北大金秋營(yíng)的試題及答案VIP

北大金秋營(yíng)的試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.復(fù)數(shù)\(z=1+2i\)的共軛復(fù)數(shù)是（）A.\(1-2i\)B.\(-1+2i\)C.\(-1-2i\)D.\(2+i\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.44.\(\sin60^{\circ}\)的值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)5.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.36.集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)是（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)8.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）A.6B.8C.9D.109.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\gt0\)C.\(x\lt0\)D.\(x\inR\)10.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)是（）A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((-4,-6)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\cosx\)2.以下哪些是等比數(shù)列（）A.\(1,2,4,8\)B.\(1,-1,1,-1\)C.\(1,1,1,1\)D.\(1,3,5,7\)3.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率存在的條件有（）A.\(B=0\)B.\(B\neq0\)C.\(A=0\)D.\(A\neq0\)4.以下哪些點(diǎn)在圓\(x^2+y^2=1\)上（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)D.\((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)5.以下哪些是基本不等式（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0,b\gt0\)）C.\(a^2-b^2\geq2ab\)D.\(a-b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0,b\gt0\)）6.以下哪些函數(shù)是增函數(shù)（）A.\(y=3x\)B.\(y=x^2\)（\(x\geq0\)）C.\(y=-x\)D.\(y=2^x\)7.以下哪些是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（）A.\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)B.\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)C.\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\)D.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)8.以下哪些是平面向量的運(yùn)算律（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\cdot\overrightarrow{a}\)9.以下哪些是圓錐曲線（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線10.以下哪些是指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（）A.恒過點(diǎn)\((0,1)\)B.當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C.當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減D.值域是\((0,+\infty)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）4.直線\(y=kx+b\)一定與\(y\)軸相交。（）5.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是\(a_n=a_1+(n-1)d\)。（）6.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(b=0\)時(shí)，\(z\)是實(shí)數(shù)。（）7.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)。（）8.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）9.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0,a\neq1\)）的定義域是\((0,+\infty)\)。（）10.等比數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}\)，這里\(a=1\)，\(b=-4\)，所以對(duì)稱軸\(x=2\)。把\(x=2\)代入函數(shù)得\(y=4-8+3=-1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-1)\)。2.計(jì)算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\)。3.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(-1,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。答案：向量點(diǎn)積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=a_1b_1+a_2b_2\)，這里\(a_1=2\)，\(a_2=3\)，\(b_1=-1\)，\(b_2=4\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times(-1)+3\times4=-2+12=10\)。4.求橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距。答案：橢圓方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），\(a=3\)，\(b=2\)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)\(2a=6\)，短軸長(zhǎng)\(2b=4\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)，焦距\(2c=2\sqrt{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性，并說明理由。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(y_1\gty_2\)，所以函數(shù)單調(diào)遞減。同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.探討等比數(shù)列和等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例及意義。答案：等比數(shù)列如細(xì)胞分裂，細(xì)菌繁殖數(shù)量按等比增長(zhǎng)；等差數(shù)列如每月等額存款，總數(shù)按等差數(shù)列變化。它們能幫助我們預(yù)測(cè)數(shù)量變化，合理規(guī)劃資源、安排收支等，對(duì)經(jīng)濟(jì)、科學(xué)研究等有重要意義。3.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判定方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相