，作直線DE，則直線（2）連接BE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出BE=AE，由等邊對等角可得出∠EBA=∠A=45°，由三角形內(nèi)角和得出∠BEA=90°，則得出△ABE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出BE的長．【詳解】（1）解：如下直線l即為所求．（2）連接BE如下圖：∵DE為線段AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EBA=∠A=45°，∴∠BEA=90°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴sinA=∴BE=AB?【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及正弦的定義．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．押題3綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個方案：如圖②，點C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36?m,EC⊥AB，垂足為C．在D處測得橋塔頂部B的仰角（∠CDB）為45°，測得橋塔底部A的俯角（∠CDA）為6°，又在E處測得橋塔頂部B的仰角（∠CEB）為(1)求線段CD的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6,【答案】(1)54(2)59【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)CD=x，在Rt△BCD中，BC=CD?tan∠CDB=x?tan45°=x．在Rt（2）求出AC，根據(jù)AB=AC+BC即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)CD=x，由DE=36，得CE=CD+DE=x+36．∵EC⊥AB，垂足為C，∴∠BCE=∠ACD=90°．在Rt△BCD中，tan∴BC=CD?tan在Rt△BCE中，tan∴BC=CE?tan∴x=x+36得x=36×答：線段CD的長約為54?m（2）在Rt△ACD中，tan∴AC=CD?tan∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59．答：橋塔AB的高度約為59?m押題4中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m，點P到BQ的距離PQ=2.6m，AC的延長線交(1)求β的大小及tanα(2)求CP的長及sin∠APC【答案】(1)45°，1(2)2m，3【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意先求解CE=PE=1m，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與正切的定義可得答案；（2）利用勾股定理先求解CP=2m，如圖，過C作CH⊥AP于H，結(jié)合tanα=tan∠PAE=CHAH=14，設(shè)CH=x【詳解】（1）解：由題意可得：PQ⊥AE，PQ=2.6m，AB=CD=EQ=1.6m，AE=BQ=4m，AC=BD=3m，∴CE=4?3=1m，PE=2.6?1.6=1m，∠CEP=90°，∴CE=PE，∴β=∠PCE=45°，tanα=（2）解：∵CE=PE=1m，∠CEP=90°，∴CP=12+如圖，過C作CH⊥AP于H，∵tanα=tan∠PAE=CHAH=14，設(shè)∴x2解得：x=3∴CH=31717∴sin∠APC=押題5綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水．（直線NN'為法線，AO為入射光線，【測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N'在同一平面內(nèi)，測得AC=20cm，∠A=45°，折射角【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求BC的長；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62【答案】(1)20(2)3.8【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出的值；（2）利用銳角三角函數(shù)求出DN長，然后根據(jù)BD=BN?DN計算即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠A=45°∴∠B=45°，∴BC=AC=20cm（2）解：由題可知ON=EC=1∴NB=ON=10cm又∵∠DON=32°，∴DN=ON?tan∴BD=BN?DN=10?6.2=3.8cm押題6如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD=10，cosB=35【答案】(1)證明見解析(2)90【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由cosB=35【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD．∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=∴cos在Rt△ACD中，cos∠ADC=3∴CD=AD?cos∠ADC=10×3∴CDAC∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設(shè)FD=3x，則FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD?FA，即(4x)2=3x(3x+10)∴FD=3x=90【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．押題7圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，該車的高度AO=1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點B'到地面l(2)若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C（結(jié)果精確到0．01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891【答案】(1)車后蓋最高點B'到地面的距離為(2)沒有危險,詳見解析【分析】（1）作B'E⊥AD，垂足為點E，先求出B'（2）過C'作C'F⊥B'E，垂足為點F，先求得∠AB'E=63°【詳解】（1）如圖，作B'E⊥AD

在Rt△AB'E中，∴sin∴B∵平行線間的距離處處相等∴B答：車后蓋最高點B'到地面的距離為2.15（2）沒有危險，理由如下：過C'作C'

