福建省莆田市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)第一次（3月）月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/福建省莆田市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)第一次（3月）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：1.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A.0 B.1 C.e D.【正確答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，根?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1.故選：B2.已知函數(shù)，則（）A.有極小值，無(wú)極大值 B.既有極小值又有極大值C.有極大值，無(wú)極小值 D.無(wú)極小值也無(wú)極大值【正確答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷三次函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值即可.【詳解】因?yàn)椋?，令，，令，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即極小值為，極大值為，得到既有極小值又有極大值，故B正確.故選：B3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間是B.的單調(diào)遞增區(qū)間是，C.當(dāng)時(shí)，有極值D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】A【分析】利用函數(shù)圖象解不等式可得的單調(diào)性，即可判斷A正確，B錯(cuò)誤，再根據(jù)極值定義可得C錯(cuò)誤，根據(jù)不等式結(jié)果可得D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得，且；對(duì)于AB，易知時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，因此的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在處左右函數(shù)的單調(diào)性不改變，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)闀r(shí)，，可得，因此，即D錯(cuò)誤.故選：A4.若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化在上恒成立，利用基本不等式可得.【詳解】的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以.故選：B5.已知函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】令，分析可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.6.已知偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在時(shí)滿足以下條件：①導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示；②唯一的零點(diǎn)是1．則的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】記在上的零點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象可求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)可求出當(dāng)時(shí)的正負(fù)，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得不等式的解集.【詳解】記在上的零點(diǎn)為，由在上的圖象，知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)樵谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)是1，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．又為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的解集為．故選：B．7.已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的，均有，則（）A.，B.，C.，D.，【正確答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)且可得答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，即.同理，，即.故選：A.8.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出．【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤．故選：B．二、多選題：9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，故A錯(cuò)誤；

，故B正確；

，故C正確；，故D錯(cuò)誤．

故選：BC10.已知函數(shù)則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，B.函數(shù)的值域?yàn)镃.若關(guān)于的方程有三個(gè)根，則D.若對(duì)于恒成立，則【正確答案】ACD【分析】先根據(jù)分式函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)判斷函數(shù)單調(diào)性與漸近線，從而畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而直接判斷A和B；通過方程的根與圖象的公共點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合圖象即可判斷C，設(shè)函數(shù)，并求出與函數(shù)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析時(shí)，直線斜率增大，此時(shí)函數(shù)滿足在時(shí)處于直線下方，從而判斷D.【詳解】（i）當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.（ii）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，，，恒有.綜上可知，，作出函數(shù)大致圖象，如下圖.對(duì)于A，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，方程有三個(gè)根，則所以與有3個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，即的取值范圍是，故C正確;對(duì)于D，設(shè)函數(shù)為過定點(diǎn)直線，且與函數(shù)的切點(diǎn)為，則有①，②，且③，由①②得，將③代入上式可得，即，即，解得或（舍去），，此時(shí)直線與函數(shù)相切，為臨界情況；當(dāng)，直線斜率增大，此時(shí)函數(shù)滿足在時(shí)，處于直線下方，即對(duì)于恒成立，因此，，故D正確；故選：ACD.總結(jié)點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)函數(shù)解析式或方程變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.11.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則的可能取值為（）A. B. C. D.【正確答案】ABC【分析】由題意，可以將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而確定答案.【詳解】由題意有方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根，即方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根，令，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)?，，故選：ABC三、填空題：12.若函數(shù)，則______.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)列方程，先求得，進(jìn)而求得.【詳解】對(duì)求導(dǎo)，得，所以，解得，所以，將代入，可得故13.已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線C的切線方程是______【正確答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用求導(dǎo)得切線斜率，寫出切線方程，將點(diǎn)代入求得，回代入切線方程即可.【詳解】因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，則曲線方程為，，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，則切線方程為，又切線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，則切線方程為，即.故答案為.14.已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【正確答案】【分析】經(jīng)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化可知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，故只需研究函數(shù)的圖象即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由求導(dǎo)，，由可得：，因不滿足此式，故可得：，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).由求導(dǎo)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故時(shí)，取得極小值.且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從0的左邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)從0的右邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故可作出函數(shù)的圖象如圖.由圖可知：函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于.故答案為.四、解答題：15.已知函數(shù)在與處都取得極值．（1）求，的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1），；（2）．【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)列方程組求參數(shù)即可.（2）由（1）有，進(jìn)而判斷的單調(diào)性并確定最值，結(jié)合不等式恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，，又，，解得，．（2）由，知，即，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，為極大值，又，則為在上最大值，要使對(duì)任意恒成立，則只需，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.已知函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的極值．【正確答案】（1）（2）極大值，極小值【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系列式計(jì)算即可；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，由題意得，所以，；故的解析式為【小問2詳解】由（1）得，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值17.如圖（1），一邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，如圖（2），所得容器的容積V（單位：）是關(guān)于截去的小正方形的邊長(zhǎng)x（單位：cm）的函數(shù).（1）隨著x的變化，容積V是如何變化的？（2）截去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？【正確答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．（2）當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，得到的容器容積最大，最大容積為8192【分析】（1）首先寫出V關(guān)于x的函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得最大值及自變量的取值.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，由實(shí)際情況可知函數(shù)的定義域?yàn)?根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得，解方程，得，（舍），令得，令得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，是函數(shù)的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí)，所以當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，得到的容器容積最大，最大容積為8192.18.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論和兩種情況導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為成立，然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而得出滿足條件的的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】若不等式恒成立，又則有恒成立設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，不合題意當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，由恒成立，則成立，即成立令，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為關(guān)鍵點(diǎn)：第（1）問的關(guān)鍵是分和討論；第（2）問的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)和，借助導(dǎo)數(shù)求出最值和單調(diào)性，即可得解.19.對(duì)數(shù)均值不等式在各個(gè)領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用．（1）討論，的單調(diào)性（2）試證明對(duì)數(shù)均值不等式：（3）設(shè)，試證明：【正確答案】（1）答案