∵∠B'∴∠A∵∠A∴∠在Rt△B∴B'∵平行線間的距離處處相等∴C'到地面的距離為2.15?0.3=1.85∵1.85>1.8∴沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．押題8中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數(shù)．某地學(xué)生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子AB垂直于地面，AB長8尺．在夏至?xí)r，桿子AB在太陽光線AC照射下產(chǎn)生的日影為BC；在冬至?xí)r，桿子AB在太陽光線AD照射下產(chǎn)生的日影為BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分時日影長度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，

【答案】9.2尺【分析】本題主要考查解直角三角形和求平均數(shù)，利用正切分別求得BC和BD，結(jié)合題意利用平均數(shù)即可求得春分和秋分時日影長度．【詳解】解：∵∠ACB=73.4°，桿子AB垂直于地面，AB長8尺．∴tan∠ACB=ABBC∵∠ADB=26.6°，∴tan∠ADB=ABBD∵春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數(shù)．∴春分和秋分時日影長度為2.39+162答：春分和秋分時日影長度9.2尺．03投影與視圖03投影與視圖考點考情分析投影選擇題:這是最常見的考查形式；填空題可能會考查一些簡單的投影計算；解答題:較少單獨以解答題的形式考查投影，但可能會在一些綜合的實際問題中有所涉及。視圖選擇題?？疾閷唵螏缀误w或組合體三視圖的判斷；填空題可能會涉及根據(jù)視圖的特征求幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)；解答題較少單獨以解答題形式考查視圖，但可能在一些綜合題中作為其中的一個步驟出現(xiàn)。考查分值：分值在3-6分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：投影與視圖在中考中是比較重要的考點，命題會注重基礎(chǔ)與能力的結(jié)合，突出知識的應(yīng)用性和實踐性?？忌趶?fù)習(xí)時應(yīng)扎實掌握基本概念和方法，多進行空間想象和實際問題的分析訓(xùn)練，以提高應(yīng)對各種題型的能力。知識點1：投影投影的定義：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影.（例如：太陽光）平行投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖1），在太陽光下，它們的影子一樣長.2）等長的物體平行于地面放置時（圖2），它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.圖1圖2【高分技巧】1）圖1中，兩個物體及它們各自的影子及光線構(gòu)成的兩個直角三角形相似，相似三角形對應(yīng)邊成比例.2）已知物體影子可以確定光線，過已知物體頂端及影子頂端作直線，過其他物體頂端作此線的平行線，便可求出同一時刻其他物體的影子.（理由：同一時刻光線是平行的光線下行成的）3）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例，即：，利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如：旗桿/樹/樓房的高度等.4）在不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影子長度由長變短再變長.中心投影的概念：由一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺燈等）中心投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖3），在燈光下離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.2）等長的物體平行于地面放置時（圖4），一般情況下離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.圖3圖4【高分技巧】1）點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.2）如果一個平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形也是平行的，并且中心投影后得到的圖形與原圖形相似.正投影的概念：當平行光線垂直投影面時叫正投影.正投影的分類：1）線段的正投影分為三種情況.如圖所示.①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；、②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線.3）立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.投影的判斷方法：1）判斷投影是否為平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判斷投影是否為中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點的，那么所得到的投影就是中心投影．真題1（2024·山西·中考真題）斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，利用三視圖的定義是解題關(guān)鍵．主視圖：從正面看到的物體的形狀圖；左視圖：從左面看到的物體的形狀圖；俯視圖：從上面看到的物體的形狀圖．根據(jù)三視圖的定義求解，注意看不見的線應(yīng)當畫虛線，即可．【詳解】解：從左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一條看不見的線，應(yīng)該畫虛線，形狀如圖所示：故選：C．真題2（2024·江蘇徐州·中考真題）由8個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等；據(jù)此即可求得答案．本題考查簡單組合體的三視圖，熟練掌握其定義及畫圖方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題干中的幾何體可得其左視圖為，故選：A．真題3（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為2，以AB所在直線為軸，將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的主視圖的面積為（

）A．8 B．4 C．8π D．【答案】A【分析】本題考查三視圖，根據(jù)題意，得